petri网理论

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割集求解步骤
(5)按照上面的“相与”“相或”关系将底 库所展开,则得到所有割集。 (6)按照布尔吸收律、等幂率或素数法可求得 最小割集。 注：布尔吸收律A+AB=A A(A+B)=A
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开始
程 序 流 程 图
找到只有0和1的行，并记下值 为1的列数Ai(i=1,2,3,„,m),i=0
Ai各列对应库所 为“相或”关 找到Ai列中值为-1的行数 系 Bj(j=1,2,3,„,n),j=0
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实例分析 应用上面提出的算法求解一个简单的舰艇防空系 统故障的最小割集，其故障树模型及Petri网模型如图 5所示。
图(5-1)防空系统故障树
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P13
t7
t8
t9
t10
P9
P10
P11
P12
t5 P1
t6
P2
P7
P8 t1 t2 t3 t4
P3
P4
P5
P6
图(5-2)防空系统故障树对应Petri网模型
p1 AT p2 p3 p4 p5
1 0 1 1 0 0
0 1 0 1 1 0 0 1 1
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应用关联矩阵法按前述步骤查找，可得： 顶库所为P5，由第5行中的1向上查找可知P3、 P4 为“相与”事件，两者同时与P1“相或”。而P4 又为P1、P2 的“ 相与”事件。所以P5 =P1+P3P4 =P1+ P1P2P3，从而最小割集为P1。
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Petri网的发展
通用网论的(general net theory)研究始于70年代初。 以C．A．Petri为核心的一批科学家以网系统的全体 作为对象，研究其分类及各类网之间的关系，发展了 以并发论，同步论，网逻辑和网拓为主要内容的理论 体系。 80年代开始为Petri网综合发展阶段，以理论与应 用的结合及计算机辅助工具的开发为主要内容。发展 到现在Petri网已经广泛应用于自动化、机械制造、军 事指挥等学科领域。
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故障树的Petri网模型表示
故障树表示 Petri网表示
或门
与门
图2
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Petri网的图形表示方法更为形象、直观，可以 表达故障的动态传递过程。从图2中可以看出，用 Petri网的基本元素—库所和变迁的不同连接可以表 示故障树模型的不同逻辑关系，可以充分利用图论 的方法来解决故障模型的诊断推理问题。
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故障树
故障树将系统所不希望发生的事件(故障事件) 作为分析的目标，逐级找出导致这一事件发生的 所有可能因素。故障树采用相应的符号表示这些 事件,再用描述事件间逻辑因果关系的逻辑门符号 把顶事件、中间事件与底事件连接成倒立的树状 图形，用以表示系统特定顶事件与其各子系统或 各元件的故障事件及其他有关因素之间的逻辑关 系。
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Petri网的发展
五十多年来Petri网的理论和应用都有了长足的 进步。其发展过程大体可分为三个阶段。 60年代，Petri网的研究以孤立的网系统为对象， 以寻求分析技术和应用方法为目标。这些内容统称 为特殊网论(special net theory)。此处“特殊”是与 “一般”或“通用”比较而言，指的就是孤立的网 系统个体。
i++; i≤m?
N
利用布尔吸收率、等 幂率得到最小割集
结束
N
Bj各列对应库所 Y 为“相或”关 找到Bj中值为1的列数 系 Ck(i=1,2,3,„,P),k=0
j++; j≤n?
Ck各列对应 库所为“相 或”关系
k++; k≤P? Y
N
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求含重复事件的Petri网模型的最小割集
在故障树建模过程中会出现重复事件, 即树中的 两个图元代表同一事件。这样的重复事件应用Petri网 模型可以用同一个库所表示, 如图下图所示。
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Petri网基本概念
Petri网是一种网状信息流模型，包括条件和事件 两类节点，在条件和事件为节点的有向二分图基础上 添加表示状态信息的托肯（token）分布，并按引发 规则使得事件驱动状态演变，从而反映系统动态运行 过程。 通常情况下，用小矩形表示事件（称作变迁）结 点，用小圆形表示条件（称作位置）结点，变迁结点 之间、位置结点之间不能有有向弧，变迁结点与位置 节点之间连接有向弧，由此构成的有向二分图称作网。 网的某些位置结点中标上若干黑点（token），从而 构成Petri网。
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由图5可以写出关联矩阵如下:
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(1)搜索此关联矩阵, 找出没有-1即顶库所在行为 第13行，记录下每个1所在的列分别为第7、8、9、 10列。 (2)从第7列出发，搜索此列记录下这一列中-1所在 的行为第9行。 (3)继续搜索第9行，记录下这一行中1所在的列为5, 并且第5列中对应有两个-1，则说明这两个-1所对 应的库所P1、P2同为P9的输入库所，则P1、P2为“相 与”关系，即P9 =P1P2。
Petri 网理论
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Petri网起源
1962年联邦德国的卡尔· 佩特里在他的博士论 A· 文《用自动机通信》中首次使用网状结构模拟通信 系统。这种系统模型后来以Petri网为名流传。现在 Petri网一词既指这种模型，又指以这种模型为基础 发 展 起 来 的 理 论 。 有 时 又 把 Petri 网 称 为 网 论 (net theory)。
关联矩阵是Petri网的主要分析方法之一。在表 示Petri网结构的有向图中，库所以圆表示；变迁以 矩形表示(图3)。若从库所P到变迁t的输入函数取值 为非负整数w，记为I (P，t)=w，用从P到t的一有向 弧并旁注w表示；若从变迁t到库所P的输出函数取值 为非负整数w，记为O(P，t)=w，用从t到P的一有向 弧并旁注w表示。 特别地,若w=1,则不必标注；若I(P，t)=0或O(P， t)=0,则不必画弧。I与O均可表示为nxm非负整数矩 阵，O与I之差(AT=O-I)称为关联矩阵。这里我们探 讨规范网，所以w =1。
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(4)再从第8列出发即搜索第10行, 只有一个底库所 为P10。 (5)从第9列出发，搜索第11行，重复步骤(2)、(3), 可得P11=P7P8=(P3+P4)( P5+P6) 。 (6)搜索第12行只有一个底库所为P12。
(7)根据上述步骤, 即有: P13=P9+P10+P11+P12 =P1P2+P10+( P3+P4)( P5+P6) +P12。
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Petri网模型特点
流特征：适合描述以有规则的流动为行为特征的系 统，包括能量流、物质流和信息流； 分析性：网系统具有与应用环境无关的动态行为， 是可以独立研究的对象。这样，可按特定方式进行 系统性质的分析和验证； 基础性：网系统在各个应用领域得到不同的解释， 是沟通不同领域的桥梁。网论是这些领域的共同理 论基础。
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求图3中PetrBiblioteka 网模型的关联矩阵：P5t2
t3 P3
P4
t1 P1 P2
求图3中Petri网模型的关联矩阵：
割集求解步骤
(1)找出关联矩阵中只有1和0，没有-1的行，则该 行对应的为顶库所（只有输入库所，没有输出库 所），由此库所开始寻找（在此关联矩阵中为最后 一行）。 (2)由顶库所对应行的1出发按列寻找到-1，此-1所 对应行代表的库所为顶库所的一个输入库所，如果 该列有多个-1，则说明对应同一变迁有多个输入库 所，并且输入的库所为“相与”关系。
P5
t2
t3 P4 t1 P1 P2 P3
图4
（a）故障树模型
（b） Petri网模型
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由图4a中可以看出B1 为重复事件，在对应的 Petri网模型中P1 为与B1 相对应的重复事件，可见用 Petri网模型表达不但图形简单明了，而且算法简便， 没有相同序号的图形出现。图4b中Petri网模型的关 联矩阵如下： t1 t 2 t3
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(8)再应用布尔吸收率即可求得最小割集为{ P1, P2} 、 { P10} 、 { P12} 、 { P3, P5} 、 { P4,P5} 、 { P3, P6} 、 { P4, P6} 。
上述方法充分利用了Petri网的理论,使Petri网的 图形方法与其关联矩阵有效结合, 更易于最小割集 的求取。
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Petri网的应用 Petri网是一种图形演绎方法，应用Petri网分析系 统故障就是将系统所不希望发生的事件作为顶库所， 逐步找出导致这一事件的所有可能因素作为中间库 所和底库所。故障树可以看作是系统中故障传播的 逻辑关系，一般的单调关联故障树只含有与门和或 门。故障树可以很方便地用Petri网表示，如与门采 用多输入变迁代替，或门采用两个变迁代替。
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举例：
P5
t2
t3 P3
P4
t1 P1 P2
图3
故障树模型和其对应的Petri网模型
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应用关联矩阵求割集
在故障树分析中，当一些底事件同时发生时， 顶事件必然发生，能使顶事件发生的这些底事件 的集合就称为割集。 如果割集中的任一底事件不发生时，顶事件 也不发生，则这样的割集称为最小割集。
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割集求解步骤
(3)由步骤（2）中找到的-1按行寻找1，如有1 则说明该库所为中间库所，继续按步骤（2）所述 循环查找，直到所在行没有1为止。没有1，则说 明该库所是一个底库所即基本事件。如果该行有 多个1，则说明由这些1对应的库所对应多个变迁， 应为“ 相或”关系。 (4)按步骤（2）、步骤（3）继续查找，直到查 找到最底层库所。
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网系统演示：
P1 P2 t1 P3 t2
t6
P4 P10 t7 t3 P6 P8 t5 P7 P9 t4 t8 P5
图1
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Petri网模型特点