人教新版八年级数学分式知识点及典型例题(K12教育文档)

人教新版八年级数学分式知识点及典型例题(word版可编辑修改)
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分式的知识点及典型例题分析
1、分式的定义：
例：下列式子中，y x +15、8a 2
b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2—a 2、m 1、65xy x 1、2
1、212+x 、
π
xy
3、
y x +3、m
a 1
+中分式的个数为（ ) （A) 2 （B ） 3 (C) 4 (D ） 5
练习题：（1）下列式子中，是分式的有 。

⑴275x x -+; ⑵ 1
23
x -;⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹222xy x y +。

(2）下列式子，哪些是分式？
5a -; 2
34x +；3
y y
； 78x π+；2x xy x y +-；145b -+。

2、分式有，无意义，总有意义：
（1）使分式有意义：令分母≠0按解方程的方法去求解; (2）使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解； 注意:（12+x ≠0）
例1：当x 时,分式51
-x 有意义； 例2:分式x
x -+212中,当____=x 时，分式没有意义
例3：当x 时,分式112-x 有意义. 例4：当x 时，分式1
2+x x
有意义
例5：x ，y 满足关系 时，分式
x y
x y
-+无意义； 例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ） A ．
122+x x B 。

12+x x C 。

1
33
+x x
D.25x x -
例7：使分式2
+x x
有意义的x 的取值范围为（ ）A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x D ．2<x
例8：要是分式)
3)(1(2
-+-x x x 没有意义，则x 的值为（ ）A 。

2 B.—1或-3 C 。

—1 D.3 同步练习题：
3、分式的值为零：
使分式值为零:令分子=0且分母≠0,注意：当分子等于0使，看看是否使分母=0了，如果使分母=0了，那么要舍去。

例1：当x 时，分式1
21+-a a
的值为0 例2：当x 时,分式
112+-x x 的值为0 例3：如果分式2
2+-a a 的值为为零,则a 的值为（ ) A 。

2± B.2 C. 2-
D.以上全不对
例4：能使分式1
22--x x
x 的值为零的所有x 的值是 （ ）
A 0=x
B 1=x
C 0=x 或1=x
D 0=x 或1±=x
例5：要使分式6
59
22+--x x x 的值为0，则x 的值为( )A.3或-3 B 。

3 C.-3
D 2 例6：若01=+a
a
，则a 是( )A 。

正数 B 。

负数 C.零 D.任意有
理数
4、分式的基本性质的应用：
分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不
变。

例1:
aby a xy = ; z y z y z y x +=++2
)
(3)(6 ;如果75
)13(7)13(5=++a a 成立，则a 的取值范围是
________;
例2:)(1
332
=
b
a a
b )
(c
b a
c
b --
=+-
例3：如果把分式
b
a b
a ++2中的a 和
b 都扩大10倍,那么分式的值( ） A 、扩大10倍 B 、缩小10倍 C 、是原来的20倍 D 、不变 例4：如果把分式
y
x x
+10中的x ，y 都扩大10倍，则分式的值（ ） A ．扩大100倍 B ．扩大10倍 C ．不变 D ．缩小到原来的10
1 例5：如果把分式
y
x xy
+中的x 和y 都扩大2倍，即分式的值( ） A 、扩大2倍； B 、扩大4倍； C 、不变； D 缩小2倍 例6：如果把分式
y
x y
x +-中的x 和y 都扩大2倍,即分式的值（ ） A 、扩大2倍； B 、扩大4倍; C 、不变; D 缩小2倍 例7：如果把分式
xy
y
x -中的x 和y 都扩大2倍，即分式的值（ ） A 、扩大2倍； B 、扩大4倍； C 、不变； D 缩小2
1倍 例8:若把分式
x
y
x 23+的x 、y 同时缩小12倍，则分式的值( ）
A ．扩大12倍
B ．缩小12倍
C ．不变
D ．缩小6倍
例9:若x 、y 的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A 、y x 23
B 、223y x
C 、y x 232
D 、2323y
x
C
B C A B A ⋅⋅=
C B C A B A ÷÷=
()0≠C
例10：根据分式的基本性质，分式
b
a a
--可变形为（ ） A b a a -- B b a a + C b a a -- D b
a a
+-
例11：不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数，
=---05
.0012
.02.0x x ；
例12：不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，
2
11x
x x
-+--
= . 5、分式的约分及最简分式：
①约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分 ②分式约分的依据：分式的基本性质．
③分式约分的方法:把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式． ④约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式）
约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的，主要分数字,同字母进行约分。

第二类：分子分母是多项式的,把分子分母能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的因式约去。

例1：下列式子（1）
y x y x y x -=--12
2；（2）c
a b
a a c a
b --=--；（3）1-=--b a a b ；(4）y x y x y x y x +-=--+-中正确的是（ ）A 、1个 B 、2 个 C 、 3 个 D 、 4 个 例2：下列约分正确的是（ ）
A 、3
26x x x =； B 、
0=++y x y x ； C 、x xy x y x 12=++； D 、2
14222=y x xy 例3：下列式子正确的是( ） A
022=++y x y x B 。

1-=-+-y a y a C 。

x z y x z x y -+=+- D.0=+--=+--a
d
c d c a d c a d c 例4:下列运算正确的是( )
A 、a a a b a b =-
-+ B 、2412x x ÷= C 、22a a b b = D 、111
2m m m
-= 例5：下列式子正确的是（ )
A ．22a b a b =
B ．0=++b a b a
C ．1-=-+-b a b a
D ．b
a b
a b a b a +-=
+-232.03.01.0 例6：化简2293m m m --的结果是（ )A 、3+m m B 、3
+-
m m C 、3-m m D 、m m -3 例7：约分:=-2
2
64xy
y x ;932--x x = ；()xy xy 132=； ()y x y x y
x 536.031
51+=-+。

例8：约分： 22444
a a a -++＝ ； =y x xy 2164 ；=++)()(
b a b b a a ； =--2
)(y x y
x =-+22y x ay ax ;=++-1681622x x x ;=+-6292x x 23
314___________21a bc a bc -=
29__________3m m -=+=b
a ab
2205__________=+--9692
2x x x __________. 例9：分式
3a 2a 2++，2
2b a b
a --，
)b a (12a
4-,2
x 1-中，最简分式有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 6、分式的乘，除,乘方：
分式的乘法：乘法法测：b a ·d
c =
bd
ac . 分式的除法:除法法则:b a ÷d c =b a ·c d =bc
ad
分式的乘方:求n 个相同分式的积的运算就是分式的乘方,用式子表示就是(b
a
）n 。

分
式的乘方,是把分子、分母各自乘方。

用式子表示为：（b
a ）n =n n
b a （n 为正整数)
例题：
计算:（1）7
4
6239251526y
x x x -• （2）13410431005612516a x a y x ÷ （3)a a a 1•÷
计算：（4）24222a ab a b a ab a b a --•+- （5）425
522
2--•+-x x x x （6)2144122++÷++-a a a a a 计算：(7）32
2
346y
x
y x -• (8)a b ab 2362÷- （9）()2xy xy x x y -⋅-
计算：（10) 2
2221106532x y
x y y x ÷⋅ （11） 22213(1)69x x x x x x x -+÷-•+++（12） ()
22121441a a a a a a -+÷+⋅++- 计算：（13）1112421222-÷+--•+-a a a a a a (14)()633446222-+-÷--÷+--a a a
a a a a 求值题：(1）已知：43=y x ，求xy
x y xy y xy x y x -+÷
+--22
22222的值。

（2）已知：x y y x 39-=+，求222
2y
x y x +-的值.
（3）已知:311=-y x ,求y
xy x y xy x ---+2232的值。

例题：
计算：（1）2
32()3y x = (2)5
2⎪⎭⎫
⎝⎛-b a = （3）3
2
323⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-x y = 计算：（4)3
222⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛a b = (5）()4
3
22ab a b b a -÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-•⎪⎭⎫ ⎝⎛- （6）2
2221111⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-•⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷--a a a a a a a
求值题:(1）已知：4
32z
y x ==
求2
22z y x xz yz xy ++++的值. (2）已知：0325102
=-++-y x x 求y
xy x
x 222++的值.
例题:计算y
x x
x y x y x +•+÷+2
22
)(的结果是( )A y x x +22 B y x +2 C y 1 D y
+11
例题：化简x y x x 1⋅÷
的结果是（ )A. 1 B 。

xy C 。

x
y
D . y
x
计算：（1）422448223-+⨯++-x x x x x x ;（2）1221
1222+-÷-+-x x x x x (3）（a 2－1）·22221a a a +-+÷1
22a a +-
7、分式的通分及最简公分母：
通分：主要分为两类:第一类：分母是单项式；第二类：分母是多项式（要先把分母因式分解）
分为三种类型：“二、三”型；“二、四”型；“四、六”型等三种类型。

“二、三”型：指几个分母之间没有关系，最简公分母就是它们的乘积。

例如:
2
22--
+x x
x 最简公分母就是()()22-+x x 。

“二、四”型：指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分母就是其一的那个分母. 例如：
4
222
--+x x
x 最简公分母就是[][]()2242-+=-x x x “四、六”型：指几个分母之间有相同的因式，同时也有独特的因式，最简公分母要有独特的;相同的都要有。

例如:
()()
22
22-+-x x x x 最简公分母是：()22-x x
这些类型自己要在做题过程中仔细地去了解和应用，仔细的去发现之间的区别与联系。

例1：分式
n
m n m n m --+2
,1,12
2的最简公分母是（ ） A ．))((22n m n m -+ B ．222)(n m - C ．)()(2n m n m -+ D ．22n m - 例2：对分式
2y
x
，23x y ，14xy 通分时， 最简公分母是（ ） A ．２４x 2y ３ B ．１２ｘ２ｙ２ Ｃ．２４ｘｙ２ Ｄ．１２ｘｙ２
例3：下面各分式:221x x x -+，22x y x y +-，11x x --+，22
22x y x y
+-，其中最简分式有（ ）个。

A. 4 B 。

3 C 。

2 D. 1
例4:分式
412
-a ，42-a a
的最简公分母是 。

例5：分式a 与1
b
的最简公分母为________________;
例6：分式
xy
x y x +--2
221
,1的最简公分母为 。

8、分式的加减：
分式加减主体分为：同分母和异分母分式加减。

1、同分母分式不用通分，分母不变，分子相加减。

2、异分母分式要先通分，在变成同分母分式就可以了。

通分方法：先观察分母是单项式还是多项式，如果是单项式那就继续考虑是什么类型，找出最简公分母,进行通分;如果是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型,继续通分。

分类：第一类：是分式之间的加减,第二类：是整式与分式的加减。

例1：m
n
m 22-= 例2：141322222--+-+a a a a = 例3：
x y x
y x y -+-= 例4：22222222y
x x x y y y x y x ---+-+= 计算:(1)41
33m m m -+++ （2）a b b b a a -+- （3) 2
222)
()(a b b b a a --- （4) 2253a b ab +－2235a b ab -－22
8a b
ab +.
例5：化简1x +12x +1
3x 等于（ ） A ．12x B ．32x C ．116x D ．56x
例6：c a b c a b +- 例7:221
42a a a --- 例8：
x
x x x ---3)3(32
例9：
x x x x x x 13632+-+-- 例10：
2212a a a ++-－2
2
4a a -- 例11：11--+a a a 例12：2
11
x x x --- 练习题:（1）
22a b ab b a b -++ （2） x
x x x +-+
-+-2144212 （3) 2129a -+2
3a -。

（4） b a b -a b 2++ （5） 2x y
x y y x
---- 例13：计算1
1--+a a
a 的结果是（ ）A 11-a B 11--a C 112---a a a D 1-a
例14：请先化简：
2
1224
x
x x ---，然后选择一个使原式有意义而又喜欢的数代入求值. 例15：已知：0342=-+x x 求4
42122
++--+x x x
x x 的值。

9、分式的混合运算:
例1：4
421642++
-÷-x x
x x 例2:34121311222+++-•-+-+x x x x x x x 例3：2
22)2222(x x x x x x x -•-+-+- 例4：1342+•⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-x x x 例5:1111-÷⎪⎭
⎫ ⎝⎛
--x x x 例6：2
2224421y xy x y x y x y x ++-÷+-- 例7
2
2
112(
)2y x y x y x xy y -÷-+-+ 例8: x
x x x x x x 1
1212
2÷⎪⎭⎫
⎝⎛+---+ 例9： x x x x x x x x 4
)4
4122(
2
2-÷+----+ 练习题：
10、分式求值问题: 例1：已知x 为整数，且
23x ++23x -+22189
x x +-为整数，求所有符合条件的x 值的和. 例2：已知x ＝2，y ＝1
2，求222424()()x y x y ⎡⎤-⎢⎥+-⎣⎦÷11x y x y ⎛⎫
+ ⎪+-⎝⎭的值。

例3:已知实数x 满足4x 2-4x+l=O ，则代数式2x+
x
21
的值为________．
例4:已知实数a 满足a
2
＋2a －8=0，求3
41
21311222+++-⨯
-+-+a a a a a a a 的值. 例5:若13x x
+= 求1242++x x x 的值是（ ）．A ．81 B ．101 C ．21 D ．41
例6:已知1
13x y -=，求代数式
21422x xy y
x xy y
----的值
例7：先化简，再对a 取一个合适的数，代入求值221369
324
a a a a a a a +--+-÷-+-． 练习题：
(1)168422+--x x x x ，其中x=5。

（2）16
16822-+-a a a ，其中a=5 （3)2
222b ab a ab
a +++,其中a=—3，b=2
(4）2
1
44122++÷
++-a a a a a ；其中a=85； (5）x
x x x x x x x 4
)44122(
2
2-÷+----+,其中x= —1 （6）先化简，再求值：
324x x --÷(x +2－5
2
x -）。

其中x ＝－2。

（7)3,3
2
,1)()2(
222222-==+--+÷+---b a b a a b a a b ab a a b a a 其中 (8）先化简，2
11
1x x x -⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭
，再选择一个你喜欢的数代入求值．
11、分式其他类型试题：
例1：观察下面一列有规律的数：3
2，8
3，154，245,356，48
7
，……． 根据其规律可知第ｎ个数应是＿＿＿（n 为正整数） 例2: 观察下面一列分式:23
45124816
,
,,,,...,x x x x x ---根据你的发现,它的第8项是 ，第n 项是 。

例3m 是
（
A 10
B 20
C 55
D 50
例4:当x=_______时，分式
x -51与x
3210-互为相反数。

例5：在正数范围内定义一种运算☆，其规则为a ☆b ＝b
a
11
+，根据这个规则x ☆
2
3
)1(=
+x 的解为 （ ) A ．3
2=x B ．1=x C ．32-=x 或1 D ．3
2=x 或1- 例6：已知
4
)4(422+++=+x C
Bx x A x x ，则___________,_____,===C B A ;
例7： 已知37(1)(2)12y A B
y y y y +=+----，则（ ）
A ．10,13A
B =-= B ．10,13A B ==
C ．10,13A B ==-
D ．10,13A B =-=-
例8：已知y x 32=,求222
22y
x y y x xy --+的值；
例9：设mn n m =-,则n m 11-的值是（ ） A.mn
1 B 。

0 C 。

1 D 。

1-
例10：请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式
ｘ2－4ｘｙ＋4ｙ2 ｘ2－4ｙ2 ｘ－2ｙ 例11：先填空后计算：
①111+-
n n
= 。

2111+-+n n = .3
1
21+-+n n = 。

(3分）
②（本小题4分）计算：)
2008)(2007(1
)3)(2(1)2)(1(1)1(1+++++++++++n n n n n n n n
解:)
2008)(2007(1
)3)(2(1)2)(1(1)1(1+++++++++++n n n n n n n n
=
12、化为一元一次的分式方程:
（1）分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程—-分式方程。

（2)解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式(最简公分母），把分式方程转化为整式方程。

解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根.
（3）解分式方程的步骤 ：（1）能化简的先化简; （2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；
（3）解整式方程; (4)验根．
例1：如果分式
121
+-x x 的值为－1，则x 的值是 ； 例2：要使2
4
15--x x 与
的值相等，则x =__________。

例3：当m=_____时,方程21mx m x
+-=2的根为1
2.
例4：如果方程3)
1(2
=-x a 的解是x ＝5，则a ＝ 。

例5:（1)132
+=
x x
（2) 13132=-+--x x x 例6：解方程：2
2
416222-+=--+-x x x x x 例7:已知：关于x 的方程x x x a --=
-+34
31无解,求a 的值。

例8：已知关于x 的方程12
-=-+x a
x 的根是正数，求a 的取值范围。

例9：若分式21+x 与3
2
--x x 的2倍互为相反数，则所列方程为
___________________________； 例10：当m 为何值时间？关于x 的方程2
1
122---
+=--x x x x x x m 的解为负数？ 例11：解关于x 的方程
)0(2≠-=
+-a a
b x a
x b
例12：解关于x 的方程：)0(2112
2≠-=--+++a b a a
b a x b a x 例13：当a 为何值时，
)
1)(2(21221+-+=+----x x a
x x x x x 的解是负数? 例14：先化简,再求值：22
2)(222--+++-⋅-y x x y x y x y x x ,其中x ，y 满足方程组⎩
⎨
⎧-=-=+232y x y x 例15知关于x 的方程)
1)(2(121-+=--+-x x m
x x x x 的解为负值，求m 的取值范围。

练习题： （1)
164412-=-x x （2）0)1(213=-+--x x x x （3)X
X X +--=-1513112
（4)
625+-=-x x x x (5）21
63524245--+=--x x x x (6)
11112-=-x x (7) x x x --=+-21321 (8)21212339x x x -=+-- （9) 311
223=-+-x
x
13、分式方程的增根问题:
（1）增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。

(2)分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 例1：分式方程
3-x x +1=3
-x m
有增根,则m= 例2：当k 的值等于 时，关于x 的方程
3
423--=
+-x x
x k 不会产生增根； 例3：若解关于x 的分式方程23
4222+=
-+-x x mx x 会产生增根，求m 的值。

例4:m 取 时，方程
323-=
--x m
x x 会产生增根； 例5：若关于x 的分式方程3
232
-=--x m x x 无解，则m 的值为__________。

例6：当k 取什么值时？分式方程
0111
x k x x x x +-=--+有增根. 例7：若方程4
41-=
--x m
x x 有增根,则m 的值是（ )A ．4 B ．3 C ．-3 D ．1 例8:若方程
34
2(2)
a x x x x =+--有增根,则增根可能为（ ) A 、0 B 、2 C 、0或2 D 、1 14、分式的求值问题：
例1：已知3
1=b a ，分式
b a b
a 52-+的值为 ；
例2:若ab=1，则1111+++b a 的值为 。

例3：已知13a a -= ，那么221
a a
+=_________ ;
例4:已知311=-
y x ，则y xy x y xy x ---+55的值为（ ）A 27- B 27 C 72 D 7
2-
例5：已知y x 32=,求222
22y
x y y x xy --+的值；
例6：如果b a
=2,则2
222b a b ab a ++-=
例7：已知
2+x a 与2-x b 的和等于4
42-x x
,则a= ， b = 。

例8：若0≠-=y x xy ，则分式=-x y 11（ )A 、xy
1
B 、x y -
C 、1
D 、－1
例9：有一道题“先化简，再求值：22
241
244
x x x x x -+÷+--（），其中x =”小玲做题时
把“x =x =，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？
例10：有这样一道数学题：“己知:a=2005，求代数式a(1+a
1
）－112--a a 的值”，王东
在计算时错把“a=2005"抄成了“a=2050”，但他的计算结果仍然正确，请你说说这是怎么回事。

例11：有这样一道题：“计算：222211
1x x x x x x x
-+-÷--+的值,其中2007x ="，某同学把2007
x =错抄成2008x =，但它的结果与正确答案相同，你说这是怎么回事？
例题：已知31
=+x
x ,求1242++x x x 的值。

15、分式的应用题：
（1）列方程应用题的步骤是什么？ （1）审；（2)设；（3）列；（4）解；（5）答． (2）应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有四种：
a.行程问题：基本公式:路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题．
b 。

数字问题： 在数字问题中要掌握十进制数的表示法．
c 。

工程问题: 基本公式：工作量=工时×工效．
d 。

顺水逆水问题： v 顺水=v 静水+v 水． v 逆水=v 静水-v 水． 工程问题：
例1：一项工程，甲需x 小时完成，乙需y 小时完成,则两人一起完成这项工程需要______ 小时。

例2：小明和小张两人练习电脑打字,小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等.设小明打字速度为x 个/分钟，则列方程正确的是（ ） A
x x 1806120=+ B x x 1806120=- C 6180120+=x x D 6
180
120-=
x x 例3：某工程需要在规定日期内完成，如果甲工程队独做,恰好如期完成; 如果乙工作队独做，则超过规定日
期3天，现在甲、乙两队合作2天,剩下的由乙队独做，恰好在规定日期完成,求规定日期.如果设规定日期
为x 天，下面所列方程中错误的是（ ) A.213x x
x +
=+; B.233x x =+； C.1122133x x x x -⎛⎫+⨯+= ⎪
++⎝⎭
； D.113x x x +=+ 例4：一件工程甲单独做a 小时完成，乙单独做b 小时完成,甲、乙二人合作完成此项
工作需要的小时数
是（ )．（A ）b a + （B ）b
a
11
+ （C)
b a +1 （D ）b
a a
b + 例5:赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完，当他读了一半时,发现平时每天要多读21页才能在借期内读完.他读了前一半时,平均每天读多少页？如果设读前一半时,平均每天读x 页,则下列方程中，正确的是( ） A 、
1421140140=-+x x B 、1421280280=++x x B 、1211010=++x x D 、1421
140
140=++x x
例6：某煤厂原计划x 天生产120吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产3吨，因此提前2天完成任务,列出方程为( ） A
31202120-=-x x B 32120120-+=x x C 3120
2120-=+x
x D 32120120--=x x 例7：某工地调来72人参加挖土和运土工作,已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，问怎样调配劳动力才使挖出来的土能及时运走且不窝工？要解决此问题，可设派x 人
挖土．列方程①
7213x x -=；②723x x -=；③372x x +=；④372x
x
=-． 例8：八（1)、八（2)两班同学参加绿化祖国植树活动，已知八（1）班每小时比八（2）班多种2棵树,八(1）班种66棵树所用时间与八(2）班种60棵树所用时间相同，求：八（1）、八（2）两班每小时各种几棵树?
例9：某一一项工程预计在规定的日期内完成，如果甲独做刚好能完成，如果乙独做就要超过日期3天，现在甲、乙两人合做2天，剩下的工程由乙独做,刚刚好在规定的日期完成,问规定日期是几天？
例10：服装厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好可以按时完成，
后因客户要求提前5天交货，则每天应比原计划多做多少件?
例11：为加快西部大开发的步伐，决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程。

如果甲工程队单独施工，则刚好可以按期完成；如果乙工程队单独施工就要超过6个月才能完成。

现在甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则也刚好可以按期完成。

问师宗县原来规定修好这条公路需多长时间?
例12：某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共4350元；乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共4750元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的3
2
，厂家需付甲、丙两队共2750元。

（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
（2）若工期要求不超过20天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少?请说明理由。

价格价钱问题：
例1：“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游,面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学,结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设参加游览的同学共x 人,则所列方程为 （ ） A ．
32180180=+-x x B ．31802180=-+x x C ．32180180=--x x D ．3180
2180=--x
x 例2:用价值100元的甲种涂料与价值240元的乙种涂料配制成一种新涂料，其每千
克售价比甲种涂料每千克售价少3元，比乙种涂料每千克的售价多1元，求这种新涂料每千克的售价是多少元？若设这种新涂料每千克的售价为x元，•则根据题意可列方程为________．
例3：某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别为600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙同种工种各招聘多少人时,可使得每月所付的工资最少？
例4：为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园,某学校号召同学们自愿捐款。

已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次捐款人数多20人，而且两次人均捐款额恰好相等。

那么这两次各有多少人进行捐款？
例5：随着IT技术的普及,越来越多的学校开设了微机课。

某初中计划拿出72万元购买电脑，由于团体购买，结果每台电脑的价格比计划降低了500元,因此实际支出了64万元。

学校共买了多少台电脑？若每台电脑每天最多可使用4节课，这些电脑每天最多可供多少学生上微机课？（该校上微机课时规定为单人单机)
例6：光明中学两名教师带领若干名三好学生去参加夏令营活动，联系了甲、乙两家旅游公司，甲公司提供的优惠条件是：1名教师收行业统一规定的全票，其余的人按7.5折收费,乙公司则是：所有人全部按8折收费．经核算甲公司的优惠价比乙公司的
，那么参加活动的学生人数是多少人？
优惠价便宜1
32
例7：北京奥运“祥云"火炬2008年5月7日在羊城传递，熊熊燃烧的奥运圣火将在羊城传递和平、友谊、
进步的“和平之旅”，广州市民万众喜迎奥运。

某商厦用8万元购进奥运纪念运动休闲衫，面市后供不应求，
商厦又用17。

6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了4元，商厦销
售这种运动休闲衫时每件定价都是58元，最后剩下的150件按八折销售，很快售完，
请问在这两笔生意 中，商厦共赢利多少元？
顺水逆水问题：
例1：A 、B 两地相距48千米,一艘轮船从A 地顺流航行至B 地，又立即从B 地逆流返回A 地，共用去9
小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x 千米/时，则可列方程（ ） A 、
9448448=-++x x B 、9448448=-++x x C 、9448=+x D 、94
96
496=-++x x
例2：一只船顺流航行90km 与逆流航行60km 所用的时间相等,若水流速度是2km/h ，求船在静水中的速度，设船在静水中速度为xkm/h ，则可列方程（ ） A 、
2
90
+x =
2
60-x B 、
2
90-x =
2
60+x C 、
x
90+3=
x
60 D 、
x
60+3=
x 90
例3：轮船顺流航行66千米所需时间和逆流航行48千米所需时间相同，已知水流速度是每小时3千米，求轮船在静水中的速度。

行程问题:
例1：在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时V 1千米,下坡时的速度为每小时V 2千米，则他在这
段路上、下坡的平均速度是每小时（ ） A 、
221v v +千米 B 、2121v v v v +千米 C 、2
1212v v v
v +千米 D 、无法确定 例2：甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行,则a 小时相遇；若同向而行,则
b 小时甲追上乙．那么甲的速度是乙的速度的（ ）
Ａ．
a b
b
+倍 Ｂ．
b
a b
+倍 Ｃ．
b a
b a
+-倍 Ｄ．
b a
b a
-+倍 例3：八年级A 、B 两班学生去距学校4.5千米的石湖公园游玩，A 班学生步行出发半小时后，B 班学生骑自行车开始出发，结果两班学生同时到达石湖公园，如果骑自行车的速度是步行速度的3倍，求步行和骑自行车的速度各是多少千米/小时？ 例4：A 、B 两地的距离是80公里，一辆公共汽车从A 地驶出3小时后，一辆小汽车也从A 地出发，它的速度是公共汽车的3倍,已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B 地,求两车的速度。

例5：甲、乙两火车站相距1280千米，采用“和谐"号动车组提速后,列车行驶速度是原来速度的3.2倍，从甲站到乙站的时间缩短了11小时，求列车提速后的速度。

数字问题：
例1：一个分数的分子比分母小6,如果分子分母都加1,则这个分数等于4
1
，求这个分数。

例2：一个两位数，个位数字是2,如果把十位数字与个位数字对调，所得到的新的两位数与原来的两位数之比是7:4，求原来的两位数。

例3：一个分数的分母加上5，分子加上4，其结果仍是原来的分数,求这个分数. 例4：一个两位数,十位上的数字比个位上的数字小2，个位上的数字加上8以后去除这个两位数时,
所得到的商是2，求这个两位数。

16、公式变形问题：
例1：一根蜡烛在凸透镜下成实像，物距为U 像距为V,凸透镜的焦距为F,且满足
F
V U 1
11=+，则用U 、V 表示F 应是（ ） （A ）UV V U + （B ）V U UV + （C ）V U （D ）U
V
例2：已知公式12
111R R R =+（12R R ≠)，则表示1R 的公式是（ ） A ．212R R R RR -=
B ．212RR R R R =-
C ．1212()R R R R R +=
D ．2
12RR R R R
=-
例3：一根蜡烛在凸透镜下成一实像,物距u ，像距v 和凸透镜的焦距f 满足关系式：
错误!＋错误!＝错误!。

若
f ＝6厘米,v ＝8厘米，则物距u ＝ 厘米。

例4：已知梯形面积,)(2
1
h b a S +=S 、a 、b 、h 都大于零，下列变形错误是（ ) A ．b a S h +=
2 B. b h S a -=2 C 。

a h
S
b -=2 D.)(2b a S h +=
人教新版八年级数学分式知识点及典型例题(word 版可编辑修改)
21 / 21 例5:已知b b a a N b a M ab +++=+++==11,1111,1,则M 与N 的关系为( ） A 。

M 〉N B 。

M =N C 。

M <N D 。

不能确定.。