广东省江门市2013届高二下学期期末考试(理数)

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江门市2012年普通高中高二调研测试
数 学（理科）
本试卷共21题，满分150分，测试用时120分钟．不能使用计算器． 参考公式：锥体的体积公式h S V 3
1
=
，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 方差公式])()()[(1
222212
x x x x x x n
s n -++-+-=
．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
⒈复数i i Z ) 43(+=（其中i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 ⒉等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若n a n 29-=，则使得n S 最大的序号=n
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
⒊如图1，空间四边形OABC 中，点M 在OB 上，且MB OM 2=，点N 为AC 的中点。

若 a OA =， b OB =， c OC =，则= MN
A ． 21 21 32c b a ++-
B ． 21 21 21c b a -+
C ． 21 32 32c b a -+
D ． 2
1 3
2 21c b a +-
⒋若542sin
-=θ
，5
3
2cos =θ，则角θ的终边所在的直线是 A ．0247=+y x B ．0247=-y x C ．0724=+y x D ． 0724=-y x
⒌设α、β是两个不同的平面， l 是一条直线，以下命题中，正确的是
A ．若α⊥l ，βα⊥，则β⊂l
B ．若α//l ，βα//，则β⊂l
C ．若α⊥l ，βα//，则β⊥l
D ．若α//l ，βα⊥，则β⊥l ⒍已知离散型随机变量X 的 的分布列如右表，则=EX
A ．9.0
B ．0.1
C ．1.1
D ．2.1
秘密★启用前
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⒎阅读图2的程序框图，若输入6=m ，则输出=i
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
⒏将正偶数按下表排列
则2012所在的位置是
A ．第252行第3列
B ．第252行第4列
C ．第251行第3列
D ．第251行第4列
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9～13题）
⒐在等比数列{}n a 中，45=a ，67=a ，则_______9=a ．
⒑对于曲线C ：
11
42
2=-+-k y k x ，给出下面四个命题： ①曲线C 不可能表示椭圆； ②当41<<k 时，曲线C 表示椭圆； ③若曲线C 表示双曲线，则1<k 或4>k ； ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则2
51<<k ． 其中所有正确命题的序号为__ _ __ ．
⒒若)4 , 1(~N X ，6826.0)31(=≤<-X P ，________)3(=>X P ． ⒓已知命题p ：R x ∈∀，0222>++x x ． 它的否定p ⌝：______________________．
⒔已知x 、y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥++≤≥+-030
5k y x x y x ，且y x z 2+=的最小值为3-，则常数____=k ．
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B
B 1
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
⒕822
(x
x -的展开式中，4x 的系数是_ _ __ （用数字表示）．
⒖曲线x e y =，e y =，0=x 围成的图形的面积_______=S （用数字表示）．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． ⒗（本小题满分12分）
已知函数x x
x f sin 32
sin 2)(2
+=，R x ∈． ⑴求)3
(π
-f 的值；
⑵求函数)(x f 的单调递增区间．
⒘（本小题满分13分）
如图3，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，E 、F 分别是AB 、BC 的中点． ⑴求多面体1111D C B A AEFCD -的体积； ⑵求F D 1与平面EF B 1所成角的余弦值．
⒙（本小题满分13分）
已知某同学上学途中必须经过三个交通岗，且在每一个交通岗遇到红灯的概
率均为3
1
，假设他在3个交通岗是否遇到红灯是相互独立的，用随机变量ξ表示该
同学上学途中遇到红灯的次数．
⑴求该同学在第一个交通岗遇到红灯，其它交通岗未遇到红灯的概率； ⑵若2≥ξ，则该同学就迟到，求该同学不迟到．．．的概率； ⑶随机变量ξ的数学期望和方差．
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⒚（本小题满分14分）
设) , (1+n n n a a P （+∈N n ）是直线l ：12+=x y 上的点列，其中1P 是 l 与y 轴的交点．
⑴求1a ，2a
⑵用数学归纳法证明：对于一切正整数n ，121-=-n n a ；
⑶记直线 l 与直线n a x =、1+=n a x 、x 轴围成的梯形的面积为n b （+∈N n ），试求数列{}n b 的前n 项和n S ．
⒛（本小题满分14分）
已知圆C 的方程为422=+y x ，过点)4 , 2(M 作圆C 的两条切线，切点分别为
A 、
B ，直线AB 恰好经过椭圆T ：122
22=+b
y a x （0>>b a ）的右顶点和上顶点．
⑴求椭圆T 的方程；
⑵记过点M 的两条切线中经过第二象限的为l ，P 是椭圆T 上任意一点，P 到直线为 l 的距离为d ，求d 的取值范围．
21.（本小题满分14分）
已知函数x e x f =)(． ⑴证明：当10<≤x 时，x
e x -≤
11
； ⑵若函数3)(|)(1|)(-+--=x af x f x h （0>a 是常数）在区间]3ln , 3ln [-上有零点，求a 的取值范围．
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评分参考
一、选择题 BCDD CABA 二、填空题
⒐9 ⒑③④（只填1个正确的给3分；若填有错误的，则为0分）
⒒0.1587 ⒓R x ∈∃0，02202
0≤++x x （0x 全写成x 不扣分；≤写成<给3分） ⒔0 ⒕1120 ⒖1 三、解答题
⒗⑴)3sin(3)6(sin 2)3(2πππ-+-=-f ……1分，)23(3)21(22-⨯+-⨯=……
3分，1-=……5分
⑵x x x f sin 3cos 1)(+-=……7分，1)6
sin(2+-
=π
x ……9分，解不等式
2
26
2
2π
ππ
π
π+
≤-
≤-
k x k ……10分，得3
223
2π
ππ
π+
≤≤-
k x k (Z k ∈)……11分，所以)(x f 的单调递增区间为]3
22 , 32[π
πππ+
-k k （Z k ∈）……12分 （是否包含区间端点不扣分；Z k ∈写一次即可）
⒘⑴82221111=⨯⨯=-D C B A ABCD V ……1分，B B S Sh V BEF BEF B 131
311⨯⨯==∆- (2)
分，31
2112131=⨯⨯⨯⨯=……3分，所以，多面体1111D C B A AEFCD -的体积
3
23
11111=
-=--BEF B D C B A ABCD V V V ……4分 ⑵以1B 为原点，11C B 、11A B 、B B 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系……5分，则)0 , 0 , 0(1B ，)0 , 2 , 2(1D ，)2 , 1 , 0(E ，)2 , 0 , 1(F ……6分，设
平面EF B 1的一个法向量为) , , ( c b a n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0 0
1F B n EF n ……8分，即⎩⎨⎧=+=-020c a b a
……9分，取1=c ，则)1 , 2 , 2( --=n ……10分，|
|||, cos 111F D n F D n F D n ⋅>=
<……
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11分，9
8
=
……12分，F D 1与平面EF B 1所成角的余弦值9
17
, sin cos 1>=<=F D n θ……13分。

⒙⑴用事件)3 , 2 , 1(=i A i 表示该同学在第i 个交通岗遇到红灯，事件B 表示
“在第一个交通岗遇到红灯，其它交通岗未遇到红灯”……1分，
则321A A A B =，且事件)3 , 2 , 1(=i A i 两两相互独立……2分，
所以27
4
323231)()()()()(321321=⨯⨯===A P A P A P A A A P B P ……4分
⑵因为该同学经过三个交通岗时，是否遇到红灯互不影响，所以可看成3次
独立重复试验，即)3
1
, 3(~B ξ……6分，所以该学生不迟到的概率为：
2720)32()31()32()31()1()0()2(2
1133003=+==+==<C C P P P ξξξ……9分
(或221330
331212720(2)1(2)1[()()()()]133332727
P P C C ξξ<=-≥=-+=-=……9分)
⑶)31 , 3(~B ξ，所以ξ的数学期望1
313
E np ξ==⨯=……10分，方差
122
(1)3333
D np p ξ=-=⨯⨯=……12分
答（略）……13分（这是全部三个小问的答，共1分；若每问求得的结果都有文字说明，则没有这个“答”也不扣分。

这1分记在第⑶小问）
⒚⑴依题意，01=a ……1分，11212=+=a a ……2分 ⑵1=n 时，由得120111-==-a ，命题成立……3分，
假设当)(*∈=N k k n 时命题成立，即121-=-k k a ……4分，因为) , (1+k k k a a P 在直线12+=x y 上，所以121+=+k k a a ……6分，12)12(21)1(1-=+-⨯=-+-k k ，所以，当1+=k n 时命题成立……7分。

综上所述，对于一切正整数n ，121-=-n n a ……8分。

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⑶（方法一）依题意)(2
12
1n n n n n a a a a b -⨯+=
+++……10分，11243---⨯=n n ……11分，2
12141)41(3-----⨯=n
n n S ……13分，n n 24-=……14分。

（方法二）依题意，n S 是直线 l 与直线1a x =、1+=n a x 、x 轴围成的梯形的面积……10分，)(2
112
2a a a a S n n n -⨯+=
++……12分，n n 24-=……14分。

⒛⑴观察知，2=x 是圆C 的一条切线，切点为)0 , 2(A ……1分，根据圆的切线性质，AB MC ⊥……2分，所以2
1
1-=-
=MC
AB k k ……3分，所以直线AB 的方
程为)2(2
1
0--=-x y ……4分。

直线AB 与y 轴相交于)1 , 0(，依题意2=a ，1=b
……5分，所求椭圆T 的方程为14
22
=+y x ……6分 ⑵设l ：)2(4-=-x k y ，即024=-+-k y kx ，解21
|
2400|2
=+-+-⨯=k k k d
……7分，得4
3
=
k ……8分， l 在椭圆T 外，若P 到直线 l 的距离取最大（小）值，则经过P 且与 l 平行的直线PQ 与椭圆T 相切，设PQ ：b x y +=
4
3
……9分，由⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+==+b
x y y x 4314
2
2得0)1(16241322=-++b bx x ……10分，由0=∆解得213±=b ……
11分，所以l ：01043=+-y x ，PQ ：013243=±-y x ……12分，l 与PQ 之间的距离5
13
21043|13210|2
20±=
+±=
d ……13分，所求d 的取值范围为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-513210 , 513210……14分． （第⑴问学生正确求出方程既给满分，若用到第⑵问评分的知识方法，在不重复给分前提下相应给分；第⑵问若学生用参数方程求解，可参考上述评分给分）
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21.⑴设x e x x g )1()(-=（其中10<≤x ）……1分，x x x xe e e x x g -=--=)1()(/ ……2分，0)(/≤x g ，)(x g 在区间) 1 , 0 [单调减小……3分，所以1)0()(=≤g x g ，
即1)1(≤-x e x ，因为10<≤x ，01>-x ，所以x
e x -≤11
……4分
⑵依题意，⎪⎩
⎪⎨⎧<-+≥-+-=--.0 , 4,0 , 2)(x ae e x ae e x h x
x x
x ……5分 设2)(1-+-=-x x ae e x h （其中0>a ，3ln 0<≤x ），0)(/
1>+=-x x ae e x h ，
)(1x h 在]3ln , 0[上单调递增……6分，)(1x h 在]3ln , 0[上有零点当且仅当
0)3(ln )0(11≤h h ，解0)373)(3()3(ln )0(11≤--=a a h h 得39
7
≤≤a ……7分
设4)(2-+=-x x ae e x h （其中0>a ，03ln <≤-x ），x x ae e x h +-=-)(/
2，解
0)(/
2=x h 得a x ln 2
1-=……8分
当10≤<a 时，0ln 2
1≥-a ，0)(/
2<x h ，)(2x h 在)0 , 3ln [-上单调递减 (9)
分，)(2x h 在)0 , 3ln [-上有零点当且仅当0)3ln (2=-h 或0)3ln ()0(22<-h h ，解得
3=a 与1≤a 不符……10分
同理，当9≥a 时，)(2x h 在)0 , 3ln [-上无零点……11分
当91<<a 时，0ln 213ln <-<-a ，)(2x h 在]ln 21
, 3ln [a --上单调递减，在
)0 , ln 2
1
[a -上单调递增……12分，)(2x h 在)0 , 3ln [-上有零点当且仅当0)ln 21()3ln (22≤--a h h 或0)ln 2
1
()0(22≤-a h h ，解得43≤≤a ……13分
综上所述，a 的取值范围为]4 , 9
7
[]4 , 3[]3 , 97[= ……14分
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