西安电子科技大学考研复试科目-离散数学01命题逻辑a
离散数学,命题逻辑等值演算
任何命题公式都存在与之等值的主 析取范式和主合取范式，并且是唯 一的。
证明： （1）存在性：等值演算 （2）唯一性：反证法
例题与练习
【例2.8】求主析取范式与主合取范式： (p→q)↔r
合取范式 （p∨r) ∧ (¬q∨r) ∧ (¬p∨q∨¬r)
析取范式 （p∧¬q∧¬r）∨（ ¬p∧r ）∨（ q∧r ）
p(qr）
1 1 1 1 1 1 0 1
(pq)r
0 1 0 1 1 1 0 1
(p∧q)r
1 1 1 1 1 1 0 1
十六组重要的等值式（模式）
• 1.双重否定律 A¬¬A
• 2.幂等律 A∧A A，A∨A A
• 3.交换律 A∨B B∨A，A∧B B∧A
• 4.结合律 (A∨B)∨C A∨(B∨C) (A∧B)∧C A∧(B∧C)
2.3 联结词的完备集
定义2.6
n元真值函数F：{0,1}n →{0,1}
定理
• 每个真值函数，都一一对应一个真值表。每个真 值函数，都存在许多与之等值的命题公式。反之， 每个命题公式对应唯一的与之等值的真值函数。
定义2.7
• 设S是联结词集合，如果任何n元真值函数 都可以由仅含S中的联结词构成的公式表 示，则称S是联结词完备集。
p∧q∧r
成真赋值
000 001 010 011 100 101 110 111
名称
m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
极大项
极大项
p∨q∨r p∨q∨¬r p∨¬q∨r p∨¬q∨¬r ¬p∨q∨r p∨q∨¬r ¬p∨¬q∨r ¬p∨¬q∨¬r
成假赋值 名称
000
M0
001
离散数学第一章数理逻辑
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例3.他既聪明又用功。 例4.他虽聪明但不用功。 例5.除非你努力，否则你将失败。 例6.张三或李四都可以做这件事。
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作业：
（1）判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合 式公式。
a.(Q→R∧S） b.(P ↔(R →S)) c.((┐P→Q)→(Q→P)) d.(RS→T) e.((P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R)) （2）用符号形式写出下列命题。 a.假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读
书或看报。
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b.我今天进城，除非下雨。 c.仅当你走我将留下。
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练习：将下列命题符号化。 1）说逻辑学枯燥无味（P）或毫无意义（Q）是不对的。 2）如果明天有雾（P），则我乘车（Q），不坐飞机（R）。 3）有雨（P）就刮风（Q）。 4）如果小王没来上课（P），一定是他生病了（Q）。 5）如果我上街（P），我就去图书馆看看（Q），除非我很累
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结论： 命题一定是陈述句，但并非一切陈述句都是命题。 命题的真值有时可明确给出，有时还需要依靠环境、 条件、实际情况时间才能确定其真值。
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二、命题的分类
1.原子命题(简单命题)：不能再分解为更为简单命 题的命题。
游； （5）两个三角形全等当且仅当三角形的三条边全部
相等。 (6) 张辉与王丽是同学。
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例 （解）
西安电子科技大学考研复试科目微机原理与接口技术讲课文档
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第十九页，共83页。
4.2 内总线 4.2.1.2 ISA总线
二、信号定义
P141
2. 寻址能力达到16MB，地址、数据线不复用。
LA17～LA23（非锁存信号，可用BALE
锁存）
LA17～LA19（不锁存）与SA17～SA19（锁存）重复。
3. 中断扩充Leabharlann 11个（PC/XT为6个）IRQ3～IRQ7，IRQ9～IRQ12，IRQ14～IRQ15
标准周期：T1 BALE有效；T2 读写控制信号有效；T3
T4 T5 等待；T6 锁存数据
延长周期：IOCHRDY → T6采样
零等待周期：0WS T3采样，若有效 → T3结束I/O读/
写
16位I/O读/写
标准周期：T1 T2 T3 延长周期
要求ISA卡在译码条件成立的同时将IOCS16或
MEMCS16置为低电平。
IRQ0（定时器）、IRQ1（键盘）、IRQ2（级联） 、 IRQ8（定时器8254） 、IRQ13（协处理器）用于系统板上，
总线上不出现。
B4引脚：IRQ2（XT）→ IRQ9（AT），早期由8259级 联实现。
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4.2 内总线 4.2.1.2 ISA总线
二、信号定义
CPU
存储器
桥0
桥1
PCI Bus 1
标准总线
PCI设备
PCI Bus 0
总线桥
桥2
设备
PCI Bus 2
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4.2 内总线 4.2.1.4 PCI总线
P142～147
一、PCI总线的特点：P142，①～⑥
2011年西安电子科技大学考研复试-离散真题
2004—2005学年第1学期试卷一、判断题：（10分，在括号内划“√”或“×”）√√（）1．“如果太阳从西边出来，则2+2=4”，此命题值为假。
（）2．(1,3,3,3)可以成为无向简单图的度数序列。
（）3．有一个函数f：X→Y，若f具有反函数，则f一定是单射。
（）4．（P∧Q）→（P∨Q）是永真式。
（）5．在某集合上二元运算中，若某元素存在左右逆元，则该元素逆元唯一。
（）6．命题公式的主析取范式为0，则其主合取范式为1。
（）7．有向图的关联矩阵中所有元素之和为该图度之和。
（）8．初级回路一定是简单回路。
（）9．若关系R具有自反性，则一定不具有反自反性。
（）10．∀x(A(x) →∃yH(x,y))在具体的解释中其值是确定的。
二、填空（共30分）1．设A={1，2}，P(A)表示A的幂集，,则P(A) ⨯ A =_____________________。
2．在一阶逻辑中符号化命题:“所有的人都是要死的”（只能用存在量词）：_________________________________________________。
3．P(x)→∀y R(x,y)的前束范式是：_________________________。
4. n阶有向完全图中所有顶点的度数之和为________,则5.已知从A到A/R的函数g：A→A/R为自然映射，A={1,2,3 }，R=EA g(1)=____________________________。
6. 设函数f(x)=2x + 1,g(x)= x2-2,则f o g =____________________。
7. Klein四元群的运算表如下，其有__________________个子群。
e a b ce e a b ca a e c bb bc e ac c b a e8.〈R，+〉为代数系统，给定b∈Z，令函数f：R→R，且f(x)＝bx，当b满足 ______________时， f是〈R，+〉的自同构。
西安电子科技大学2024年硕士研究生招生考试自命题科目考试大纲 953网络空间安全基础综合
953网络空间安全基础综合考试大纲（研招考试主要考察考生分析问题与解决问题的能力，大纲所列内容为考生需掌握的基本内容，仅供复习参考使用，考试范围不限于此）一、总体要求《953网络空间安全基础综合》要求考生比较系统地掌握网络空间安全相关基础课程的基本概念、基本原理和基本方法，能够综合运用所学的基本原理和基本方法分析、判断和解决有关理论问题和实际问题。
二、知识要点数据结构：（一）数据结构基本概念1.数据结构的概念、名词和术语2.数据结构的逻辑结构3.数据结构的物理结构（二）线性表1.线性表的概念和基本运算2.线性表的顺序存储表示及算法3.顺序表的基本运算4.单链表、循环链表、双向链表的基本运算，5.线性表的链式存储表示及算法6.顺序表及链表的应用（三）栈和队列1.栈和队列的基本概念和基本操作2.栈和队列的顺序存储结构3.栈和队列的链式存储结构4.栈和队列的应用（四）串和数组1.串的基本概念和基本操作2.串的存储结构3.模式匹配算法4.数组的概念5.数组的存储结构6.矩阵压缩存储（五）树1.数、二叉树、森林的基本概念2.二叉树的性质和存储表示。
3.二叉树的遍历及递归算法的运用4.树和森林的转换方法5.二叉树的应用（六）图1.图的基本概念、术语2.图的存储方法3.图的遍历4.生成树和最小生成树5.最短路径6.拓扑排序7.关键路径（七）索引结构与散列技术1.索引结构的表示2.索引结构的应用3.散列表的概念4.散列表的构造5.散列表的查找（八）缩小规模算法1.递归与分治算法2.动态规划算法3.掌握贪心算法计算机网络:（一）计算机网络体系结构1.计算机网络概述（1）计算机网络的概念、组成与功能（2）计算机网络的分类（3）计算机网络与互联网的发展历史（4）计算机网络的标准化工作及相关组织2.计算机网络体系结构与参考模型（1）计算机网络分层结构（2）计算机网络协议、接口、服务等概念（3）ISO/OSI参考模型和TCP/IP模型（二）物理层1.通信基础（1）信道、信号、宽带、码元、波特、速率、信道容量等基本概念（2）奈奎斯特定理与香农定理（3）编码与调制、多路复用与扩频（4）电路交换、报文交换与分组交换（5）数据报与虚电路2.传输介质（1）双绞线、同轴电缆、光纤与无线传输介质（2）物理层接口的特性3.物理层设备（1）中继器（2）集线器（三）数据链路层1.数据链路层的功能2.组帧3.差错控制（1）检错编码（2）纠错编码4.流量控制与可靠传输机制（1）流量控制、可靠传输与滑轮窗口机制（2）停止-等待协议（3）后退N帧协议（4）选择重传协议5.典型数据链路层协议（1）HDLC协议（2）PPP协议（3）ADSL协议6.介质访问控制（1）信道划分介质访问控制频分多路复用、时分多路复用、码分多路复用的概念和基本原理。
电子科技大学考研科目
11069
11071
11210
张文鹏
伍忠杰
张杨
张锦帆
楚军
王爱华
徐世红
张振忠
高照
李旭
王明庆
谭冰
马维毅
汤朝菊
胡杰辉
01/02/03
02/03
02/03
01/02
01/02
01/02
01/02
01/02
01/02/03
05
04
04/05
01/02/03
01/02/03
01/02/03
①101思想政治理论
03新型功能材料与光谱学
04计算凝聚态物理
05强激光与固体的相互作用及其辐照损伤
06半导体物理
50
004
004
004
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10211
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10213
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10759
10923
11025
11026
11028
②241法语(二外)或242德语(二外)或243日语(二外)或244英语(二外仅限日语方向考生)
③615日语水平测试或621英语水平测试
④846英语语言学基础知识及运用或847日语专业基础知识及运用
专业
研究方向
招生
人数
学院
代码
导师
代码
导师
姓名
导师研究方向
初试科目
050302
传播学
西安电子科技大学考研复试科目-离散数学08图论b
西安电子科技大学计算机学院 毛立强
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lqmao@
路径和回路
在图G=<V,E>中，从结点vi到vj最短路径的长度称为从vi到vj 的距离，记为d(vi,vj)。若从vi到vj不存在路径，则d(vi,vj)＝ ∞。 在有向图中，d(vi,vj)不一定等于d(vj,vi)。 d(vi,vj)≥0。 d(vi,vi)＝0。 d(vi,vj) + d(vj,vk)≥d(vi,vk)。 －三角不等式
西安电子科技大学计算机学院
数 学 离 散
毛立强 主讲
西安电子科技大学计算机学院 毛立强
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lqmao@
图论
图的基本概念 路径与回路 图的矩阵表示 二部图 平面图 树和有向树
西安电子科技大学计算机学院 毛立强
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lqmao@
图的基本概念
H = G ，显然G = G。
西安电子科技大学计算机学院 毛立强
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lqmao@
路径和回路
在有向图中，从顶点v0到顶点vn的一条路径(walk)是图的一 个点边交替序列(v0e1v1e2v2...envn)，其中vi-1和vi分别是边ei 的始点和终点，i=1,2,...,n。在序列中，如果同一条边不出现 两次，则称此路径是简单路径(迹，trail)，如果同一顶点不出 现两次，则称此路径是基本路径（或称为通路，path）。如 果路径的始点v0和终点vn相重合，即v0＝vn，则此路径称为 回路（curcuit），没有相同边的回路称为简单回路（闭迹， closed trail），通过各顶点不超过一次的回路称为基本回路 （圈，cycle）。
3 e2 2 e1 e4 e3 1 4 e5 5 6 e6 e8 e7 8 7
弱分图
西安电子科技大学卓越工程师教育培养计划应用型
西安电子科技大学“卓越工程师教育培养计划"（应用型）电子信息与通信工程专业培养方案一、培养目标与能力要求电子信息与通信工程专业培养服务于社会主义现代化建设需要的德、智、体、美全面的、“基础厚、口径宽、能力强、素质高”的、从事电子信息工程、通信工程、网络工程等应用领域的研究、开发、生产、管理、维护和技术支持的高级工程技术人才．按照本方案培养的电子信息与通信工程专业本科工程型技术人才,可达到见习电子信息与通信工程师技术能力要求,可获得见习电子信息与通信工程师技术资格．具体能力要求如下：（一）掌握一般性和专门性的工程技术知识,使用现有技术，了解新兴技术。
1、具有从事工程工作所需的工程科学技术知识以及一定的人文和社会科学知识。
1.1 数学和相关自然科学基础知识:包括微积分、微分方程、线性代数、复变函数与场论、概率论与数理统计、离散数学和物理学中力学、热学、光学、电磁学、近现代物理等.1。
２电子信息与通信领域的工程理论和技术基础知识(1)电路分析与设计：包括电路分析基础、模拟电子线路设计、通信电子线路、数字逻辑与数字系统设计与系统等知识。
(2）计算机系统、微处理器原理与系统设计方面的知识。
(3)信号、系统与信号处理方面的知识：包括信号的分析,确定信号通过线性和非线性系统、随机信号特征及通过线性系统和非线性系统、数字信号处理、自动控制等方面的知识。
(４)电磁场与电磁波方面静态和时变电磁场、电磁场分析、电磁现象在现代通信和电子信息系统中应用的知识。
（5)计算机网络方面的基础知识．（6）工程制图方面的基础知识。
1。
3 人文和社会科学：具备较丰富的工程经济、管理、社会学、情报交流、法律、环境等人文与社会学的知识。
熟练掌握一门外语,可运用其进行技术相关的沟通和交流。
2、具有扎实的工程实践基础，掌握本专业的基本理论知识和解决工程技术问题的技能,了解本专业的现状和趋势。
２．1 工程实践基础（1)电路分析与模拟电子线路的初步设计能力.(２）数字逻辑与数字系统的初步设计能力.（3）微处理器与系统应用的初步设计能力.(4）信号、系统与信号处理的初步设计能力。
1-3 逻辑等价式和永真蕴含式
例如： P ∧ Q ⇔Q ∧ P
P→Q ⇔¬P ∨ Q
与联结词“↔”不同，等价符“⇔”是一个 关系符，它表示命题公式A与B在相同的赋值 下总是等值的。
§1.3.1 逻辑等价式
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证明： （i）充分条件 若A↔ B为重言式，则A,B在相同的赋值下的真值 均相同，所以 A和B是逻辑等价的公式，即A⇔B. （ii ）必要条件 若A⇔B ，则有A,B在相同的赋值下的真值均相 同，所以 A ↔ B为重言式.
应用替换规则、代入规则和基本的逻 辑等价式，可以将一个公式变换为另 一个与之等价的公式 。
§1.3.2 永真蕴含式
永真蕴含：
例如： P ∧ Q ⇒ P
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永真蕴含符“⇒”也是一个关系符。 A⇒B当且仅当A为T时，B一定为T， 即“由A成立可以逻辑推出B也成立”
§1.3.2 永真蕴含式
离散数学 第一篇
第1章 命题逻辑 第1课时 第2课时 第3课时 第4课时 第5课时 第6课时 1.1 命题 1.2 命题公式
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数理逻辑
1.3 逻辑等价式与永真蕴含式 1.4 主范式 1.5 命题逻辑的推理与证明方法 1.6 命题逻辑的应用
§1.3.1 逻辑等价式
逻辑等价:
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作业（离散数学书 ）：P18(2,3,4,5,7,10)
» 内容总结和延伸
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逻辑等价式
两个命题公式等价，当且仅当在同一赋值下的真 值均相同，它们只是形式不同，内涵完全相同。 若A为真，则B必为真，就有A⇒B。
永真蕴含式 逻辑等价与
» 结束语
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西安电子科技大学电子信息工程专业课考试科目
西安电子科技大学电子信息工程专业课考试科目080902 电路与系统03 智能图像处理、核心算法硬件设计与实现04 信号处理与仿真05 电子系统设计与仿真、DSP技术及应用08 嵌入式系统、图像获取、处理、压缩与分析技术09 仿真与信息处理10 数模混合电路与功率系统集成、设计自动化11 智能信号处理、信息融合、图像处理12 图像处理、模式识别、生物特征识别13 信息融合、图像分析与理解、智能信息处理14 智能信息处理、智能控制15 网络信息处理、Web信息系统、数据库系统16 电子设计自动化、嵌入式技术17 电路与系统CAD及设计自动化18 智能信息处理、图像处理19 智能测试与控制、微弱信号检测、系统集成与信息处理20 智能信息处理21 图像融合与图像处理、基于DSP的信号处理系统设计22 图像多尺度几何分析23 雷达信号处理、电子对抗技术、系统仿真和模拟25 智能信号处理与模式识别26 智能信号处理27 新一代通信网及嵌入式系统设计29 信息安全与信息对抗30 图像处理、电子系统设计及嵌入式系统设计31 自然计算、聚类分析、基于内容的信息检索32 电子对抗技术、电子对抗系统仿真33 数据挖掘和进化算法34 数据挖掘与智能信息处理35 电子对抗技术、信号处理与仿真36 智能信息处理37 机器学习、模式识别、智能信息处理38 数模混合信号处理与集成电子学40 电子对抗技术、网络对抗技术41 电子设计自动化、智能测试与控制42 智能信息处理、图像处理与分析43 数据挖掘、聚类分析、图像处理080904 电磁场与微波技术01 电磁兼容、电磁逆问题、计算微波与计算电磁学04 计算电磁学、智能天线、射频识别07 宽带天线、电磁散射与隐身技术08 卫星通信、无线通信、智能天线、信号处理09 天线理论与工程及测量、新型天线10 电磁散射与微波成像11 天线CAD、工程与测量13 移动卫星通信天线14 天线理论与工程16 电磁散射与隐身技术17 电磁兼容、微波测量、信号完整性分析20 移动通信中的相控阵、共形相控阵天线技术21 计算微波与计算电磁学、微波通信、天线工程、电磁兼容22 电阻抗成像、电磁兼容、非线性电磁学23 天线工程与CAD、微波射频识别技术、微波电路与器件24 电磁场、微波技术与天线电磁兼容25 天线测量技术与伺服控制26 天线理论与工程技术27 天线近远场测试技术及应用、无线网络通讯技术28 天线工程及数值计算29 微波电路与微波工程30 近场辐射及散射测量理论与技术31 微波系统和器件设计、电磁场数值计算32 电磁新材料、计算电磁学、电磁兼容33 计算电磁学、电磁兼容、人工合成新材料34 计算电磁学35电磁隐身技术、天线理论与工程36 宽带小型化天线及电磁场数值计算081002 信号与信息处理05 信号处理与检测09 信号检测与信息处理、星载计算机及应用、数据融合10 信号处理与检测11 信号获取与处理、高速信息处理系统设计12 自适应信号处理、智能检测、电子系统设计与仿真13 现代信号处理、微弱信号检测与特性分析14 智能信息处理、影像处理与分析15 信号处理与检测、电子系统仿真与设计、智能天线18 信号处理与检测、高速信息处理系统19 高速实时信号处理20 现代雷达信号处理、高速DSP系统设计与应用21 电子系统设计与仿真、弱信号检测与处理26 子波理论及应用、图像处理28 信号检测与处理、雷达自动目标识别29 雷达成像、目标识别30 雷达信号处理、阵列信号处理、高速信息处理系统设计31 信号处理与检测、多速率信号处理32 实时信号处理与检测、视频信号处理33 高速实时信号处理与检测、DSP应用系统设计34 信号变换、多速率信号处理35 雷达成像、机载雷达信号处理、实时信号处理36 信号处理与检测、高速信息处理系统设计37 信号处理与检测、高速实时数字信号处理系统38 通信信号处理、阵列信号处理39 信号与信息处理、实时信号处理40 智能信息处理、模式识别、信息隐藏、图像处理41 阵列信号处理及其在雷达、通信系统中的应用42 雷达信号处理、目标识别、机器学习43 图像和视频编码、图像处理★081022 信息对抗01 信息对抗系统和技术仿真、电子系统侦察与干扰02 雷达、通信对抗系统仿真与信息处理03 电子侦察与干扰、测向和无源定位技术★081023 智能信息处理01 网络智能信息处理、计算智能与模式识别02 智能信息/图像、目标检测、跟踪与编码03 进化计算04 机器学习与计算智能、医学影像可视化技术05 智能信息处理、多源信息融合081103 系统工程01系统建模仿真与设计、系统集成技术与应用02 最优化算法、智能算法及在无线系统设计中的应用03 系统工程、检测与故障诊断、无线传感器网络04 进化计算及应用、人工智能05 网络化控制系统06 嵌入式控制系统、信号检测及信息处理07 系统集成技术081104 模式识别与智能系统01 图像处理、图像压缩、芯片设计、实时操作系统、光机电控制系统02 网络智能信息处理与识别05 智能信号处理、智能控制、光源控制系统设计、电机控制应用06 模式识别、基于内容的信息检索07 模式识别、信号分类与识别08 目标检测与识别、信息融合、智能图像处理09 机器学习、模式识别、智能信息处理10 智能信息处理、图像处理11 智能信息处理、图像处理与分析12 多源信息融合13 医学影像分析与处理、生物特征识别14 网络多媒体技术研究、图像通信与图像处理、模式识别与人工智能15 复杂智能网络081105 导航、制导与控制01 先进导航技术及应用、目标探测制导与控制技术02 智能GPS技术、复合导航技术03 智能控制及应用、制导与控制中的信息处理技术04 智能信号与信息处理、嵌入式实时操作系统及应用、图像匹配制导05 电子系统建模与仿真、无线电测向技术06 制导信息处理技术、制导抗干扰技术、网络安全技术07 卫星导航定位与时间同步08 导航与制导实时信号处理、数据融合、先进DSP系统设计09 雷达精确制导技术、多传感器信息融合技术10 空间数据系统11 电机控制应用083001 环境科学02 天线布局设计及优化、电磁环境测量08 电子系统电磁环境分析、电磁兼容083002 环境工程01 工程环境电磁学02 工程环境电磁学05 工程环境电磁学06 电磁环境检测与分析、电子系统的电磁兼容性08 环境监控与检测09 环境监控与检测10 微波暗室设计、电磁环境检测与评估083100 生物医学工程01 分子影像与医学图像处理、生物信息处理02 生物电磁学及信号处理05 医学影像信息处理06 生物信号及图像处理07 生物传感器及弱信号检测09 信号的获取与处理及智能仪器10 电磁成像与脑监护、生物医学信号处理与检测11 磁场的生物效应12 计算电磁学和射频通信系统13 生物医学信息处理通信工程学院的专业考：通信原理，信号与系统电子工程学院的专业考：信号，电路与系统专业分布见下图。
西安电子科技大学考研复试科目-离散数学01命题逻辑d
(¬P ∧ Q ∧ R ) ∨ (Q ∧ ¬R ) ∨ R
是一个析取范式。
西安电子科技大学计算机学院 毛立强
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lqmao@
定义 一个命题公式称为合取范式（conjunctive normal form）， 当且仅当它具有如下形式：
A1 ∧ A 2 ∧ ... ∧ A n
现以两个变元为例25西安电子科技大学计算机学院毛立强lqmaomailxidianeducn这样n个变元的大项可以很快写出来26西安电子科技大学计算机学院毛立强lqmaomailxidianeducn这里是将命题变元对应于0命题变元的否定对应于1小项记法相反例如3个变元的大项是这样对应的大项其目的是当且仅当将大项的对应指派代入该大项才使该大项的真值为0使今后许多运算得到方便
例如
( n ≥ 1)
其中，A1，A2，…，An是由命题变元或其否定所组成的析取式。
( ¬ P ∨ Q ∨ R ) ∧ (Q ∨ ¬ R ) ∧ R
是一个合取范式。
西安电子科技大学计算机学院 毛立强
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任何一个命题公式，都可以求得它的合取范式或者析取范 式，步骤如下： 将公式中的联结词都归约成¬、∨和∧。 利用德·摩根定律将否定符号¬直接移到各命题变元之前。 利用分配律、结合律将公式归约成合取范式或者析取范 式。
2n −1 i =0
∨ mi ⇔ T
定义 一个仅由小项的析取组成的公式, 如果与给定的命题公式 A等价, 则称它是A的主析取范式（principle disjunctive normal form）。
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西安电子科技大学计算机学院 毛立强
lqmao@
定理：在真值表中，一个公式的真值为T的指派所对应 的小项的析取，即为此公式的主析取范式。 例3 用构造真值表的方法求命题公式 ¬P ∧ (Q → R)的主析取范式。
离散数学课后作业参考答案慕课电子科技大学
by 王丽杰
1. 用描述法写出下列集合。 (1) 从 0 到 1000 的整数； (2) 所有实数集上一元一次方程的解组成的集合； (3) 能被 100 整除的整数集合； (4) 直角坐标系中，单位元 (不包括单位圆周) 的点集。
2. 试用 ∈,⊂,⊆ 和 = 来描述以下各组两个集合间的关系。 (1)A = {2}，B = {2x|(1 ⩽ x ⩽ 3)} (2)C = {2, 3}，D = {{2, 3}} (3)E = {x|x ∈ Z, x2 + x + 1 = 0}，F = {{2, 3}} (4)G = {3, 3, 2, 1, 2}，H = {x|x3 − 6x2 + 11x − 6 = 0}
2. 设命题 P ：天在下雪；Q：我将进城；R：我有空。符号化下列命题。 (1) 我将进城去当且仅当我有空且天不下雪。 (2) 虽然天在下雪，但我将进城去。 (3) 如果天不下雪且我有空，我将进城去。 (4) 除非天不下雪，否则我将不进城。
3. 利用真值表或公式转换方法，判断下列公式的类型（永真公式，永假公式， 可满足公式）。 (1)P → (P ∨ Q ∨ R) (2)((P ∨ Q) ∧ R) ↔ Q (3)(P ∨ Q) ∧ (¬P ∨ Q) ∧ (P ∨ ¬Q) ∧ (¬P ∨ ¬Q)
Q : 小李的通行发生困难;
R : 小李按指定的时间到达.
则推理符号化成：P → Q, R → ¬Q, R ⇒ ¬P
(1) R → ¬Q
P
(2) R
P
(3) ¬Q
T, (1), (2), I
(4) P → Q
P
(5) ¬P
T, (3), (4), I
第 (2) 小题
1-4 主范式
§1.4.2 主合取范式
方法一、真值表法
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【例题】求命题公式A=¬P ∧ (Q → R)的主合取范式。
§1.4.2 主合取范式
方法二、等价推演法
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【例题】求命题公式A=¬P∧(Q→R)的主合取范式。
A⇔ ⇔ ⇔
¬P∧(¬ Q ∨R) (¬P∨(Q∧¬Q)∨(R∧¬R) )∧((P∧¬P)∨¬Q∨R) (¬P∨Q∨R)∧(¬P∨Q∨¬R)∧(¬P∨¬Q∨R) ∧(¬P∨¬Q∨¬R )∧(P∨¬Q∨R)∧(¬P∨¬Q∨ R)
极小项
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例如，以下是含有三个命题变元P,Q,R的极小项：
P1 ∧ ¬P2 ∧ P3
该极小项的编号为： 1 记为： 0 1
m5
含n个命题变元的极小项共有2n个， 编号为0~2n-1。
§1.4.1 主析取范式
000 001 010 011 100 101 110 111 m0 = m1 = m2 = m3 = m4 = m5 = m6 = m7 =
§1.4.2 主合取范式
极大项
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例如，以下是含有三个命题变元P,Q,R的极大项：
P ∨ ¬Q ∨ R
该极大项的编号为： 0 记为： 1 0
M2
西安电子科技大学考研复试科目-离散数学01命题逻辑b
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单个命题变元和命题常元叫原子公式。 由以下形成规则生 成的公式叫命题公式 (合式公式): ; (1) 单个原子公式是命题公式。 (2) 如果A和B是命题公式, 则(¬A) , (A∧B) , (A∨B) , (A→B) , (A↔B)是命题公式。 (3) 只有有限步应用条款(1)和(2)生成的公式才是命题公式。 这种定义叫归纳定义, 也叫递归定义。由这种定义产生的公 式叫合式公式 。
•运算符结合力的强弱顺序为:
¬、∧,∨,→,↔
凡符合此顺序的, 括号均可省去。 •相同的运算符, 按从左至右次序计算时, 括号可省去。 •最外层的圆括号可以省去。 例如: ( ¬((P∧¬Q)∨R)→((R∨P)∨Q)) 可写成 ： ¬(P∧¬Q∨R)→R∨P∨Q
但有时为了看起来清楚醒目, 也可以保留某些原可省去的括号。
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在日常生活中用条件式来断言前提和结论之间的因果或实 质关系, 如上例(a)和(b), 这样的条件式叫形式条件, 然而, 在命题 演算中, 一个条件式的前提和结论并不需要有因果和实质联系, 这样的条件式叫实质条件, 如上例(c)中, 桔子的颜色和大地的外 形之间没有因果和实质关系存在, 但条件式W→V是真, 因为前 提是假而结论是真。 采用实质条件作定义, 是因为在讨论逻辑 和数学问题中, 这不仅是正确的, 且方便应用。 －“善意推定”
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逻辑等价
给定两个命题公式A和B，当且仅当A↔B是重言式，则称A和B是等价的或 者逻辑相等(logically equivalent)的，记做A⇔B，读做“A等价于B”。 例如：¬(P∧Q)↔(¬P∨¬Q)是一个重言式，所以有 ¬(P∧Q) ⇔ (¬P∨¬Q) 可见，给定两个命题公式A和B，设P1、P2、…、Pn为所有出现在A和B 中的原子变元，但Pi（i=1,2,…,n）不一定在A和B中同时出现。若给P1、 P2、…、Pn任一组真值指派，A和B的真值都相同，则A↔B是一个重言 式，所以A和B是等价的。这也可以作为两个命题公式等价的定义。 注意 ⇔ 和 ↔ 的区别 证明命题公式A和B等价可以采用真值表的方法。
西安电子科技大学考研复试科目-离散数学05无限集合b-08图论a
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小结
明确有限集、可数无限集、不可数无限集及其基 数的概念 基数的比较
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作业
• 5-1 （3） • 5-2 （2） （10）
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基数的比较
如果A是无限集，那么s\s0 ≤|A|（ s\s0是最小的无限集基数） 证明：如果A是无限集合, 那么A包含一可数无限子集B。因 为映射f: B→A, f(x)=x, x∈B是从B到A的单射函数, 这得出 |B|≤|A|, 而|B|= s\s0 ，所以s\s0 ≤|A|。 虽然有上述两个结论，但目前为止，还没有人能够证明是否 有一无限集，其基数严格介于s\s0和c之间。于是，假定c是大 于s\s0的最小基数，即不存在任何基数|S|，使s\s0 <|S|< c成立。 （连续统假设） Cantor定理：设M是一个集合，T为M的幂集，则 |M|<|T|。 说明没有最大的基数，没有最大的集合
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基数的比较
例：证明 [ 0 ,1]和 ( 0 ,1)具有相同的基数。 证明：作单射函数： x 1 f : [ 0 ,1] → ( 0 ,1), f ( x ) = + 2 4 g : ( 0 ,1) → [ 0 ,1], g ( x ) = x
说明没有最大的基数没有最大的集合15西安电子科技大学计算机学院毛立强lqmaomailxidianeducn小结?明确有限集可数无限集不可数无限集及其基数的概念?基数的比较16西安电子科技大学计算机学院毛立强lqmaomailxidianeducn作业?513?5221017西安电子科技大学计算机学院毛立强lqmaomailxidianeducn图论?图的基本概念?路径与回路?图的矩阵表示?二部图?平面图?树和有向树18西安电子科技大学计算机学院毛立强lqmaomailxidianeducn图的基本概念?一个图graphg是一个三重组vgegg其中vg是一个非空的结点顶点vertices集合eg是边edge的集合g是从边集e到结点偶对集合上的函数
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若一个命题已不能分解成更简单的命题, 则这个命题叫原 子命题或本原命题。 例 1 中(a) , (b) , (d) , (e)都是本原命题, 但(c) 不是, 因为它可写成“2 是偶数”和“3 是奇数”两个命题。 命题和本原命题常用大写字母P , Q , R表示。 如用P表示 “4 是质数”, 则记为 ; P: 4 是质数。 表示命题的符号称为命题标识符。一个命题标识符如果表示确 定的命题，就称为命题常元；如果表示任意命题，就称为命题 变元。命题变元不是命题。可以对命题变元进行指派。
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课程信息
离散数学是现代数学的一个分支，以离散对象的结 构和相互关系为研究对象。 主要包括数理逻辑、集合论、代数结构和图论四部 分 通过学习本课程，掌握基本的离散信息的组织和管 理方法，了解计算机科学的部分理论基础。 强调逻辑性、抽象性，注重概念、方法与应用。
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在代数式x+3 中, x , 3 叫运算对象, +叫运算符, x+3 表示运算结果。在命题演算中, 也用同样术语。联 结词就是命题演算中的运算符, 叫逻辑运算符或叫逻 辑联结词（logic connective） 。常用的有以下 5 个：否定、合取、析取、条件、双条件
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3. 析取∨ 如果P和Q是命题，那么“P或Q”是一个复合命题，记做P∨Q， 称为P和Q的析取（disjunction）。当且仅当P、Q至少有一个为T 时，P∨Q为T，否则，P∨Q为F。
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1
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P∨Q 0 1 1 1 西安电子科技大学计算机学院 毛立强
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例 2 下述都不是命题: ; (a) x+y＞4。 (b) x=3。 (c) 真好啊! (d) 你去哪里?
(a)和(b)是断言, 但不是命题, 因为它的真值取决于x和y的 值。 (c)和(d)都不是断言, 所以不是命题。
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例7 在大多数编程语言中，“与”的定义与“合取”定义相同。例 如Java语言中，（逻辑）“与”记做&&，表达式 x<10 && y>1 为 真当且仅当变量x小于10并且变量y大于1。
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54学时，27次课 作业与辅导： 考试：闭卷，与平时成绩加权
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课程信息
离散数学是计算机相关专业的重要基础课程。
操作系统 数据结构 编译原理 算法分析 数字电路 数据库系统 人工智能
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练习： 判断下列语句是否为命题。 （1）雪是黑的。 （2）1＋101＝110 （3）别的星球上有生物。 （4）下课吧？ （5）下课！
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命题及其表示法
命题 断言是一陈述语句。一个命题（proposition） 是一个或真或假而不能两者都是的断言。如果命题 是真, 我们说它的真值（truth value）为真 （T），如果命题是假, 我们说它的真值是假 （F）。
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例 1 下述都是命题: ; (a) 今天下雪 ; (b)能整除7的正整数只有1和7本身; (c) 2 是偶数而 3 是奇数; (d) 李自成起义那天, 杭州下雨; (e) 较大的偶数都可表示为两个质数之和。 以上命题, (a)的真值取决于今天的天气, (b)和(c)是真, (d) 已无法查明它的真值, 但它是或真或假的, 将它归属于命题。 (e)目前尚未确定其真假, 但它是有真值的, 应归属于命题。
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例9 在大多数编程语言中，“兼或”的定义与析取定义相 同。例如Java语言中，（逻辑）“或”记做||，表达式 x<10 || y>1 为真当且仅当变量x小于10或者变量y大于1或者两者都 为真。
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命题联结词
命题和原子命题常可通过一些联结词构成新命题, 这种新命题 叫复合命题。例如 ; P : 明天下雪, Q : 明天下雨 是两个命题, 利用联结词“不”, “并且”, “或”等可分别构成新命 题: “非P” “明天不下雪”; “P并且Q” “明天下雪并且明天下雨”; “明天下雪或者明天下雨”等。“P或者Q”
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第一章 数理逻辑
1.1 命题 1.2 重言式 1.3 范式 1.4 联结词的扩充与规约 1.5 推理规则和证明方法 1.6 谓词和量词 1.7 谓词演算的永真公式 1.8 谓词演算的推理规则
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第一章 数理逻辑（mathematical logic）
逻辑学是一门研究推理规律的科学；数理逻辑就是 用数学方法研究推理规律，这里的“数学方法”是指 引入一套符号体系的方法，所以数理逻辑又称为“符 号逻辑”。 传统的数理逻辑包括“四论一演算”：递归论、公理 化集合论、模型论和证明论，逻辑演算，目前新提 出了很多新的逻辑，如多逻辑、模态逻辑、时序逻 辑、算法逻辑、程序逻辑等等。 本课程主要学习命题逻辑（proposition logic）和谓 词逻辑（predication logic） 。
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例 10
Web搜 索 许多Web搜索引擎（如Google、
Yahoo）都允许用户输入关键词，然后由搜索引擎与网页进 行 匹 配 。 例 如 ， 输 入 mathematics 会 产 生 一 个 包 含 mathematics的列表。有些搜索引擎允许用户使用操作符 AND、OR和NOT以及括号进行关键词的组合，这样可以实 现更复杂的搜索。例如，为了搜索包含关键词“discrete”和 “ mathematics” 的 网 页 ， 用 户 应 该 输 入 discrete AND mathematics 。 如 果 搜 索 包 含 关 键 词 “ discrete” 和 “mathematics”或关键词“finite”和“mathematics”的网页，用 户应该输入（discrete OR finite）AND mathematics。
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这张表叫真值表, 定义运算符的真值表, 指明如何用运算对象 的真值, 来决定一个应用运算符的命题的真值。 真值表的左边列 出运算对象的真值的所有可能组合, 结果命题的真值列在最右边 的一列。为了便于阅读, 我们通常用符号T(true)或 1 代表真, 符号 F(false)或 0 代表假。 一般在公式中采用T和F, 在真值表中采用 1 和 0。 这样, 以上真值表可写成
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2. 合取∧ 如 果 P 和 Q 是 命 题 ， 那 么 “ P 并 且 Q” 是 一 个 复 合 命 题 ， 记 做 P∧Q，称为P和Q的合取（conjunction）。当且仅当P、Q同时 为T时，P∧Q为T，否则，P∧Q为F。
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1
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1. 否定 ¬ 设P为一命题，P的否定（negation）是一个新的命题，记做¬P， 称为“非P”。如果P为T，则¬P为F；如果P为F，则¬P为T。所以否 定词可以用下表定义。
P F T
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¬P T F
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数 学 离 散
毛立强 主讲
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教材：
离散数学，方世昌，西电出版社 离散数学习题解答，孙学红，秦伟良，西电出版社
参考书：
离散数学，左孝凌等，上海科学技术文献出版社
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例5 在大多数编程语言中，“非”的定义和“否定”联结词定 义相同。例如在Java语言中，（逻辑）“非”记做！，表达 式 ！（x<100）为真当且仅当变量x不小于100，也就是大于 等于100。
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例8 (a) P: 今晚我写字, Q: 今晚我看书。 P∨Q: 今晚我写字或看书 “或”字常见的含义有两种: 一种是“可兼或”, 如上例中的 或, 它不排除今晚既看书又写字这种情况。一种是“排斥或”, 例如“人固有一死, 或重于泰山, 或轻于鸿毛”中的“或”, 它表 示非此即彼, 不可兼得。 运算符∨表示可兼或, 排斥或以后 用另一符号表达。 (b)她今年30岁或者40岁。 表示近似，不能用“析取”联结词表达。
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例 3 一个人说:“我正在说谎”。 他是在说谎还是在说真话呢? 如果他讲真话, 那么他所说的 是真, 也就是他在说谎。 我们得出结论如果他讲真话, 那么他是 在说谎。另一方面, 如果他是说谎, 那么他说的是假; 因为他承认 他是说谎, 所以他实际上是在说真话, 我们得出结论如果他是说 谎, 那么他是讲真话。 从以上分析, 我们得出他必须既非说谎也不是讲真话。这样, 断言“我正在说谎”事实上不能指定它的真假, 所以不是命题。 这 种断言叫悖论（paradox） 。