湖南师大附中2013届高三第5次月考数学理解析版 含答案

高三年级月考数学试题（5)
理 科
一、选择题：（本大题共8小题,每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 指数函数,0()(>=a a
x f x
且)1≠a 在R 上是减函数，
则函数3)2()(x a x g -=在R
上的单调性为（ ）
A 。

单调递增
B 。

单调递减
C 。

在),0(+∞上递增，在)0,(-∞上递减
D 。

在),0(+∞上递减，在
)0,(-∞上递增
【答案】B
【解析】由已知有10<<a ，显然函数3
)2()(x a x g -=在R 上单调递减。

2。

已知集合⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-=21,31A ，{}01=+=ax x B ,且A B ⊆，则a 的可取值组成的集
合为（ ）
A 。

{}2,3- B.{}2,0,3- C 。

{}2,3- D 。

{}2,0,3- 【答案】D
【解析】Φ=⇒=B a 0,满足条件 0≠a 时，由311-=-
a 或2
1
1=-a 得2,3-=a ， 故a 的可取值组成的集合为{}2,0,3-
3。

向量b a
,均为单位向量,其夹角为θ，则命题“1:>-b a p ”是命题“)6
5,2[:π
πθ∈q ”的（ ）条件. A 。

充分非必要条件 B 。

必要非充分条件 C.充分必要条件 D 。

非充分非必要条件 【答案】B
【解析】2
1cos 21
121)(1:222<⇒<⋅⇒>+-⇒>-⇒>-θb a b b a a b a b a p
],3
(ππ
θ∈⇒
从而⇒∈)6
5,
2[:π
πθq 1:>-b a p
,反之不成立。

4. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的母线与底面所成的角为( )
A.
30 B.
45 C.
60 D 。

75
【答案】C
【解析】设圆锥的母线长为l ,底面半径为r ，
由已知有:222
12
=⇒=⋅l l ππ，12
42=⇒=
⋅r r π
π 则所成的角为
60
5。

一个样本a ，3,5,7的平均数是b ,且b a ,分别是数列{}2
2-n 的第2和第4项，则这个样本的方差是( ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 【答案】C
【解析】由已知4,1==b a ， 则5])47()45()43()41[(4
1
22222
=-+-+-+-=s
6. 已知锐角A ，B 满足)tan(tan 2B A A +=,则B tan 的最大值为（ ) A.
22
B. 2
C.
2
2 D 。

4
2 【答案】D
【解析】A
A A A A
B A A B A A B A B tan 2tan 1
tan 21tan tan )tan(1tan )tan(])tan[(tan 2
+
=+=++-+=-+=，
又0tan >A ，则22tan 2
tan ≥+A
A 则4
22
21tan =≤
B 。

【注】直接按和角公式展开也可。

7。

已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的离心率为23
，双曲线12
22
2=-y x 的渐近
线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆的方程为（ ） A.
12
82
2=+y x
B 。

16
122
2=+y x
C.14
162
2=+y x
D 。

15
202
2=+y x
【答案】D
【解析】双曲线12
22
2=-y x 的渐近线方程为x y ±=，由23=e 可得b a 2=，
椭圆方程为1422
22=+b
y b x ，而渐近线与椭圆的四个交点为顶点的
四边形为正方形,
设在一象限的小正方形边长为m ，则242
=⇒=m m ,从而点(2，
2)在椭圆上， 即：51242222
22=⇒=+b b
b
于是20,52
2
==a b 。

椭圆方程为15
202
2=+y x ，答案应选
D 。

8。

如果一个n 位十进制数n
a a a a 3
21的数位上的数字满足“小大小大
小大”的顺序，即满足： 654321
a a a a a a
<><><，我们称这种数为“波
浪数”；从1，2,3，4，5组成的数字不重复的五位数中任取一个五位数abcde ，这个数为“波浪数”的概率是（ ）
A.152
B 。

15
4 C 。

5
2
D.15
8
【答案】A
【解析】显然d b ,中必有一个数字为5，由对称性，不妨先设5=b ,则3≥d 。

若4=d ,则e c a ,,是3,2,1的任意排列都满足，即63
3
=A 种；
若3=d ,则e c ,是1，2的任意排列,且4=a ，即2种；
则满足条件的概率是：15
2
)(25
52233=+A A A 二、
填空题：（本大题共7小题, 每小题5分, 共35分。

把答案填在答
题纸的相应位置．)
9. 复数z 满足2)1(=-i z (其中i 为虚单位)，则=z 。

【答案】i +1 【解析】i i i z +=+=-=12
)
1(212 10.
6)1
(x
x -的展开式中，系数最大的项为第______项。

【答案】3或5
【解析】6
)1(x
x -的展开式中系数与二项式系数只有符号差异，又中间项的二项式系数最大，中间项为第4项其系数为负，则第3,5项系数最大。

11。

阅读下面算法语句：
则执行图中语句的结果是输出 . 【答案】i=4
【解析】这是当型循环语句,输出结果不是数字4，而是i=4.提醒学生注意细节。

i=1
WHILE i *(i+1）<20 i=i+1 WEND
PRINT “i=”;i END
12. 设x ，y
满足约束条件11
2210
x y x x y ≥⎧⎪⎪≥⎨
⎪+≤⎪⎩，向量)1,1(),,2(-=-=b m x y a ，且b a // 则m 的最小值为 . 【答案】6-
【解析】不等式对应的可行域是顶点为)2,4(),2
1
,1(),8,1(C B A 的三角形及其内部，由b a //，得2m x y =-，可知在)8,1(A 处2m x y =-有最小值6-
13。

已知随机变量ξ服从正态分布),2(2
σN ，且8.0)4(=<ξP ,则)20(<<ξP 等
于 。

【答案】0.3
【解析】8.0)4(=<ξP ，则2.0)4(=>ξP ,又分布图像关于直线2=x ，
2.0)4()0(=>=<ξξP P ，则6.0)40(=<<ξP ,
3.0)20(=<<ξP
14. 正四面体ABCD 中，AO ⊥平面BCD,垂
足为O ,设M 是线段AO 上一点，且BMC
∠是
直
角
,
则
MO
AM 的值
为 . 【答案】1
【解析】如图，联结OB ，设正四面体的棱
长为a ，则
2
2,33==
MB OB ，
故：AM AO OM ===
2
1
66，则1=MO AM 。

15。

我们把形如()0,0>>-=b a a
x b y 的函数称为“莫言函数"，并把其与y
轴的交点关于原点的对称点称为“莫言点”，以“莫言点"为圆心凡
是与“莫言函数”有公共点的圆，皆称之为“莫言圆”，则当1=a ，1=b 时，
（1）莫言函数的单调增区间为：()(]0,1,1--∞-， （2）
所有的“莫言圆”中，面积的最小值为
____π3________
解析(1）由图1易知x=1与x=-1是函数图像的渐
近线
所以,单调增区间为:()(]0,1,1--∞-，
(2）如图2显然圆心C （0，—1）,由图当圆C 与“莫言眉毛"相切时，
圆面积最小.在()1x 1
1
>-=
x y 上任取一点P(x,y ），则
代人得：把1
1
y )1(222-=
-+=x y x R R 2=22)111(x --+x 令t=
化简得：)0(11>-t x R 2=311t 2+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-）（t ,3R 2
≥∴
∴面积的最小值为3π
三、解答题(本大题6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）
16。

(本小题满分12分)设△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知a 、b 、c 成等比数列，且3sin sin 4
A C =．
（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）设向量(cos , cos2)A A =m ，12(, 1)5
=-n ，当⋅m n 取最小值时，判断△ABC 的形状。

【解析】（Ⅰ)因为a 、b 、c 成等比数列，则2
b
ac =．由正弦定理得
2sin sin sin B A C =．
又3sin sin 4
A C =，所以2
3
sin
4
B =
．因为sinB ＞0，
则sin B =
． (4)
分
因为B ∈(0,π）,所以B ＝3
π或23
π．……………… 5分
又2
b
ac =,则a b ≤或b c ≤,即
b 不是△ABC 的最大边，故3
π=B ．………
6分
（Ⅱ）因为12cos cos 25
A A ⋅=-+m n ， ………………………………………
7分
所以2
212343
cos 2cos
12(cos )5
525
A A A ⋅=-+-=--m n 。

……………… 9分
所以当3
cos 5A =时,⋅m n 取得最小值。

此时13cos 2
5A <=<
0A
），于是63
A ππ
<<。

……………… 11分
又2
3π
π>+⇒=B A B ，从而△ABC 为锐角三角形。

…………………… 12分
17.（本小题满分12分）为调查某社区年轻人的周末生活状况，研究这一社区年轻人在周末的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区年轻人80人,得到下面的数据表：
(Ⅰ）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的年轻男性，设调查的3人在这一时间段以上网为休闲方式的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）根据以上数据，能否有99％的把握认为“周末年轻人的休闲方式与性别有关系”?
参考公式：2
2
(),.()()()()
n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++其中
参考数据：
【解析】（Ⅰ)依题意，随机变量X 的取值为0，1，2，3，且每个男性在周末以上网为休闲方式的概率为
5.6
p = …………………………………………………
…2分
解法一：031233
2233
331115150)=1).=621666216
157551252).(),3)(),
662166216
P X C P X C P X C P X C
==========（（），（（），（（ (6)
∴X 的分布列为： =0+1+2+3=.2162162162162
EX ⨯⨯⨯⨯
…………………………………。

8
分 解
法
二
：
根
据
题
意
可
得
5
~6
X B （3，）， …………………………………。

4分
∴3315(=)()(),0,1,2,3.66
k k k P X k C k -== (6)
分
553.62
EX np ∴==⨯
= …………………………………
……8分
(Ⅱ）提出假设H 0：休闲方式与性别无关. 根据样本提供的2×2列联表得：
22
2
()80-80
==8.889 6.635.()()()()602020609n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯⨯=≈>++++⨯⨯⨯（10101050）
…10分
因为当H 0成立时，2
6.635K
≥的概率约为0.01,所以我们有99%的
把握认为“周末年轻居民的休闲方式与性别有关系”. ……………………….12分
18.（本小题满分12分)某研究性学习小组设计了一种计算装置,装置有一数据入口A 和一个数据出口B ，执行某种运算程序:当从A 口输入自然数1时，从B 口得到实数3
1，记为3
1)1(=f , 当从A 口输入自然数n(2≥n )时,在B 口得到的结果)(n f 是前一结果)1(-n f 的1
232+-n n 倍。

(Ⅰ）当从A 口输入2，3,4时，求从B 口分别得到什么数？试猜想f(n ）的表示式,并用数学归纳法证明你的结论； (Ⅱ）记n
S 为数列{})(n f 的前n 项的和，当从B 口得到
2303
1
时，求对应的n
S 的值.
【解析】(Ⅰ）由已知得),2)(1(1
232)(*
N
n n n f n n n f ∈≥-+-=
当n=2时，15
1
)1(1434)2(=+-=f f ， 同理可得
63
1)4(,351)3(==
f f ——-—----———--—--—---———------——--——————-——--————---—-—-—(2分)
猜想)
12)(12(1
)(+-=
n n n f
（＊）——-----—-—-——---—-—-——-———
--—-----—-——--------———（4分） 下面用数学归纳法证明(＊）成立
①当n=1,2，3，4时，由上面的计算结果知（＊)成立--—-—-—--—-—---——-—-—---——（5分）
②假设n=k （k ≥4，k ∈N ＊)时,(＊）成立，即)
12)(12(1
)(+-=k k k f ,
那么当n=k+1时，)
12)(32(1
)12)(12(13212)(3
212)1(++=+-•
+-=+-=+k k k k k k k f k k k f ,
[][]
1)1(21)1(21
++-+=
k k ∴当
n=k+1时,（＊）也成立--——-——--————
————---—--—-—-——（7分） 综合①②所述，对∀n ∈N*，)
12)(12(1
)(+-=n n n f 成立．—---—--—--------
—-——(8分） (Ⅱ）由2303
1
)12)(12(1)(=+-=n n n f ,得从
A 口输入的自然数28=n —--——（9
分） 因为)1
21
121(21)12)(12(1)(+--=+-=
n n n n n f ——--——---—-------—--——-—----———————（10分） 所以57
28
)5711(21)571551...()7151()5131()3111(2128
=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-+-=
S
---—（12分）
19。

（本小题满分13分）某处理中心拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形，按照设计
要
求容器的体积为803
π立方米,且2l r ≥。

假设该容器的建造费用仅与其表
面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为4(3)c c ＞.设该容器的建造费用为y 千元.
（Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式,并求该函数的定义域； (Ⅱ）求该容器的建造费用最小时r 的值。

【解析】（Ⅰ)因为容器的体积为803
π立方米,
所以3243
r r l ππ+=803π
,解得280433
r
l r =
-, 所以圆柱的侧面积为2rl π=28042()33r r r π-=2
160833
r r ππ-,…………（3分）
两端两个半球的表面积之和为2
4r π，…………(4分) 所以y =2
1608r r
ππ-+2
4cr π， …………（6分）
由
2804233
r
l r r =
-≥ 得02r <≤。

定义域为(]0,2。

…………(7分)
（Ⅱ）因为'
y =216016r r ππ--+8cr π=32
8[(2)20]
c r r π--,
所以令0y '=得r =(8分）
,t =则0,t >所以222
8(2)()()c y r t r rt t r π-'=-++。

①当02,t <<即92
c >时，易知r t =是函数y 的极小值点，也是最小值点。

……(10分)②当2,t ≥即932c <≤时，2r =是函数y
的最小值
点.…………(12分）
综上，当932
c <≤时，建造费用最小时2r =;
当92
c >时,建造费用最小时r =. …………（13分）
20、（本小题满分13分）
在直角坐标平面内y 轴右侧的一动点P 到点)0,4
1(的距离比它到y 轴的
距离大4
1。

（Ⅰ)求动点P 的轨迹C 方程；
(Ⅱ）将曲线C 上每个点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）得到曲线D 的图象，设Q 为曲线D 上的一个动点，点B 、C 在y 轴上，若QBC ∆为圆2
2(1)
1x y -+=的外切三角形,求QBC ∆面积的最小值。

【解析】（Ⅰ）由题知点P 到点)0,4
1(的距离与它到直线4
1-=x 的距离相
等，所以点
P
的轨迹是抛物线,方程为x y =2；
…………5分 （Ⅱ）依
题
意
，
曲
线
D 的方程是
x y 22=
…………6分
设),(),,(),,(c C b B y
x Q 0000
，则x x b
y b y QB 0
0-=
-:即0000=+--b x y x x b y )( 由直线QB 是圆的切线知12
2000=+-+-x b y b x b y )(||即0220020=-+-x b y b x )(
同理，0220020
=-+-x c y c x
)(所以c b ,是方程0220020=-+-x t y t x )(的两根
22200
00--=--
=+∴x x
bc x y c b ,
…………9分
000202
002
4242121x x x x y x c b S QBC
⋅-+-=-=∴)(||Δ 又020
2x y
=|
|Δ2020
-=
∴x x S QBC
由题知20>x 202
0-=∴x x S QBC Δ令20-=x t ，则 8
44 ≥44
)2(2=+++=+=∆t t t t S QBC
当2=t 即40
=x
时， “=”成立
QBC Δ∴面积的最小值为8．
…………
13分
21、（本小题满分13分）已知函数()
ln 1f x x ,21()
2
g x ax bx （0a
）.
（Ⅰ）若0a =，()()f x g x <在()0,+∞上恒成立,求b 的取值范围。

(Ⅱ）设数列1n
n c
n =
+，n S 为数列n c 的前n 项和,求证2ln 2n n S n +⎛⎫
<- ⎪⎝⎭
(III ）设函数(1)f x -的图象1
C 与函数)(x g 的图象2
C 交于点P ，Q ,过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交1
C ，2
C 于点M ，N ，问是否存在点R ,使1
C
在M 处的切线与2
C 在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在,请说明理由.
【解析】（Ⅰ)0a =时，()()ln(1)f x g x x bx <⇔+<
设()ln(1)h x x bx =+-，则1
()1h x b x
'=-+. (1分） 若0b ≤显然不满足题意；
若1b ≥，则[)0,x ∈+∞时，1
()01h x b x
'=-≤+恒成立, ()h x ∴在()0,+∞上为减函数，有ln(1)(0)0x bx h +-<=在()0,+∞上恒成立. 若01b <<，则1()01h x b x
'=-=+
时,11x b =-，10,1x b
⎡⎫
∈-⎪⎢⎣⎭
时()0h x '≥， 所以()h x 在10,1x b
⎡⎫
∈-⎪⎢
⎣⎭
上单调递增。

(0)0h =，∴10,1x b ⎡⎫
∈-⎪⎢⎣⎭
时，()0h x >,不满足题意。

综上，1b ≥时()()f x g x <在()0,+∞上恒成立. (4分)
（Ⅱ）由（1）得ln(1)x x +<在()0,+∞上恒成立。

令11
x n =+有
1111ln 1,11ln 1111n n n n ⎛⎫⎛⎫
+<-<-+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭
则1
11ln(2)ln(1)1
n
c
n n n =-
<-++++
()1ln3ln 2(1ln 4ln3)(1ln(2)ln(1))n S n n ∴<-++-++
+-+++
即2ln 2n
n S
n +⎛⎫
<- ⎪⎝⎭
.（8分）
（III ）(1)ln f x x -=，设点P ，Q 的坐标是1
1
(, )x y ，2
2
(, )x y ，且1
20
x x ，
则点M ，N 的横坐标为1
2
2
x x x。

1C 在点M 处的切线斜率为12
11
2
2
1
2x x x k x
x x .
2C 在点N
处的切线斜率为121
22
2
()2
x x x
a x x k
ax
b b 。

假设1
C 在点M 处的切线与2
C 在点N 处的切线平行,则1
2k
k .
即
1
21
2
()
22
a x x
b x x 。

所以
2
2
212
12112
2()
()()2
x x a x x b x x x x
=22
2
211()()22
a a
x
bx x bx =2
1y y =21ln ln x x =21
ln
x x 。

所以22
211
2112
1
2(1)2()ln 1
x x x x x x x x x x . (11分）
设21
1x u x ,则2(1)
ln 1u u
u
,1u .
-—--— ①
令2(1)
()ln 1u r u u
u
，1u ,则2
2
2
14(1)()
(1)(1)
u r u u
u u u . 因为1u ，所以()0r u 。

所以()r u 在[1,
)上单调递增。

故()
(1)
0r u r 。

则2(1)
ln 1
u u
u 。

这与①矛盾,假设不成立.
故1
C 在点M 处的切线与2
C 在点N 处的切线不平行。

(13分）。