三个宇宙速度的理论推导----黄忠宇

三个宇宙速度的理论推导
（大庆师范大学物理与电气信息工程系，10级物理学一班，黄忠宇，201001071475）
摘要：宇宙速度是指物体达到11.2千米/秒的运动速度时能摆脱地球引力束缚的一种速度。

在摆脱地球束缚的过程中，在地球引力的作用下它并不是直线飞离地球，而是按抛物线飞行。

脱离地球引力后在太阳引力作用下绕太阳运行。

若要摆脱太阳引力的束缚飞出太阳系，物体的运动速度必须达到16.7千米/秒。

那时将按双曲线轨迹飞离地球，而相对太阳来说它将沿抛物线飞离太阳。

关键词：地球引力束缚，环绕速度，逃逸速度，时空
作者简介：黄忠宇（1990-），男，广西桂平人，黑龙江省大庆师范学院物理与电气信息工程系学生
0引言
第一宇宙速度
（又称环绕速度）：是指物体紧贴地球表面作圆周运动的速度(也是人造地球卫星的最小
发射速度)。

大小为7.9km/s ——计算方法是(g是重力加速度，R是星球半径)
第二宇宙速度
（又称脱离速度）：是指物体完全摆脱地球引力束缚，飞离地球的所需要的最小初始速度。

大小为11.2km/s
第三宇宙速度
（又称逃逸速度）：是指在地球上发射的物体摆脱太阳引力束缚，飞出太阳系所需的最小初始速度。

其大小为16.7km/s。

环绕速度和逃逸速度也可应用于其他天体。

例如计算火星的环绕速度和逃逸速度，只需要把公式中的M,R,g换成火星的质量、半径、表面重力加速度即可。

第四宇宙速度
1第一宇宙速度理论推导
在地面上向远处发射炮弹，炮弹速度越高飞行距离越远，当炮弹的速度达到“7.9千米/秒”时，炮弹不再落回地面（不考虑大气作用），而环绕地球作圆周飞行，这就是第一宇宙速度。

第一宇宙速度
第一宇宙速度也是人造卫星在地面附近绕地球做“匀速圆周运动”所必须具有的速度。

但是随着高度的增加，地球引力下降，环绕地球飞行所需要的飞行速度也降低，所有航天器都是在距地面很高的大气层外飞行，所以它们的飞行速度都比第一宇宙速度低。

人造卫星在地面附近(高度忽略）绕地球做匀速圆周运动时，其轨道半径近似等于地球半径R，其向心力为地球对卫星的万有引力，其向心加速度近似等于地面处的重力加速度。

物体所受重力=万有引力= 航天器沿地球表面作圆周运动时向心力
即22GMm mv mg r r == 2
mv mg r
=
所以2v gr = 62=6.3710,9.8/R m g m s ⨯=地 v= 7.9 km/s
计算公式：1v =
29.8(/)g m s =，66.3710R m =⨯ 2 第二宇宙速度理论推导
第二宇宙速度是物体挣脱地球引力的束缚而成为绕太阳运行的人造行星，或飞到其他行星上去的飞船所具有的最小速度，也叫脱离速度．
设物体的质量为m ，由地面克服地球引力飞至无穷远处，需做多少功呢？
地面a 处离地心为R0，即Oa ＝R0，Ob ＝R1，Oc ＝R2…O ∞＝R ∞
物体在a 处受引力0F ＝G ；b 处受引力F1＝G ；…
物体由a 移到b ，需克服引力做功1W ＝ 01(ab)．由于0F 到2F 中力是变化的，为此采取近似方法：
01＝G
这样由于 ，故F0＞ 01＞F1
所以1W ＝G
即1W ＝GMm( )(物体由a →b)
同理2W ＝GMm( )(物体由b →c)
3W ＝GMm( )(物体由c →d)
…
W ∞＝GMm( )
物体由a 移到无限远处时，共需做功
W ＝1W ＋2W ＋…＝GMm( )＝GMm/O R ．式中 ＝0
故物体在地面上需要具有动能22mv ＝GMm/O R
所以，第二宇宙速度2V ＝ ＝11.2 km/s(式中G 为引力常量，M 为地球的质量，O R 为地球半径)
3 第三宇宙速度理论推导
物体要进一步挣脱太阳的引力束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去所必须具有的最小速度，叫第三宇宙速度，也叫逃逸速度．
根据推导第二宇宙速度的同样道理可知，物体为了挣脱太阳的引力飞出太阳系，必须具有速度v′＝ ，式中M 日＝2×1030 kg，R 日地＝1.49×1011 m
所以v′＝42.2 km/s
物体是由地面出发的，地球围绕太阳公转的线速度v 线＝29.8 km/s ，如果物体顺着地球运动的轨道切向飞出的话，便可借助于地球的公转线速度，因而只需Δv ＝v′－v 线＝42.2-29.8＝12.4 km/s 就行了．但是，物体要飞出太阳系，要克服太阳的引力，首先要挣
脱地球引力的束缚才行．故物体在地面上应该具有的动能为22232()mv mv m v =+∆
故3V ＝16.7 km/s
4 结论
地球上的物体要脱离地球引力成为环绕太阳运动的人造行星，需要的最小速度是第二宇宙速度。

第二宇宙速度为11.2公里/秒，是第一宇宙速度的2倍。

地面物体获得这样的速度即能沿一条抛物线轨道脱离地球。

地球上物体飞出太阳系相对地心最小速度称为第三宇宙速度，它的大小为16.6公里/秒。

地面上的物体在充分利用地球公转速度情况下再获得这一速度后可沿双曲线轨道飞离地球。

当它到达距地心93万公里处，便被认为已经脱离地球引力，以后就在太阳引力作用下运动。

这个物体相对太阳的轨道是一条抛物线，最后会脱离太阳引力场飞出太阳系。

一些特殊的轨道速度，如环绕速度、逃逸速度，有时也被分别称为第一、第二宇宙速度。

那如何才能使运载火箭或航天飞机达到宇宙速度呢，理论和实践证明，火箭飞行速度决定于火箭发动机的喷气速度和火箭的质量比。

发动机的喷气速度越高，火箭飞行的速度越高；火箭的质量比越大，火箭飞行能达到的速度越高。

火箭的质量比是火箭起飞时的质量(包括推进剂在内的质量)与发动机相关机(熄火)时刻的火箭质量(火箭的结构质量，即净重)之比。

因此，质量比大，就意味着火箭的结构质量小，所携带的推进剂多。

火箭可分为单级和多级，多级火箭又可分为串连、并连、串并连相结合，一般来说，火箭级数越多它的动能越大，但是理论计算和实践经验表明，每增加1份有效载荷，火箭需要增加10份以上的质量来承受，随着火箭级数的增加，使最下面的一级和随后的几级变得越来越宠大，以致于无法起飞。

多级火箭一般不超过4级。

[参考文献]
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