浅谈平衡中的临界和极值问题
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图 １
、 ／ １ —
１
２
ｔ ｇ ￣ ＝ ／ ｘ ＝ —｛ 二 ＝ ３ ０ 。
Ｖ ３
’ ． ．
ｏ ￣ ＝３ ０。
小范 围。
’
点评 ： 此 题 给 出 了求 解 极 值 问题 的 一 种 方 法 — — 函 数 法 。此 题 中 ， 朋勺 大小 随 的变 化 而 变 化 ，
例３ 如 图４ 所示 ， 质量为 ｍ的球放在倾 角为０ 的光 滑斜 面上 ，试分析挡板Ａ０ 与斜面 间 的倾 角 ｄ 为多 大 时 ， Ａ Ｏ 所受 压力最小？ 解 析 ：以球 为研 究 对 象 ， 球所受 重力， 产 生 的效 果 有 两个 ： 对 斜 面 产 生 了压 力 ， 对挡板产生 了压 力 ， 根据 重力 产生 的效果将重力 分解 ， 如图４ 所示 ， 当挡板 与斜面 的夹角 由图示 位 置变化时 ， 大小改变 ， 但方 向不变 ， 始终 与斜 面垂 直； 的大 小 、 方 向均 改 变 （ 图４ 中 画 出 的一 系 列 虚线 表示变化的 ） 。由图可看出， 当 与 垂直即 ＝ ９ ０ ｏ 时， 挡板Ａ ０ 所受压力最小 ， 最 小 压 力 ． ＝ ｍ ｇ ｓ ｉ ｎ ０ 。 点评 ： 本 题 考 查 分 析 推 理 能 力 及 运 用 数 学 知识 处理物理问题的能力 。部分学生不进行推 理凭 主观 臆断 ，得出挡板处 于竖直状态所受压力最 小的错误 结论 。 还有部分 学生思维不灵活 ， 不采用“ 图解法 ” 而 采用“ 正交分解法” ， 陷入繁琐 的计算和推理过程 中， 往往 由于计算过程出错 ， 导致错误结果 。
一 一
二、 物 体 处 于 匀速 运 动 状 态
例２ 重为Ｇ 的物体放在水平 面上 ， 物体与水平 面 间的动摩擦 因数为 ＝
ｖ
，物体做匀速直线运
动 。求牵引力肭 最 小值和方 向角 。
解析 ： 物体 的受 力 如 图３ 所 示 。建 立 坐 标 系 ， 有： Ｆ ｃ ｏ ｓ ａ ０ ①
（ 作者单位 ： 陕 西 省 成 阳 市礼 泉 县 第二 中 学）
要使两绳都 能直 ， 则有 ： Ｉ ＞０ ⑤ ＞０ ⑥
／
由式③⑤得 最大值 ＝
＝ ４ ０
Ｊ
Ｎ
ｓ ｌ ｎｏ ＇
由 式 ④ ⑥ 得 肭最 小 衄
则Ｊ 咱勺 取值范围为 ： ４ ｏ
２ ０ 孚 Ｎ
Ｎ
Ｎ≥２ ０
点评 ： 抓住题 中“ 若要使两绳 都能伸直 ” 这个 隐 含条件 ，它是指绳子伸直但拉力恰好为零的临界状 态 。当Ａ ｃ ． 恰好伸直但未张紧时 ， 最小值 ； 当ＡＢ 恰 好伸直但未张紧时 ， 贿 最 大值 。
Ｆｓ ｉ ｎ ａ一 ０
＇ ห้องสมุดไป่ตู้
由① 、 ②消去 导：
一
＿ ＿ ＿ ＿ 。
’
ｃ ｏ ｓ ｏ ｔ ＋ ／ ｘ ｓ ｉ ｎａ
厂
ｌ
令ｔ ｇ ￣ ＝ ｇ， 则ｃ ｏ ｓ 机ｓ ｉ ｎ ｄ
＝
、 ／
．
ｒ Ｇ
．
．
图 ３
物 体 处 于 静止 状 态
、 ／ 当 ＝ 时， ｃ ｏ ｓ （ ０ 一 ） 取极大值 １ ， 最小值。
Ｆ
由平
．
要求朋勺 极小值 ，就要根据题 意求 出 直 而变 的函 数关系式 ， 再利用函数的单调性 ， 讨论瑚 极值 。 此题 中三角 函数的变换是一种常用的方法 ， 应牢记。
三、 物体 处 于动 态 平 衡 状
，
、
ｊ
、
ｍｇ
ｌ ， ＋
④
２ ｃ ｏ ｓ ０ ２ｓ ｉ ｎ ０
０
技 法 点 拨
浅谈平衡巾Ｂ ３ ￣ １ １ １ 界和赧值问题
■ 董 芳
平衡物体的临界问题是指从一种物理现象转 变 为另一种物理现象 ，或从一种物理过程转入到另 一 物理过程 的状态 。平衡物体 的临界 问题的求解方法 般是采用假设推理法 ， 即 先 假设 怎样 ， 然 后 再根 据 平衡条件及有关知识 列方程求解 。解决这类 问题关 键 是要 注意 “ 恰好 出现 ” 或“ 恰好不出现” 。 平衡物体 的极值问题 是指物体在满足一定的条 件下， 某物理量 出现极大或极小值的情 况。 求解极值 问题 的方 法从大 的角度 可分 为物理 方法 和数学 方 法 。物理方法包括 ： （ １ ） 利用临界条件求极值 ； （ ２ ） 利 用 问题 的边界条件求极值 ； （ ３ ）利用矢量 图求极值 。 数学方法包括 ： （ １ ） 用三角函数关系求极值 ； （ ２ ） 用二 次方程 的判别式求极值 ； （ ３ ） 用不等式的性质求极值。 临界问题往往是 和极值 问题联系在一起 的。解 决此类 问题重在形成 清晰的物理情景 ，分析物理过 程， 从 而找出临界条件或达到极值 的条件 ， 要 特别注 意 可 能 出现 的 多 种 情 况 。
： — 一 ：
例 １ 如 图１ 所示 ，物体的质 量 为２ ｋ ｇ ，两根轻绳Ａ Ｂ 和Ａ Ｇ 的一 端 连 接 于 竖 直 墙 上 ，另 一 端 系 于 物体上 ，在物体上另施加一个方 向与水平 线成０ ＝ ６ ０ ｏ 的拉力 Ｆ ， 若 要使两绳都能伸直 ， 求拉力Ｆ 的大
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点评 ： 此 题 给 出 了求 解 极 值 问题 的 一 种 方 法 — — 函 数 法 。此 题 中 ， 朋勺 大小 随 的变 化 而 变 化 ，
例３ 如 图４ 所示 ， 质量为 ｍ的球放在倾 角为０ 的光 滑斜 面上 ，试分析挡板Ａ０ 与斜面 间 的倾 角 ｄ 为多 大 时 ， Ａ Ｏ 所受 压力最小？ 解 析 ：以球 为研 究 对 象 ， 球所受 重力， 产 生 的效 果 有 两个 ： 对 斜 面 产 生 了压 力 ， 对挡板产生 了压 力 ， 根据 重力 产生 的效果将重力 分解 ， 如图４ 所示 ， 当挡板 与斜面 的夹角 由图示 位 置变化时 ， 大小改变 ， 但方 向不变 ， 始终 与斜 面垂 直； 的大 小 、 方 向均 改 变 （ 图４ 中 画 出 的一 系 列 虚线 表示变化的 ） 。由图可看出， 当 与 垂直即 ＝ ９ ０ ｏ 时， 挡板Ａ ０ 所受压力最小 ， 最 小 压 力 ． ＝ ｍ ｇ ｓ ｉ ｎ ０ 。 点评 ： 本 题 考 查 分 析 推 理 能 力 及 运 用 数 学 知识 处理物理问题的能力 。部分学生不进行推 理凭 主观 臆断 ，得出挡板处 于竖直状态所受压力最 小的错误 结论 。 还有部分 学生思维不灵活 ， 不采用“ 图解法 ” 而 采用“ 正交分解法” ， 陷入繁琐 的计算和推理过程 中， 往往 由于计算过程出错 ， 导致错误结果 。
一 一
二、 物 体 处 于 匀速 运 动 状 态
例２ 重为Ｇ 的物体放在水平 面上 ， 物体与水平 面 间的动摩擦 因数为 ＝
ｖ
，物体做匀速直线运
动 。求牵引力肭 最 小值和方 向角 。
解析 ： 物体 的受 力 如 图３ 所 示 。建 立 坐 标 系 ， 有： Ｆ ｃ ｏ ｓ ａ ０ ①
（ 作者单位 ： 陕 西 省 成 阳 市礼 泉 县 第二 中 学）
要使两绳都 能直 ， 则有 ： Ｉ ＞０ ⑤ ＞０ ⑥
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由式③⑤得 最大值 ＝
＝ ４ ０
Ｊ
Ｎ
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由 式 ④ ⑥ 得 肭最 小 衄
则Ｊ 咱勺 取值范围为 ： ４ ｏ
２ ０ 孚 Ｎ
Ｎ
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点评 ： 抓住题 中“ 若要使两绳 都能伸直 ” 这个 隐 含条件 ，它是指绳子伸直但拉力恰好为零的临界状 态 。当Ａ ｃ ． 恰好伸直但未张紧时 ， 最小值 ； 当ＡＢ 恰 好伸直但未张紧时 ， 贿 最 大值 。
Ｆｓ ｉ ｎ ａ一 ０
＇ ห้องสมุดไป่ตู้
由① 、 ②消去 导：
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图 ３
物 体 处 于 静止 状 态
、 ／ 当 ＝ 时， ｃ ｏ ｓ （ ０ 一 ） 取极大值 １ ， 最小值。
Ｆ
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．
要求朋勺 极小值 ，就要根据题 意求 出 直 而变 的函 数关系式 ， 再利用函数的单调性 ， 讨论瑚 极值 。 此题 中三角 函数的变换是一种常用的方法 ， 应牢记。
三、 物体 处 于动 态 平 衡 状
，
、
ｊ
、
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④
２ ｃ ｏ ｓ ０ ２ｓ ｉ ｎ ０
０
技 法 点 拨
浅谈平衡巾Ｂ ３ ￣ １ １ １ 界和赧值问题
■ 董 芳
平衡物体的临界问题是指从一种物理现象转 变 为另一种物理现象 ，或从一种物理过程转入到另 一 物理过程 的状态 。平衡物体 的临界 问题的求解方法 般是采用假设推理法 ， 即 先 假设 怎样 ， 然 后 再根 据 平衡条件及有关知识 列方程求解 。解决这类 问题关 键 是要 注意 “ 恰好 出现 ” 或“ 恰好不出现” 。 平衡物体 的极值问题 是指物体在满足一定的条 件下， 某物理量 出现极大或极小值的情 况。 求解极值 问题 的方 法从大 的角度 可分 为物理 方法 和数学 方 法 。物理方法包括 ： （ １ ） 利用临界条件求极值 ； （ ２ ） 利 用 问题 的边界条件求极值 ； （ ３ ）利用矢量 图求极值 。 数学方法包括 ： （ １ ） 用三角函数关系求极值 ； （ ２ ） 用二 次方程 的判别式求极值 ； （ ３ ） 用不等式的性质求极值。 临界问题往往是 和极值 问题联系在一起 的。解 决此类 问题重在形成 清晰的物理情景 ，分析物理过 程， 从 而找出临界条件或达到极值 的条件 ， 要 特别注 意 可 能 出现 的 多 种 情 况 。
： — 一 ：
例 １ 如 图１ 所示 ，物体的质 量 为２ ｋ ｇ ，两根轻绳Ａ Ｂ 和Ａ Ｇ 的一 端 连 接 于 竖 直 墙 上 ，另 一 端 系 于 物体上 ，在物体上另施加一个方 向与水平 线成０ ＝ ６ ０ ｏ 的拉力 Ｆ ， 若 要使两绳都能伸直 ， 求拉力Ｆ 的大