数学_2012年吉林省长春市高考数学一模试卷(理科)(含答案)

2012年吉林省长春市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题纸上）
1. 设集合A ={x||x|≤2, x ∈R}，B ={y|y =−x 2, −1≤x ≤2}，则∁R (A ∩B)等于（ ） A R B (−∞, −2)∪(0．+∞) C (−∞, −1)∪(2, +∞) D φ
2. 若复数(a +i)2在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则实数a 的值是（ ）
A 1
B −1
C √2
D −√2
3. “a <−2”是“函数f(x)=ax +3在区间[−1, 2]上存在零点x 0”的（ ）
A 充分非必要条件
B 必要非充分条件
C 充分必要条件
D 既非充分也非必要条件 4. 阅读如图所示的程序框图，输出的结果S 的值为（ ）
A 0
B √3
2 C √
3 D −
√32
5. △ABC 中，∠A =π3
，BC =3，AB =√6，则∠C =( ) A π
6
B π
4
C 3π
4
D π
4
或3π
4
6. 设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：
①若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊄α，则b // α； ②若a // α，a ⊥β，则α⊥β；
③若a ⊥β，α⊥β，则a // α或a ⊂α； ④若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β 其中正确命题的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4
7. 如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为（ ）
A 3
2π B 2π C 3π D 4π
8. 函数y ＝cos(ωx +φ)(ω>0, 0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所表示，A 、
B 分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为2√2，则该函数的一条对称轴为（ ）
A x =2
π B x =π
2 C x ＝1 D x ＝2
9. 在△ABC 中，P 是BC 边中点，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若cAC →
+aPA →
+bPB →
=
0→
，则△ABC 的形状为（ ）
A 直角三角形
B 钝角三角形
C 等边三角形
D 等腰三角形但不是等边三角形 10. 类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S(x)=a x −a −x ，C(x)=a x +a −x ，其中a >0，且a ≠1，下面正确的运算公式是：（ ） ①S(x +y)=S(x)C(y)+C(x)S(y)；②S(x −y)=S(x)C(y)−C(x)S(y)； ③2S(x +y)=S(x)C(y)+C(x)S(y)；④2S(x −y)=S(x)C(y)−C(x)S(y)． A ①② B ③④ C ①④ D ②③
11. 设e 1、e 2分别为具有公共焦点F 1、F 2的椭圆和双曲线的离心率，P 是两曲线的一个公共点，且满足|PF 1→
+PF 2→
|=|F 1F 2→
|，则12
√e 1+e 2
的值为（ ）
A √2
2 B 2 C √2 D 1
12. 设f(x)是定义在R 上的增函数，且对于任意的x 都有f(1−x)+f(1+x)=0恒成立．如果实数m ，n 满足不等式组{f(m 2−6m +23)+f(n 2−8n)<0，
m >3，那么m 2+n 2的取值范围
是( )
A (3, 7)
B (9, 25)
C (13, 49)
D (9, 49)
二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题纸中的横线上）.
13. 若等差数列{a n }的前5项和S 5=25，且a 2=3，则a 7=________．
14. 已知直线l 1与圆x 2+y 2+2y =0相切，且与直线l 2:3x +4y −6=0平行，则直线l 1的方程是________．
15. 设f(x)={x 2x ∈[0,1]1x
x ∈(1,e]（e 为自然对数的底数），则∫f e
0(x)dx 的值________．
16. 已知函数f(x)={e x
，x ≥0−2x,x <0，则关于x 的方程f[f(x)]+k =0给出下列四个命题：
①存在实数k ，使得方程恰有1个实根；
②存在实数k ，使得方程恰有2个不相等的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有4个不相等的实根．
其中正确命题的序号是________（把所有满足要求的命题序号都填上）．
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17. 如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，
B 两点．
（1）如果A ，B 两点的纵坐标分别为45
，12
13
，求cosα和sinβ的值；
（2）在（1）的条件下，求cos(β−α)的值；
（3）已知点C(−1,√3)，求函数f(α)=OA →
⋅OC →
的值域．
18. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=2a n +1(n ∈N ∗)． （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）若数列{b n }满足4b 1−1⋅42b 2−1⋅43b 3−1…4nb n −1=(a n +1)n ，求数列{b n }的通项公式．
19. 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P −ABCD 中，AD // BC ，
∠ABC =90∘，PD ⊥面ABCD ．AD =1，AB =√3，BC =4． （1）求证：BD ⊥PC ；
（2）求直线AB 与平面PDC 所成角；
（3）设点E 在棱PC 、上，PE →
=λPC →
，若DE // 面PAB ，求λ的值．
20. 已知点A(−1, 0)，B(1, 0)，动点M 的轨迹曲线C 满足∠AMB =2θ|AM →
|⋅|BM →
|cos 2θ=3，过点B 的直线交曲线C 于P 、Q 两点．
（1）求|AM →
|+|BM →
|的值，并写出曲线C 的方程；
（2）求△APQ 面积的最大值．
21. 已知函数f(x)=e x −ax −1（a >0，e 为自然对数的底数）． （1）求函数f(x)的最小值；
（2）若f(x)≥0对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的值； （3）在（2）的条件下，证明：(1
n )n +(2
n )n +⋯+(
n−1n
)n
+(n n )n <e
e−1(其中n ∈N ∗)．
四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 如图，⊙O 内切于△ABC 的边于D ，E ，F ，AB =AC ，连接AD 交⊙O 于点H ，直线HF 交BC 的延长线于点G ． （1）求证：圆心O 在直线AD 上． （2）求证：点C 是线段GD 的中点． 23. 选修4−4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，O 为极点，半径为2的圆C 的圆心的极坐标为(2,π
3)．
（1）求圆C 的极坐标方程；
（2）P 是圆C 上一动点，点Q 满足3OP →
=OQ →
，以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，求点Q 的轨迹的直角坐标方程． 24. 选修4−5：不等式选讲
已知函数f(x)=|x −1|+|2x +2|． （1）解不等式f(x)>5；
（2）若不等式f(x)<a(a ∈R)的解集为空集，求a 的取值范围．
2012年吉林省长春市高考数学一模试卷（理科）答案
1. B
2. B
3. A
4. B
5. B
6. D
7. A
8. C
9. C 10. B 11. A 12. C 13. 13
14. 3x +4y −1=0或3x +4y +9=0 15. 4
3
16. ①②
17. 解：（1）根据三角函数的定义，得sinα=4
5，sinβ=
1213
．
又α是锐角，所以，cosα=3
5． （2）由（1）知，sinα=4
5，sinβ=
1213
．
又α是锐角，β是钝角， 所以cosα=3
5，cosβ=−5
13．
所以cos(β−α)=cosβcosα+sinβsinα=(−5
13
)×3
5
+
1213
×45
=
3365
．
（3）由题意可知，OA →
=(cosα,sinα)，OC →
=(−1,√3)． 所以f(α)=OA →⋅OC →
=√3sinα−cosα=2sin(α−π
6)， 因为0<α<π2，所以−π6<α−π6<π
3， 所以函数f(α)=OA →⋅OC →
的值域为(−1,√3)．
18. 解：（1）∵ a n+1=2a n +1，∴ a n+1+1=2(a n +1)，a 1=1，
所以数列{a n +1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以a n +1=2⋅2n−1=2n ， a n =2n −1，
（2）∵ 4b 1−1⋅42b 2−1⋅43b 3−1…4nb n −1=(a n +1)n ，
∴ 4b 1+2b 2+3b 3+⋯+nb n −n =2n 2
∴ 2(b 1+2b 2+3b 3+...+nb n )−2n =n 2， 即2(b 1+2b 2+3b 3+...+nb n )=n 2+2n①
当n ≥2时，2[b 1+2b 2+3b 3+...(n −1)b n−1]=(n −1)2+2(n −1)② ①-②得，2nb n =2n +1，b n =1+1
2n ， 当n =1时也适合，所以b n =1+
12n
，
19.
解：（1）∵ ∠DAB =90∘，AD =1，AB =√3，∴ BD =2，
∠ABD =30∘，
∵ BC // AD∴ ∠DBC =60∘，BC =4，由余弦定理得DC =2√3，
BC 2=DB 2+DC 2，∴ BD ⊥DC ，
∵ PD ⊥面ABCD ，∴ BD ⊥PD ，PD ∩CD =D ，∴ BD ⊥面PDC ，
∵ PC 在面PDC 内，∴ BD ⊥PC
（2）在底面ABCD 内过D 作直线DF // AB ，交BC 于F ， 分别以DA 、DF 、DP 为x 、y 、z 轴建立如图空间坐标系， 由（1）知BD ⊥面PDC ，∴ DB →
就是面PDC 的法向量，
A(1, 0, 0)，B(1, √3, 0)，P(0, 0, a)AB →
=(0, √3, 0)，DB →
=(1, √3, 0)， 设AB 与面PDC 所成角大小为θ，cosθ=2√3=
√32
， ∵ θ∈(0∘, 90∘)∴ θ=30∘
（3）在（2）中的空间坐标系中A 、(1, 0, 0)，B 、(1, √3, 0)，P(0, 0, a)C 、(−3, √3, 0)， PC →
=(−3, √3, −a)，PE →
=(−3λ, √3λ, −aλ)，
DE →
=DP →
+PE →
=(0, 0, a)+(−3λ, √3λ, −aλ)=(−3λ, √3λ, a −aλ) AB →
=(0, √3, 0)，PA →
=(1, 0, −a)， 设n →=(x, y, z)为面PAB 的法向量， 由AB →
⋅n →=0，
得y =0，由PA →
⋅n →
=0，得x −az =0，取x =a ，z =1，n →
=(a, 0, 1)， 由D 、E // 面PAB 得：DE →
⊥n →
，∴ DE →
⋅n →
=0，−3aλ+a −aλ=0，∴ λ=1
4 20. 解：（1）由题意，|AM|=|AM →
|，|BM|=|BM →
| 设M(x, y)，在△MAB 中，|AB|=2，∠AMB =2θ ∴ |AM|2+|BM 2|−2|AM|⋅|BM|cos2θ=4
∴ (|AM|+|BM|)2−2|AM|⋅|BM|(1+cos 2θ)=4 ∴ (|AM|+|BM|)2−4|AM|⋅|BM|cos 2θ=4 ∵ |AM →
|⋅|BM →
|cos 2θ=3 ∴ |AM|+|BM|=4 ∴ |AM →
|+|BM →
|=4
因此点M 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，a =2，c =1 ∴ 曲线C 的方程为x 2
4+
y 23
=1
（2）设直线PQ 方程为x =my +1(m ∈R)由x =my +1与x 2
4+y 23
=1，
消元可得：(3m 2+4)y 2+6my −9=0
显然，方程①的△>0，设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，则有S =1
2×2×|y 1−y 2|=|y 1−y 2|
y 1+y 2=−
6m
3m 2+4
，y 1y 2=−
9
3m 2+4
∴ (y 1−y 2)2=(y 1+y 2)2−4y 1y 2=48×3m 2+3(3m 2+4)2
令t =3m 2+3，则t ≥3，(y 1−y 2)2=
48
t+1t
+2
由于函数y =t +1t
在[3, +∞)上是增函数，∴ t +1t
≥103
故(y 1−y 2)2≤9，即S ≤3
∴ △APQ 的最大值为3，此时直线PQ 的方程为x =1 21. （1）解：由题意a >0，f′(x)=e x −a ， 由f′(x)=e x −a =0得x =lna ．
当x ∈(−∞, lna)时，f′(x)<0；当x ∈(lna, +∞)时，f′(x)>0． ∴ f(x)在(−∞, lna)单调递减，在(lna, +∞)单调递增．
即f(x)在x =lna 处取得极小值，且为最小值，其最小值为f(lna)=e lna −alna −1=a −alna −1．
（2）解：f(x)≥0对任意的x ∈R 恒成立，即在x ∈R 上，f(x)min ≥0． 由（1），设g(a)=a −alna −1，所以g(a)≥0． 由g′(a)=1−lna −1=−lna =0得a =1．
∴ g(a)在区间(0, 1)上单调递增，在区间(1, +∞)上单调递减， ∴ g(a)在a =1处取得最大值，而g(1)=0． 因此g(a)≥0的解为a =1，∴ a =1．
（3）证明：由（2）知，对任意实数x 均有e x −x −1≥0，即1+x ≤e x ． 令x =−k
n (n ∈N ∗
, k =0, 1, 2, 3,…,n −1)，则0<1−k
n ≤e −
k
n
．
∴ (1−k
n )n ≤(e −k
n )n =e −k ． ∴ (1
n )n +(2
n )n +⋯+(n−1n
)n
+(n
n )n ≤e −(n−1)+e −(n−2)+⋯+e −2+e −1+1
=
1−e −n 1−e −1<
11−e
−1=
e
e−1
．
22.
证明：（1）∵ AB =AC ，AF =AE
∴ CD =BE
又∵ CF =CD ，BD =BE ∴ CF =BD
又∵ △ABC 是等腰三角形， ∴ AD 是∠CAB 的角分线
∴ 圆心O 在直线AD 上．
(II)连接DF ，由(I)知，DH 是⊙O 的直径， ∴ ∠HFD =90∘，∴ ∠FDH +∠FHD =90∘ 又∵ ∠G +∠FHD =90∘ ∴ ∠FDH =∠G
∵ ⊙O 与AC 相切于点F ∴ ∠AFH =∠GFC =∠FDH ∴ ∠GFC =∠G ∴ CG =CF =CD
∴ 点C 是线段GD 的中点．
23. 解：（1）设M(ρ, θ)是圆C 上任一点，过C 作CH ⊥OM 于H 点，则在RT △COH 中，OH =OCsin∠COH ，而∠COH =∠COM =|θ−π
3|，
OH =1
2
OM =1
2
ρ，OC =2，所以1
2
ρ=2cos|θ−π
3
|，即ρ=4cos(θ−π
3
)为圆C 的极坐标方
程．
（2）设Q 的极坐标为(ρ, θ)，由于3OP →
=OQ →
，所以点P 的极坐标为(1
3
ρ, θ)，代入（1）中
方程得13
ρ=4cos(θ−π
3
)
即ρ=6cosθ+6√3sinθ，∴ ρ2=6ρcosθ+6√3ρsinθ，
所以点Q 的轨迹的直角坐标方程为x 2+y 2−6x −6√3y =0．
24. 解：（1）不等式f(x)>5即|x −1|+|2x +2|>5，∴ ①{x <−1
1−x −2x −2>5，或
②{−1≤x ≤11−x +2x +2>5，或③{x >1
x −1+2x +2>5．
解①得x <−2，解②得x ∈⌀，解③得x >4
3．
故原不等式的解集为{x|x <−2, 或x >4
3
}．
（2）由于函数f(x)=|x −1|+|2x +2|表示数轴上的x 对应点到1对应点的距离加上 数轴上的x 对应点到−1对应点的距离的2倍，
故当x =−1时，函数f(x)=|x −1|+|2x +2|有最小值等于2，即 f(x)∈[2, +∞)． 由于f(x)<a(a ∈R)的解集为空集，则a ∈(−∞, 2]．。