广西陆川县中学高三下学期5月模拟考试——数学理数学(

广西陆川县中学
2017届高三下学期5月模拟考试
数学（理）试题
第I卷(选择题，共60分）
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合，则( )
．．．．
2.已知复数满足，则复数的共轭复数为( )
．．．．
3.命题“”的否定是( )
4.若一个底面是正三角形的直三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
5.已知的展开式中( )
6、，满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则
实数的值为（）
(A)或（B）或（C）或（D）．或
7、已知向量==,若,则的最小值为（）
(A)(B)(C)(D)
8、已知的三边长成公差为的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（）
(A) (B) (C) (D)
9、已知双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率为( )
(D)
(B)
(A)
(C)
10、如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别
为A(0,—1)，B(,—1)，C(,1)，D(0,1)，
正弦曲线f(x)=和余弦曲线g(x)=
在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内
随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率
是( )
(A) (B) (C) (D)
11、设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，
且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）
(A)(B)(C)(D)1
12、定义域为的偶函数满足对于任意的,有,且当时,,
若函数在上至少有三个零点,则的取值范围是（）
(A)(B)(C)(D)
第II卷(非选择题，共90分）
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13、已知抛物线的准线方程是，则.
14、等比数列中，
----------.
15、的展开式中项的系数等于.(用数值作答)
16、已知函数，若实数互不相等，且满足，则的取值范围是.
三、解答题：(本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17、（本题满分12分）设函数，其中向量，，.
（Ⅰ）求的最小正周期与单调递减区间；
（Ⅱ）在△中，、、分别是角、、的对边，已知，，
△的面积为，求的值.
18、（本小题满分12分）如图，三角形和梯形所在的平面互相垂直，
，,∥且，是线段上一点，.
（Ⅰ）当时，求证：‖；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）是否存在点,满足？并说明理由。

19、（本小题满分12分）
一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：, ,，，．
（Ⅰ）从中任意拿取张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数。

在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；
（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望．
20、（本小题满分12分）
已知是圆上的动点，在轴上的射影为，点满足，当在圆上运动时，点的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）经过点的直线与曲线相交于点，并且，求直线的方程.
21、（本小题满分12分）
设函数, .
（Ⅰ）当时，在上恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，若函数在上恰有两个不同零点，求实数的取值范围；
（Ⅲ）是否存在实数，使函数和函数在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框
22、（本小题满分10分）[选修4－4：坐标系与参数方程]
以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线的参数方程为为参数，，曲线的极坐标方程为.
（I）求曲线的直角坐标方程；
（II）设点的直角坐标为，直线与曲线相交于、两点，并且，求的值.
23、（本小题满分10分）[选修4—5：不等式选讲]
已知函数.
(Ⅰ)当时，求函数的定义域；
(Ⅱ)若关于的不等式≥的解集是R，求实数的最大值．
．
参考答案
一、选择题：
二、填空题：
13. 1 14.135 15.280 16.
三、解答题：
17. （1）
∴函数的最小正周期
令，解得
∴函数的单调递减区间是
（2）由，得，即
在△中，∵，∴，得
又∵，∴
∴由余弦定理得：，∴
由，得，
∴
18.解：（1）取中点，连接，又，所以.
因为，所以, 四边形是平行四边形，所以
因为平面，平面，所以平面.
（2）因为平面平面，平面平面=，
且，所以平面，
所以，
因为，所以平面.
如图，以为原点，建立空间直角坐标系.
则，
是平面的一个法向量.
设平面的法向量，
则，即
令，则，所以,
所以，故二面角的余弦值为。

（3）因为，所以与不垂直,
所以不存在点满足平面.
19．解：（Ⅰ）为奇函数；为偶函数；为偶函数；为奇函数；为偶函数;为奇函数.
所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；
另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数;故基本事件总数为.
满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，故满足条件的基本事件个数为
故所求概率为,
（Ⅱ）可取1，2，3，4．，
；
故的分布列为
的数学期望为
20、【解析】（I）设，则在圆上，所以，即………..4分
（II）经检验，当直线轴时，题目条件不成立，所以直线存在斜率.设直线.设，则
.………6分
，得.
….①，……②. ……………8分
又由，得，将它代入①，②得，（满足）.
所以直线的斜率为.所以直线的方程为………………12分
21、解：(1)由,可得即
记，则f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于.
求得
当时;;当时，
故在x=e处取得极小值，也是最小值，
即，故.
(2)函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a，
在［1,3］上恰有两个相异实根。

令g(x)=x-2lnx,则
当时，,当时，
g(x)在[1,2]上是单调递减函数，在上是单调递增函数。

故又g(1)=1,g(3)=3-2ln3
∵g(1)>g(3),∴只需g(2)<a≤g(3),
故a的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3)
(3)存在m=，使得函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性
函数f(x)的定义域为（0,+∞）。

若，则，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，不合题意;
若,由可得2x2-m>0，解得x>或x<-（舍去）
23.【解析】（1）当时，将，，代入，得. 经检验，极点的直角坐标也满足此式. 所以曲线的直角坐标方程为……………………………………………5分
（II）将代入，得，
所以，…………………………………………………………8分
所以，或，即或.…………10分
24.【解析】【解】：(Ⅰ)解：由题设知：，
①当时，得，解得.
②当时,得,无解.
③当时,得, 解得.
∴函数的定义域为.
(Ⅱ)解：不等式，即，
∵R时，恒有，
又不等式解集是R，
∴，即.
∴的最大值为.。