2013年福建省福州市中考数学试卷

2013年福建省福州市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选 项，请在答题卡的相应位置填涂）
1. （4分）2的倒数是（ ）
3.（4分）2012年12月13日，嫦娥二号成功飞抵距地球约 7 000 000用科学记数法表示为（ ）
A . 7X 105
B . 7X 106 C. 70X 106 D . 7X 107
5. （4分）下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A . X 2+3=0 B. X 2+2X =0
2 C. （X +1） 2
=0
D . （X +3） （X - 1） =0
6.
（4分）不等式1+x v 0的解集在数轴上表示正确的是（
）
B .-- C. 2
D .- 2
若/仁40°
C. 50°
D . 60
700万公里远的深空,
A . 一
O
L__1L-l _1_1_Lk
L J 1
- M L 1 >■
C.- 3^2 -1 0 1 2 3^
D m Q 1 2 3
7. （4分）下列运算正确的是（
）
D . a — a 3=a
8. （4分）如图，已知△ ABC,以点B 为圆心，AC 长为半径画弧；以点C 为圆心,
AB 长为半径画弧，两弧交于点 D ,且点A ,点D 在BC 异侧，连结AD ,量- 9. （4分）袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别.从袋中随机 地取出一个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是
B •不足3个
D . 5个或5个以上
10. （4分）A , B 两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为
A
、填空题（共5小题，每小题4分.满分20分；请将正确答案填在答题卡相 应位置） 11. （4 分）计算：—一= ______ 12. （4分）矩形的外角和等于 _____ 度.
A . a?a 2=a 3
B. (a 2) =a
C.—
C. 3.5cm D . 4.0cm
( )
A . 3个 C. 4个
D . ab v 0
3.0cm
13. （4分）某校女子排球队队员的年龄分布如下表:
年龄131415
人数474
则该校女子排球队队员的平均年龄是________ 岁.
14. _____________________________________________________________
（ 4 分）已知实数a, b 满足a+b=2, a - b=5,则（a+b）3?（ a - b）3的值是_ . 15. （4分）如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格，正六边形
的顶点称为格点•已知每个正六边形的边长为〔，△ ABC的顶点都在格点上, 则厶ABC的面积是______ .
三、解答题（满分90分；请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置，作图
或添辅助线用铅笔画完，再用黑色签字笔描黑）
16. （14分）（1）计算：=；
（2）化简：（a+3）2+a （4 -a）
17. （16分）（1）如图，AB平分/ CAD, AC=AD，求证：BC=BD
（2）列方程解应用题
把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4
18. （10分）为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查•
已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，禾U用所得数据绘制如下统计图表：身高情况分组表（单位：cm）
组别 身高 A X V 155 B 155 < X V 160 C 160 < X V 165 D 165 < X V 170
E
x > 170
根据图表提供的信息，回答下列问题:
(1) ______________________________ 样本中，男生的身高众数在 组，中
位数在 ________________________________ 组；
(2) ____________________________________ 样本中，女生身高在E 组的人数有 __________________________________________ 人；
(3) 已知该校共有男生400人，女生380人，请估计身高在160<X V 170之间
19. (12分)如图，在平面直角坐标系 三角形AOC 经过平移或轴对称或旋转
都可以得到厶 OBD.
("△ AOC 沿x 轴向右平移得到厶OBD,则平移的距离是 __________ 个单位长度; △ AOC 与厶BOD 关于直线对称，则对称轴是 _____ ; △ AOC 绕原点O 顺时针 旋转得到厶DOB,则旋转角度可以是 ________度； (2)连结AD ,交OC 于点E ,求/ AEO 的度数.
xOy 中，点A 的坐标为(-2, 0)，等边 的学生约有多少人?
20. (12分)如图，在△ ABC中，以AB为直径的O O交AC于点M，弦MN // BC
交AB于点E,且ME=1, AM=2, AE=-
(1)求证：BC是。

O的切线；
(2)求的长.
4
p)
C1?
21. (12分)如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC,/ B=45°, P是BC边上一点,
△ PAD的面积为一，设AB=x AD=y
(1) 求y与x的函数关系式；
(2) 若/ APD=45，当y=1 时，求PB?PC的值;
22. (14分)我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是y=aX"+bx (a^0) (1)对于这样的抛物线：
当顶点坐标为(1, 1)时，a= ________ ;
当顶点坐标为(m, m), m丰0时，a与m之间的关系式是_________
(2)继续探究，如果0，且过原点的抛物线顶点在直线y=kx (0) 上，请用含k
的代数式表示b;
（3）现有一组过原点的抛物线，顶点A i, A2,…，A n在直线y=x上，横坐标依次为1 , 2,…，n （为正整数，且n< 12）,分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B i, B2,…，B n,以线段A n B n为边向右作正方形A n B n C n D n，若这组抛物线中有一条经过D n,求所有满足条件的正方形边长.
2013年福建省福州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选 项，请在答题卡的相应位置填涂）
1. （4分）2的倒数是（
）
【解答】解：2的倒数是-.
A .
B . C. 2
D .— 2
则/2的度数是
C. 50°
D. 60°
【解答】解：T 0A丄0B,/仁40°,
•••/ 2=90°-/ 仁90°- 40°=50°.
故选：
C.
3.（4分）2012年12月13日，嫦娥二号成功飞抵距地球700万公里远的深空,
7 000 000用科学记数法表示为(
A. 7X 105
B. 7X 106【解答】解：7 000 000=7X 106.
C. 70X106
D. 7X 107
故选：A.
若/ 1=40°,
故选：
B.
俯视图是正方形的是（
B.
B、圆柱的俯视图是圆，故B错误；
C、三棱锥的俯视图是三角形，故C错误;
D、圆锥的俯视图是圆，故D错误，
故选：A.
5. （4分）下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）
A. X2+3=0
B. X2+2X=0
C. （X+1）2=0
D. （X+3）（X- 1）=0
【解答】解：A、A =0- 4 X 3=- 12V 0,则方程没有实数根，所以A选项错误;
B、A =4- 4 X 0=4> 0,则方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；
C、X2+2X+仁0,4 =4 - 4X仁0，贝U方程有两个相等的实数根，所以C选项正确;
D、x i = - 3，X2=1，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项错误.
故选：C.
6. （4分）不等式1+X V0的解集在数轴上表示正确的是（）
【解答】解：1+X V 0，
解得：X V- 1，
表示在数轴上，如图所示：
—A ------- 1—>
-3 -2-15 1 2 3 故选：A.
7. （4分）下列运算正确的是（)
B. (a2) 3=a5
2 3
A. a?a2=a3
3 3
C. - —
D. a3十a3=a
【解答】解：A、a?a=a3,故A选项正确；
B、（a2）3=a6，故B选项错误；
C、（一）2=—，故C选项错误;
D、a3十a3=1，故C选项错误，
故选：A.
8. （4分）如图，已知△ ABC,以点B为圆心，AC长为半径画弧；以点C为圆心,
C. 3.5cm
D. 4.0cm
AB长为半径画弧，两弧交于点D,且点A,点D在BC异侧，连结AD,量
【解答】解：如图所示:
测量可得AD=3.0cm,
3.0cm
9. （4分）袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别.从袋中随机地取
出一个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是
（）
A. 3个B•不足3个
C. 4个
D. 5个或5个以上【解答】解：•••袋中有红球4个，取到白球的可能性较大,
• ••袋中的白球数量大于红球数量，
即袋中白球的个数可能是5个或5个以上.
故选：D.
D. ab v0
10. （4分）A, B两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为A 【解答】解：•••根据函数的图象可知：y随x的增大而增大,
•y+b v y, x+a v x,
•b v 0, a v 0,
•选项A、C、D都不对，只有选项B正确, 故选：B.
、填空题（共5小题，每小题4分.满分20分；请将正确答案填在答题卡相应位置）11. （4 分）计算：一一二一.
【解答】解：原式=—=-故答案为-.
12. （4分）矩形的外角和等于360度.
【解答】解：矩形的外角和等于360度.
故答案为：360.
13. （4分）某校女子排球队队员的年龄分布如下表:
年龄131415
人数474
则该校女子排球队队员的平均年龄是14岁.
【解答】解：根据题意得：
(13X 4+14X 7+15X 4)十 15=14 (岁)，
故答案为：14.
14. (4 分)已知实数 a , b 满足 a+b=2, a- b=5，则(a+b ) 3? (a - b ) 3 的值是 1000 【解答】解：••• a+b=2, a -b=5,
•••原式=[(a+b ) (a- b ) ]3=103=1000.
故答案为：1000
15. （4分）如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格，正六边形 的顶点称为格点.已知每个正六边形的边长为 〔，△ ABC 的顶点都在格点上, 则厶ABC 的面积是 2 —.
【解答】解：延长AB,然后作出过点C 与格点所在的直线，一定交于格点 E . 正六边形的边长为1,则半径是1,则CE=4
中间间隔一个顶点的两个顶点之间的距离是： 一，则厶BCE 的边EC 上的高是: △ ACE 边EC 上的高是:
故答案是：2 .
三、解答题（满分90分；请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置，作图 或添
辅助线用铅笔画完，再用黑色签字笔描黑）
7 则 S\ABC =S\AEC — BEk X 4X
)=2
16. (14分)(1)计算：
【解答】解：（1）原式=1+4 - 2 一=5 - 2 _;
（2）原式=a2+6a+9+4a- a2=10a+9.
17. （16分）（1）如图，AB平分/ CAD, AC=AD 求证：BC=BD
（2）列方程解应用题
把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4
【解答】（1）证明：：AB平分/ CAD,
•••/ CAB=/ DAB,
在△ABC和△ ABD中
•••△ ABC^A ABD （SAS,
••• BC=BD
（2）解：设这个班有x名学生，根据题意得：3x+20=4x- 25,
解得：x=45,
答：这个班有45名学生.
18. （10分）为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查.
已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，禾U用所得数据绘制如下统计图表：
身高情况分组表（单位：cm）
组别身高
A x v 155
B155 < x v 160
C 160 < x v 165
D165 < X V 170
E x> 170
根据图表提供的信息，回答下列问题：
(1)样本中，男生的身高众数在B组，中位数在C组;
(2)样本中，女生身高在E组的人数有2人；
(3)已知该校共有男生400人，女生380人，请估计身高在160<X V 170之间
的学生约有多少人?
【解答】解：：B组人数最多，
•••众数在B组，
男生总人数为4+12+10+8+6=40,
按照从低到高的顺序，第20、21两人都在C组，
•••中位数在C组，
故答案为：B、C;
(2)女生身高在E组的频率为：1 - 17.5%- 37.5%- 25%- 15%=5%
•••抽取的样本中，男生、女生的人数相同，
•样本中，女生身高在E组的人数有40X 5%=2人，
故答案为：2;
(3)---------------- 400X +380X( 25%+15%) =180+152=332 (人).
答：估计该校身高在160< X V 170之间的学生约有332人.
19. (12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(-2，0)，等边第13页(共
三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到厶OBD.
("△ AOC沿x轴向右平移得到厶OBD,则平移的距离是 2 个单位长度；△
AOC与厶BOD关于直线对称，则对称轴是y轴；△ AOC绕原点O顺时针旋转得到厶DOB,则旋转角度可以是120度；
(2)连结AD,交OC于点E,求/ AEO的度数.
2, 0),
•••△ AOC沿x轴向右平移2个单位得到△ OBD;
•••△ AOC与厶BOD关于y轴对称；
•••△ AOC为等边三角形，•••/ AOCh BOD=60, •••/ AOD=120,
•••△ AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△ DOB.
(2)如图，•••等边△ AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△ DOB,
••• OA=OD,
vZ AOCK BOD=60,
•••/ DOC=6O,
即OE为等腰△ AOD的顶角的平分线，
•••OE垂直平分AD,
•••Z AEO=90.
故答案为2；y轴；120.
20. （12分）如图，在△ ABC中，以AB为直径的O O交AC于点M，弦MN // BC
交AB于点E,且ME=1, AM=2, AE=-
（1）求证：BC是。

O的切线；
（2）求的长.
4
z p)
c1?
【解答】（1）证明：如图，
••• ME=1，AM=2，AE「，M E+A E2=AM2=4，
•••△ AME是直角三角形，且/ AEM=90 . 又••• MN // BC,
•/ ABC=/ AEM=90，即OB丄BC.
又v OB是O O的半径，
•BC是O O的切线；
（2）解：如图，连接ON.
在Rt A AEM 中，sinA —h，
• / A=30°.
v AB丄MN，
，EN=EM=1,
•••/ BON=2/ A=60°.
在Rt A OEN 中，sin/ EON—,
••• ON=
21. （12分）如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC,/ B=45°, P是BC边上一点,
△ PAD的面积为-，设AB=x AD=y
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若/ APD=45，当y=1 时，求PB?PC的值;
【解答】解：（1）如图1,过A作AE丄BC于点E，
在Rt A ABE中，/ B=45, AB=x
••• AE=AB?si nBhx，
t S k APC^AD?AE=，
• -?y?—xh，
则y=
(2)t/ APC=/ APD+/ CPD/ B+/BAP, / APD=/ B=45,
• / BAP=/ CPD,
•••四边形ABCD为等腰梯形，
••• PB?PC=AB?DC=A B 当y=1 时，x= _，即AB= 则PB?PC=( _) 2=2;
(3)如图2,取AD的中点F,连接PF,
过P作PH丄AD,可得PF>PH,
当PF=PH时，PF有最小值，
又•••/ APD=90,
••• PF=AD=-y,
••• PH=y,
••• Sx APk?AD?PH=,
• Vy?">_,即卩y2>2,
••• y> 0,
•当取“=寸，y取最小值一,
22. （14分）我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是y=ax+bx （a^0）（1）对于这样的抛物线：
当顶点坐标为（1,1）时，a= - 1 ;
当顶点坐标为（m ,m ）,m工0时，a与m之间的关系式是a=- —（或am+1=0）（2）继续探究，如果0，且过原点的抛物线顶点在直线y=kx （k M 0）上，请用含k的代数式表示b;
（3）现有一组过原点的抛物线，顶点A i, A2,…，A n在直线y=x上，横坐标依次为
1 , 2,…，n （为正整数，且n< 12）,分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为
B i, B2,…，B n,以线段A n B n为边向右作正方形A n B n
C n
D n，若这组抛物线中有一条
经过D n,求所有满足条件的正方形边长.
【解答】解：（1）v顶点坐标为（1, 1）,
解得，，
即当顶点坐标为（1, 1）时，a二-1 ；
当顶点坐标为（m, m）, m工0时，
解得,
则a与m之间的关系式是：a= ------- 或am+1=0.
故答案是：-1; a= （或am+1=0）.
（2）v a^ 0,
••• y=aX^+bx=a （x+一）2 - ,
•••顶点坐标是（-一, ------ ）.
又•••该顶点在直线y二kx （k M 0）上，
•k （-—）=-—.
v b M 0,
•b=2k；
（3）v顶点A1, A2,…，A n在直线y=x上，
•可设A n （n, n）,点D n所在的抛物线顶点坐标为（t, t）. ••• a=—_, b=2.
•••由（1）（2）可得，点D n所在的抛物线解析式为y=--X2+2X.
•四边形A n B n C n D n是正方形，
•••点D n的坐标是（2n，n）, •••- —（2n）2+2?2n=n,
•4n=3t.
••• t、n 是正整数，且t< 12, n W 12, •n=3, 6 或9.
•满足条件的正方形边长是3, 6或9.。