人教A版高中数学必修五上学期期中联考.docx

2014—2015学年上学期期中联考
高中二年级 数学（理）
命题人：登封一中 黄建森
注意事项：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分。

考生首先阅读答题卷上的文字信息, 然后在机读卡上作答第Ⅰ卷、答题卷上作答第Ⅱ卷，在试题卷上作答无效。

交卷时只交机读卡和答题卷。

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、数列23, 45，67, 8
9……的第10项是
A ．1617
B ．1819
C ．2021
D ．2223
2、设ABC ∆的角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若a ＝2,c ＝4,B ＝60°,则b 等于
A ．28
B ．27
C ．12
D ．2 3 3、不等式x －2y ＋6<0表示的区域在直线x －2y ＋6＝0的
A ．右上方
B ．右下方
C ．左上方
D ．左下方 4、对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是
A ．a 1，a 3，a 9成等比数列
B ．a 2，a 3，a 6成等比数列
C ．a 2，a 4，a 8成等比数列
D ．a 3，a 6，a 9成等比数列
5、已知f (x )＝x ＋1
x
－2(x <0)，则f (x )有
A ．最大值为－4
B ．最大值为0
C ．最小值为0
D ．最小值为－4
6、数列{}n a 满足,1111
2,,()1
n n n a a a n N a *++-==∈+其前n 项积为n T ,则2014T = A.6-
B. 1
3
-
C.
2
3
D. 3
7、推理过程
c
b
d a bd ac bd bc bc ac d c b a >⇒>⇒⎭⎬⎫>>⇒⎭⎬⎫>>共有三个推理步骤,其中错误步骤的个数有
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 8、△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若cos c b A <，则△ABC 为
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．不确定
9、已知
01
1<<b
a ，给出下列四个结论：①2
b ab <;②a b ab +<;③
||||a a b b >;④33a b >.其中正确结论的个数是
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10、如图所示，为了测量某湖泊两侧A B ,间的距离，李宁同学首先选定了与A B ,不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案：（ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别记为,,a b c ）：① 测量,,A C b ;② 测量,,a b C ;③测量,,A a b 则一定能确定A B ,间距离的所有方案的序号为 A. ②③ B. ①②
C. ①③
D. ①②③
11、数列{a n }的各项为正数,其前n
项和2
142n n S -⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
()n N *∈.若
12231n n n T a a a a a a +=+++L ()n N *∈,则n T 的取值所在的区间最恰当的是
A ．8(0,)3
B ．[2,4)
C ．8[2,)3
D ．(0,4)
12、设ABC ∆的角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且c b a ,,成等差数列.给出以下四个结论: ①2
b a
c ≥;②112a c b +≥; ③222
2a c b +≤; ④(0,]3
B π∈ 其中正确结论的个数为
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分。

13、二次不等式20ax bx c ++<的解集为R 的条件是________．
14、在△ABC 中, 角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,c 2＝(a －b )2＋6,C ＝π
3
,则ABC S ∆=________．
15、已知实数0a >且1a ≠，函数, 3,
(), 3.
x a x f x ax b x ⎧<=⎨+≥⎩若数列{}n a 满足()n a f n =*()n ∈N ，且{}
n a 是等差数列，则___,____.a b ==
16、已知实数x ,y 满足14xy x y +=+，且1x >，则(1)(2)x y ++的最小值为 。

三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17、(本小题满分10分） 已知2()3(6)6f x x m m x =-+-+
（Ⅰ）若关于x 的不等式()f x n >的解集为()1,3,-求实数,m n 的值; （Ⅱ）解关于m 的不等式(1)0f <. 18、(本小题满分12分）
在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . 已知222b c a bc +=+. （1）求A 的大小；
（2）如果6
cos =
B ，2b =，求a 的值. 19、(本小题满分12分）
已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式．
（2）记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由． 20、(本小题满分12分）
为了测量某峰顶一颗千年松树的高(底部不可到达)，我们选择与峰底E 同一水平线的A ,B 为观测点，现测得20=AB 米，点A 对主梢C 和主干底部D 的仰角分别是40°,30°，点B 对D 的仰角是45°．求这棵千年松树的高（即求CD 的长，结果保留整数．参考数据： 10sin °
17.0=，50sin °8.0=，4.26=，4.12=）
21、(本小题满分12分）
随着生活水平的提高，人们越来越注重科学饮食. 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg 的碳水化合物，0.06 kg 的蛋白质，0.06 kg 的脂肪. 1 kg 食物A 含有0.105 kg 碳水化合物，0.07 kg 蛋白质，0.14 kg 脂肪，花费28元；而1 kg 食物B 含有0.105 kg 碳水化合物，0.14 kg 蛋白质，0.07 kg 脂肪，花费21元. 为了满足营养专家指出
的日常饮食要求，同时使花费最低，每天需要同时食用食物A 和食物B 多少kg ？最低花费是多少？
22、(本小题满分12分）
将各项均为正数的数列{}n a 排成如图所示的三角形数阵（第n 行有n 个数，同一行中，下标
小的数排在左边）。

n b 表示数阵中，第n 行、第1列的数。

已知数列{}n b 为等比数列，且从第3行开始，各行均构成公差为d 的等差数列（第3行的3个数构成公差为d 的等差数列；第4行的4个数构成公差为d 的等差数列，……），
11a =,1217a =,1834a =。

（1）求数阵中第m 行、第n 列的数()A m n ，（用m ,n 表示）。

（2）求2014a 的值；
（3）2014是否在该数阵中？并说明理由。

2014—2015学年上学期期中联考
高二数学（理）参考答案
一、选择题
CDCD AACA
DBCA
二、填空题
13、2040a b ac <⎧⎨-<⎩
14、
3 3
2
15、2,0a b == 16、27
三解答题
17、（Ⅰ）2()3(6)60f x n x m m x n >∴--+-<Q
1,3∴-是方程23(6)60x m m x n --+-=的两根
(6)23633m m n -⎧=⎪⎪∴⎨-⎪-
=⎪⎩
33m n ⎧=⎪∴⎨=-⎪⎩ ………6分 （Ⅱ）由已知222(1)63630630f m m m m m m =-++∴-++<∴-
->
33m m ∴->>+或∴不等式(1)0
f <
的解集为：{|33m m m ->>+或 ………12分
18、
（Ⅰ）解：因为 222b c a bc +=+，
所以 2221
cos 22
b c a A bc +-=
=， ……………… 4分 又因为 (0,π)∈A ，
所以 π
3
A =
. ……………… 6分
（Ⅱ）解：因为 cos 3
=
B ，(0,π)∈B ，
所以
sin B == ………………8分 由正弦定理
sin sin =
a b
A B ， ………………11分 得 sin 3sin ==b A
a B
. ………………12分
19、 (1)设数列{a n }的公差为d ，
依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列，
故有(2＋d )2＝2(2＋4d )， ………………3分 化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；
当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.
从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. ………………6分 (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800，
此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立． ………………7分
当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]
2
＝2n 2.
令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，
此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. ………………11分 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；
当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41. ………………12分 20、
解：∵,45,3000=∠=∠DBE DAE ∴003045-=∠ADB ， ∴
0000030sin 45cos 30cos 45sin )3045sin(sin -=-=∠ADB
4
1
4262
1222322=-=⨯-⨯=
．…………4分 在ABD ∆中，由正弦定理得 ADB
AB
ABD AD ∠=∠sin sin ，
∵20=AB ，
∴564
124
.120412220sin sin =⨯=⨯
=
∠∠⋅=ADB
DBE AB AD ．……………8分 根据题意，得0050,10=∠=∠ACD CAD ，在ACD ∆中，由正弦定理得
ACD
AD
CAD CD ∠=∠sin sin
即 128.017
.05650sin 10sin 560
0≈⨯=⨯=CD （米）．………………………………11分
答：这棵千年松树高12米．………………………………12分
注：如果有考生计算出56=AD ，得出28=DE ，再在ACD ∆中，由正弦定理得
ACD
AD
ADC AC ∠=∠sin sin ，得出335=AC ，进而732.366.0335=⨯=CE ，然后得到
8372.828372.36≈=-=-=DE CE CD （米）
，参照相应步骤得分，最高得满分． 21、
解：设每天食用x kg 食物A ，y kg 食物B ，总花费为z 元，则目标函数为2821z x y =+，且,x y
满足约束条件
0.1050.1050.0750.070.140.060.140.070.060,0
x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪
⎨
+≥⎪⎪≥≥⎩，……………………（3分）
整理为775
714614760,0
x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪
⎨+≥⎪⎪≥≥⎩，……（5分）
作出约束条件所表示的可行域，
如右图所示. ………（7分）
将目标函数2821z x y =+变形为
4321
z
y x =-+. 如图，
作直线0:28210l x y +=，当直线0l 平移经过可行域，在过点M 处时，y 轴上截距
21
z
最小，即此时z 有最小值. ……（9分） 解方程组7751476
x y x y +=⎧⎨
+=⎩，得点M 的坐标为14
,77x y ==. ………………（10分）
∴ min 282116z x y =+= ……………………………………………（11分） ∴ 每天需要同时食用食物A 约1
7
kg （或0.143 kg ），食物B 约47
kg （或0.571 kg ），能够满足日常饮食要求，且花费最低16元. ………………………………………（12分）
22、（1）设{}n b 的公比为q 。

依题意，12a 为数阵中第5行、第2列的数；18a 为数阵中第6行、第3列的数。

∴ 11b =，1n n b q -=，41217a q d =+=，518234a q d =+=。

…… 3分 ∴ 2q =，1d =，12n n b -=。

∴ 1()(1)21m m A m n b n d n -=+-=+-，。

………… 6分 （2）由123621953++++=L ，12362632016+++++=L ，2014195361-=知，
2014a 为数阵中第63行，第61列的数。

∴ 622014260a =+。

………………… 9分 （3）假设2014为数阵中第m 行、第n 列的数。

∵ 第m 行中，最小的数为12m -，最大的数为121m m -+-， ∴ 112201421m m m --≤≤+- …………… ① 。

由于11m ≤时，1102121010342014m m -+-≤+=<，因此11m ≤不符合①；
由于12m ≥时，1112220482014m -≥=>，因此12m ≥不符合①； ∴ 上述不等式①无正整数解。

∴ 2014不在该数阵中。

………… 12分。