完整word版北师大版初中中考数学压轴题及答案

中考数学专题复习(压轴题)
1.:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A〔-1，0〕、B〔0，3〕两点，其顶点为 D.
〔
1〕求该抛物线的解析式；
〔2〕
假设该抛物线与x轴的另一个
交点为 E.求四边形ABDE的面积；
〔3〕
△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理
由.
2
〔注：抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的顶点坐标为
2 b,4ac b〕
2a4a
2.如图，在Rt△ABC中， A 90，AB6，AC 8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点 P作PQ BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于
R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ x，QR y．
1〕求点D到BC的距离DH的长；
2〕求y关于x的函数关系式〔不要求写出自变量的取值范围〕；
〔3〕是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？假设存在，请求出所有满足要求的x的值；假设不存在，请说明理由．
A R D
P E
B C
H Q
3在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点〔不与A ，B 重合〕，过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ． 1〕用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； 2〕当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？
〔3〕在动点M 的运动过程中，记
△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为 y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求
x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？
A
A
A
M
O
N
M
N
M O N
O
P B
C
C B
C
B
D
P
1
图2
图
图
3
4.如图1，在平面直角坐标系中，己知AOB是等边三角形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把AOP绕着点A
按逆时针方向旋转.使边AO与AB重合.得到ABD.〔1〕求直线AB的解析式；〔2〕当点P运动到点〔3，0〕时，求此时DP的长及点D的坐标；〔3〕是否存
在点P，使OPD的面积等于3
，假设存在，请求出符合条件的点P的坐标；假设不存在，请说明理由. 4
（
5如图，菱形 ABCD的边长为 2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.
1〕求证：△BDE≌△BCF；
2〕判断△BEF的形状，并说明理由；
〔3〕设△BEF的面积为S，求S的取值范围.
6如图，抛物线L1:y x22x 3交x轴于A、B两点，交 y轴于M点.抛物线L1向右平移2个单位后得到抛物线L2，L2交x轴于C、D两点.
〔1〕求抛物线L2对应的函数表达式；
〔2〕抛物线L1或L2在x轴上方的局部是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.假设存在，求出点N的坐标；假设不存在，请说明理由；〔3〕假设点P是抛物线L1上的一个动点〔P不与点A、B重合〕，那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线L2上，请说明理由.
7.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．1〕求梯形ABCD的面积；
2〕求四边形MEFN面积的最大值．
3〕试判断四边形MEFN能否为正方形，假设能，求出正方形MEFN的面积；假设不能，请说明理由．
C
M N
A E F B
8.如图，点 A 〔m ，m ＋1〕，B 〔m ＋3，m －1〕都在反比例函数 y k
的图象上．
x
（ 1〕求m ，k 的值；
2〕如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点，以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式．
y A
B
友情提示：本大题第〔1〕小题4分，第〔2〕小题7 分．对 O
x
完成第〔2〕小题有困难的同学可以做下面的〔
3 〕选做
题．选做题2分，所得分数计入总分．但第〔
2〕、〔3〕
小题都做的，第〔 3〕小题的得分不重复计入总分．
〔3〕选做题：在平面直角坐标系中，点
P 的坐标
y
Q 1
为〔5，0〕，点Q 的坐标为〔0，3〕，把线段PQ 向右平
移4个单位，然后再向上平移 2个单位，得到线段 P 1Q 1，Q
那么点P 1的坐标为 ，点Q 1的坐标为
．
2
P 1
1
O 123P x
9. 16
，在平面直角坐标系中，直线
y 3x3 与x 轴交于点
A
，与 y 轴交于点 C
，抛物线
yax
2
23
xc(a0)
经过 A ，B ，C
三点．
如图
3
〔1〕求过A，B，C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；
〔2〕在抛物线上是否存在点P，使△ABP为直角三角形，假设存在，直接写出P点坐标；假设不存在，请说明理由；〔3〕试探究在直线AC上是否存在一点M，使得△MBF的周长最小，假设存在，求出M点的坐标；假设不存在，请说明理由．y
A O B
C
F
图16
x
10.
如下图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC
的边
BO
在x轴的负半轴上，边
OC
在
y
轴的正半轴上，且
AB1OB3
，矩形
ABOC
绕点
O
按顺时针方向旋转
，
60后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线y ax2bx c过点A，E，D．
1〕判断点E是否在y轴上，并说明理由；
2〕求抛物线的函数表达式；
〔3〕在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，假设存在，请求出点P，点Q 的坐标；假设不存在，请说明理由．
y
E
F
A C
D
B O x
压轴题答案
1.解：〔
c3
解得1〕由得：
bc
10
c=3,b=2
∴抛物线的线的解析式为yx22x3
由顶点坐标公式得顶点坐标为〔1，4〕
所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以E(3,0)设对称轴与x轴的交点为F
所以四边形ABDE的面积=S ABO S梯形BOFD S DFE
=1
AOBO
1
(BO DF)OF
1
EFDF 222
=1
13
1
(34)1124 222
=9
〔3〕相似
如图，BD=BG2DG212122 BE=BO2OE2323232y
D
B
G
A E
O F x
DE=DF 2
EF 2
22 42 25
所以BD 2
BE 2
20, DE 2 20即：BD 2 BE 2
DE 2 ,所以
BDE 是直角三角形
所以
所以
AOB
DBE90,且
AO
BO 2 ,
BD
BE
2
AOB DBE .
2解：〔1〕
A Rt ，AB
6，AC
8，BC10．
点D 为AB 中点，
BD
1
AB3．
2
DHB
A90， B
B ．
△ BHD ∽△BAC ， DH BD
，DH
BD AC 3 8 12 ． AC
BC
BC
10 5
〔2〕
QR ∥AB ，
QRC
A
90．
C ，△RQC ∽△ABC ，
RQ QC
y 10 x
AB BC ，
10
，
6 3
即y 关于x 的函数关系式为：
y
x6．
5
〔3〕存在，分三种情况：
①当PQ
PR 时，过点P 作PM
QR 于M ，那么QMRM ．
A
1 2 90， C
290，
DP R
1
C ．
E
1 M
B
2 C
HQ
cos 1 cosC
8
4
QM 4
，
QP
，
10 5
5
1 3
x6
4
18 2
5
， x
12
5 ．
5
5
②当PQ
RQ 时，
3
x6 12 ，
5
5
x6．
③当PR
QR 时，那么R 为PQ 中垂线上的
点，
于是点R 为EC 的中点，
CR
1
CE
1
AC
2．
2 4 tanC QR BA ，
CR
CA
3x
6
6 15
5
， x
2
8．
2
综上所述，当 x 为18
或6或15
时，△PQR 为等腰三角形．
∴ 5 2
解：〔1〕∵MN ∥BC ，∴∠AMN=∠B ，∠ANM ＝∠C ． △AMN ∽△ABC ．
∴AM
AN ，即
x
AN ． AB AC 4
3
AN ＝3
x ．2分4
∴S =S MNP S AMN
1 3
xx
3
x 2．〔0＜x ＜4〕
2 4
8
A
D
P
E
R
B
C
H
Q
A
D EP
R B C
H
Q
A
M O
N
P
B
C
图1
3分
〔2〕如图2，设直线 BC 与⊙O 相切于点 D ，连结AO ，OD ，那么AO=OD=1
MN ． 2
在Rt △ABC 中，BC ＝AB
2
AC 2
=5．
A
由〔1〕知△AMN ∽△ABC ．
M
N
O
∴
AMMN ，即
xMN
．
ABBC
4
5
B
Q
C
D
∴
MN
5 图2
x ，
4
∴OD
5
x ．5分
8
5
x ．
过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，那么MQOD
8
在Rt △BMQ 与Rt △BCA 中，∠B 是公共角，∴△BMQ ∽△BCA ． ∴
BMQM ．
BCAC
55
x
25
25 ∴ BM
8
x ，ABBMMA 3
24
xx4．
24
x ＝96．49
∴
当
x ＝
96
时，⊙O
与直线
BC 相切．7
分
49
〔3〕随点M 的运动，当P 点落在直线BC 上时，连结AP ，那么O 点为AP 的中点．
∵MN ∥BC ，∴∠AMN=∠B ，∠AOM ＝∠APC ．
A
∴△AMO ∽△ABP ．
∴
AMAO1
．AM ＝MB ＝2．ABAP2
M
N
O
故以下分两种情况讨论：
B
C
3
P 2
．
图3
①当0＜x ≤2时，yS PMN
x
8
∴当x ＝2，y 最大
3
2
2
3
.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8 2
② 当2＜x ＜4，PM ，PN 分交BC 于E ，F ．∵四形AMPN 是矩形，
M
PN ∥AM ，PN ＝AM ＝x ． 又∵MN ∥BC ，
B
∴ ∴四形MBFN 是平行四形．
FN ＝BM ＝4－x ．
8分
A
O
N
E F C
P 图4
∴PF
x 4x
2x 4 ．
又△PEF ∽△ACB ．
PF 2
S PEF ∴
．
AB
S
ABC
S
PEF
3 x 2
∴
2
．
⋯
⋯
⋯
⋯ ⋯⋯
⋯
⋯
⋯⋯
⋯
⋯⋯
⋯
⋯⋯
⋯
⋯
9
分
2
3x 2 3
9x 2
y S MNP
S PEF
x 2
6x6
1
＝
2 ．
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
分
8
2
8
9x 2
2
当2＜x ＜4，y
6x6
9x 8
2．
8
8
3
∴当x
8
，足 2＜x ＜4，y 最大
2 ．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分
3
8
上所述，当x
2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
12分
，y 最大，最大是
3
4 解：〔 1〕作BE ⊥OA ，∴
AOB 是等三角形
∴BE=OB ·sin60o =2 3，∴B(2
3,2)
∵A(0,4),AB 的解析式y
kx 4 ,所以2 3k 42
,解得k
3
,
3
以直线AB 的解析式为y
3
x4
3
o 〔2〕由旋转知，AP=AD,∠PAD=60,
∴APD 是等边三角形，
PD=PA=AO
2
OP
2
19
如图，作BE ⊥AO,DH ⊥OA,GB ⊥DH,显然 GBD 中∠GBD=30°
∴GD=1BD=
3
,DH=GH+GD=3
+2
3=
53
,
2 2
2
2
∴GB=3
BD=3,OH=OE+HE=OE+BG=
3
7 2
2
2
2
2
y
A
G D
H E
B
O
P
x
5 3
7
∴D( 2
,)
2
(3)设OP=x,那么由〔2〕可得D(2
3 x,2
3
x )假设 OPD 的面积为：
1
x(2
3
x)
3
2
2
2
4
解得：x
2321 所以P( 2 3
21
,0)
3
3
5
6
7解：〔1〕分D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点
AB∥CD，
DG＝CH，DG∥CH．
四形DGHC矩形，GH＝CD＝1．
DG＝CH，AD＝BC，∠AGD＝∠BHC＝90°，
∴△AGD≌△BHC〔HL〕．D
M H．⋯⋯⋯⋯⋯1分C
N
A EG HF B
∴AG ＝BH ＝
ABGH
71
＝3． ⋯⋯⋯2分
2 2
∵在Rt △AGD 中，AG ＝3，AD ＝5，
∴DG ＝4．
∴ 1 7 4
． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
S 梯形ABCD
2 16
2〕∵MN ∥AB ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，
∴ME ＝NF ，ME ∥NF ．
D
C
M
∴四形MEFN 矩形． N
∵AB ∥CD ，AD ＝BC ，
∴∠A ＝∠B ．
∵ME ＝NF ，∠MEA ＝∠NFB ＝90°，
A EG HF
∴△MEA ≌△NFB 〔AAS 〕．
∴ AE ＝BF ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分AE ＝x ，EF ＝7－2x ．⋯⋯⋯⋯⋯5分∵∠A ＝∠A ，∠MEA ＝
∠DGA ＝90°， △MEA ∽△DGA ．
分
B
∴
AEME ．
AGDG ∴ME ＝4
x ．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
3
2
∴S 矩形MEFN MEEF
4 x(72x) 8 x 7 49
．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
3
3 4
6
当x ＝7，ME ＝7
＜4，∴四形MEFN 面的最大
49
．⋯⋯⋯⋯⋯9分
4
3
6
〔3〕能．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
10分
由〔2〕可知，AE ＝x ，EF ＝7－2x ，ME ＝4
x ．
3
假设四形MEFN 正方形，ME ＝EF ．
即4x
7－2x ．解，得
x
21
．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
11分
3
10
∴EF ＝7
2x72 21
14
＜4．
10 5
2
∴四形MEFN 能正方形，其面
S
正方形MEFN
14 196．
5 25
8解：〔1〕由意可知，mm1 m3m1 ．
解，得m ＝3． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3分
∴A 〔3，4〕，B 〔6，2〕；
y
∴k ＝4×3=12．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4分
A
〔2〕存在两种情况，如：
①当M 点在x 的正半上，N 点在y 的正半
N 1
上，M 1点坐〔x 1，0〕，N 1点坐〔
0，y 1〕．
∵四形AN 1M 1B 平行四形，
M 2
O M 1
∴段N 1M 1可看作由段AB 向左平移3个位，
N 2
再向下平移2个位得到的〔也可看作向下平移
2个位，再向左平移
3个位得到的〕．
由〔1〕知A 点坐〔3，4〕，B 点坐〔 6，2〕，
∴N 1点坐〔0，4－2〕，即N 1〔0，2〕；
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5分
M 1点坐〔6－3，0〕，即M 1〔3，0〕．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6分
直M 1N 1的函数表达式yk 1x2，把x ＝3，y ＝0代入，解得k 1
2．
3
B
x
∴直M 1N 1的函数表达式y
2
2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分 x
3
②当M 点在x 的半上，N 点在y 的半上， M 2点坐〔x 2，0〕，N 2点坐〔0，y 2〕． AB ∥N 1M 1，AB ∥M 2N 2，AB ＝N 1M 1，AB ＝M 2N 2， N 1M 1∥M 2N 2，1M 1＝M 2N 2． 段M 2N 2与段N 11
关于原点O 成中心称． ∴M 2点坐〔-3，0〕，N 2点坐〔0，-2〕．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
9分
直M 2N 2的函数表达式
y k 2x2，把x ＝-3，y ＝0代入，解得k 2 2，
2
3
∴直M 2N 2的函数表达式
y
2．
x
3
2
所以，直MN 的函数表达式
2 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯
11分
y
x2或yx
3
3
〔3〕做：〔9，2〕，〔4，5〕．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
9解：〔1〕
直线y 3x 3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．
A( 1，0)，C(0， 3)·······································1分
点A ，C 都在抛物线上，
0a
2
3 a 3
c
3
3
3 c
c
3
抛物线的解析式为
y
3x 2 23
x3··························3分
3
3
顶点F 1，
43
·············································4分
3
〔2〕存在 ····················································5分
P(0 3) ···············································7 分 1， P 2(2， 3)···············································9分
3〕存在···················································10分理由： 解法一：
延长BC 到点B ，使BCBC ，连接BF 交直线AC 于点M ，那么点M 就是所求的点．
·······································11分
过点B 作BH
AB 于点H ．
y
B 点在抛物线y
3x 2 23
x3上，
B(3，0)
3
3
3
H
O
x
在Rt △BOC 中，tanOBC
A B
，
3
C
B
M F
图9
OBC30，BC
23，
1 BB 23 ，
在Rt △BBH 中，BH
2
BH 3BH
6 ，
OH 3 ， B(
3，23)
······················· 分
12
设直线BF 的解析式为
ykxb
2 33k
b
k 3
6
4 3
解得
b
33
k
b
3
2
y
3 3 3
··············································13分
x
2
6
y 3x
3
x 3
7
3，10
3
y
3x 33 解得
3
M y
10 ， 77
6
2
7
在直线AC 上存在点M ，使得△MBF 的周长最小，此时
M 3，103
．·····14分
7 7 解法二：
过点F 作AC 的垂线交y 轴于点H ，那么点H 为点F 关于直线AC 的对称点．连接 BH 交AC 于点M ，那么点M 即为所求．
11分
过点F 作FG
y 轴于点G ，那么OB ∥FG ，BC ∥FH ．
y
BOC
FGH
90， BCO
FHG
A O B
x
C
M
G
F
H
图10
HFG
CBO
同方法一可求得 B(3，0)．
在Rt △BOC 中，tanOBC
3 OBC 30，可求得GH GC 3 ， ， 3
3 GF 为线段CH 的垂直平分线，可证得 △CFH 为等边三角形，
AC 垂直平分FH ．
即点H 为点F 关于AC 的对称点．H
0，53 ······················12分 3
设直线BH 的解析式为y kx b ，由题意得
3k b k 5 3
5 解得 9 b 3 5 b
3
3 3 y
5 35 3··············································13分
9 3
5 5 3
3x
x y 3 7 M 3，10 3 9 3 解得 y 3x
3 10 3 7 7 y 7
在直线AC 上存在点M ，使得△MBF 的周长最小，此时
M 3，103 ．1
7 7
10解：〔1〕点E 在y 轴上
·······································1分
理由如下：
连接AO，如下图，在Rt△ABO中，AB1，BO3，AO2
sinAOB 1
AOB30，
2
由题意可知：AOE60
BOE AOB AOE306090
点B在x轴上，点E在y轴上．·································3分〔2〕过点D作DM x轴于点M
OD1，DOM30
在Rt△DOM中，DM 1
，OM
3 22
点D在第一象限，
点D的坐标为
31
········································5分，
22
由〔1〕知EOAO2，点E在y轴的正半轴上
点E的坐标为(0，2)
点A的坐标为(31)，·······································6分抛物线y ax2bx c经过点E，
c2
由题意，将A(31)，
31代入y
ax2bx2中得，D，
22
3a3b21a 8 9
331解得
b53
a2
b
4229
所求抛物线表达式为：y8x253x2························9分
99
〔3〕存在符合条件的点P，点Q．··································10分
理由如下：矩形ABOC的面积ABBO3
以O，B，P，Q为顶点的平行四边形面积为23．
由题意可知OB为此平行四边形一边，
又OB3
OB边上的高为2············································11分依题意设点P的坐标为(m，2)
点P在抛物线y8x253x2上
99
8m253m22
99
解得，m10，m253 8
P1(0，2)，P253，
2
8
以O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，
PQ∥OB，PQ OB3，
y 当点P1的坐标为(0，2)时，E
A F
点Q的坐标分别为Q(3，2)，Q(3，2)；C
D
12
B OM
x
53当点
P2的坐标为，时，
82
点Q的坐标分别为Q3133，，
3
3，．
······················14分
82Q42
8
〔以上答案仅供参考，如有其它做法，可参照给分〕。