路线最短问题
小学数学 最短路线问题
最短路线【例1】如右图，直线AB表示一条公路，公路两侧有甲、乙两村。
（1）甲村要修一条通往AB的小路，最短是哪一条？在图上表示出来。
（2）如果在公路上AB上修一个加油站，使两个村子到加油站的距离之和最短，加油站该建在哪里？在图上画出路线，用N表示加油站。
【例2】A、B两村来往很多，AB两村村民想在河上建一座桥。
请问，桥建在何处，才能使两村村民来往路程最近？【例3】小华和妈妈每天在小区里散步，小区的道路如右图，图上的数据表示各街道长度的米数。
一天，妈妈给小华出了道难题：要求从家出发，要走遍各条道路，最后回到家。
什么样的路线最短？最短是多少米？【例4】如图，从A点到B点，不走回头路，不走重复路的条件下，可以有多少种不同的路线？请用在交叉点上标数的方法算一下。
【例5】如右图是一个景点的路线图，从入口甲出发游览景点的最短路线，有多少不同的走法？从入口乙出发游览景点的最短路线，有多少不同走法？【强化训练】1、一种游戏，所有队员都必须从A地出发，先到河边，再到点。
张老师在小河边做了一个记号M，请队员们直接到河边的记号处，再出发到B点，这样总路程最近。
请在小河边标出M点。
2、下图是一个街区平面图，AB=300米，BE=600米，CH=450米。
一辆电影宣传车从电影院出发，到每条街上宣传至少一次，宣传车最短路线是多少米？3、养兔专业户养殖场内安置了5个兔笼（如下图）。
在饲料房配好食物后，为了节省每次喂食的时间，他必须走一条最短的路，但又不能漏掉一个兔笼，喂完食后还要回到原出发点。
你能替他设计一条最短的路线吗？算出每喂食一次，至少要走多少路。
4、某迷宫从A点到B点有很多道路，其中C点不通。
从A点出发到B点的最短路线有多少种？5、如右图，从小明家到学校，最短的路线有多少条？。
立体图形线路最短问题(最全)
立体图形最短距离问题1.在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在C 处，恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从圆柱侧面从A 处爬向B 处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？2.在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在C 处，恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从圆柱侧面从A 处爬向C 处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？3.有一圆形油罐底面圆的周长为16m，高为7m，一只蚂蚁从距底面1m 的A 处爬行到对角B 处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？4.圆柱形玻璃杯,高为12cm,底面圆的周长为18cm,在杯子内壁离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，距离杯子上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少?C A ABBAB A CACA5.如图，在棱长为10厘米的正方体的一个顶点A 处有一只蚂蚁，现要向顶点B 处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1厘米/秒，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20秒内从A 爬到B？6.已知长方体的长为AC=2cm，宽BC=1cm，高AA′=4．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B′点，那么沿哪条路最近？最短路程是多少？7..如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是多少？8.有一个如图示的长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80cm，高AB=60cm，水深为AE=40cm，在水面上紧贴内壁G 处有一鱼饵，G 在水面线EF 上，且EG=60cm；一小虫想从鱼缸外的A 点沿壁爬进鱼缸内G 处吃鱼饵．（1）小动物应该走怎样的路线才使爬的路线最短呢？请你在图中画出它爬行的路线，并用箭头标注．（2）求小动物爬行的最短路线长？AB。
第三讲 最短路线问题
第三讲最短路线问题通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短”为原则引申出来的．人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。
在本讲所举的例中，如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内，那么所求的最短路线是线段；如果它们位于凸多面体的不同平面上，而允许走的路程限于凸多面体表面，那么所求的最短路线是折线段；如果它们位于圆柱和圆锥面上，那么所求的最短路线是曲线段；但允许上述哪种情况，它们都有一个共同点：当研究曲面仅限于可展开为平面的曲面时，例如圆柱面、圆锥面和棱柱面等，将它们展开在一个平面上，两点间的最短路线则是连结两点的直线段。
这里还想指出的是，我们常遇到的球面是不能展成一个平面的．例如，在地球（近似看成圆球）上A、B二点之间的最短路线如何求呢？我们用过A、B两点及地球球心O的平面截地球，在地球表面留下的截痕为圆周（称大圆），在这个大圆周上A、B两点之间不超过半个圆周的弧线就是所求的A、B两点间的最短路线，航海上叫短程线．关于这个问题本讲不做研究，以后中学会详讲。
在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线．像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法。
例1 如下图，侦察员骑马从A地出发，去B地取情报．在去B地之前需要先饮一次马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来。
解：要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线。
作点A关于河岸的对称点A′，即作AA′垂直于河岸，与河岸交于点C，且使AC=A′C，连接A′B交河岸于一点P，这时P点就是饮马的最好位置，连接PA，此时PA＋PB就是侦察员应选择的最短路线。
证明：设河岸上还有异于P点的另一点P′，连接P′A，P′B，P′A′。
∵P′A+P′B＝P′A′+P′B＞A′B=PA′+PB=PA+PB，而这里不等式P′A′＋P′B＞A′B成立的理由是连接两点的折线段大于直线段，所以PA+PB是最短路线。
初中最短路径问题7种类型
初中最短路径问题7种类型初中最短路径问题7种类型最短路径问题是离散数学中一个重要的研究领域，其应用广泛，包括交通路线规划、网络优化等。
对于初中学生来说，了解和掌握最短路径问题，有助于培养他们的逻辑思维和解决问题的能力。
下面将介绍初中最短路径问题的七种类型。
1. 单源最短路径问题单源最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中，从一个确定的源点出发，求到其他所有顶点的最短路径。
这个问题可以通过使用迪杰斯特拉算法或贝尔曼-福特算法来求解。
通过学习和理解这些算法，学生可以逐步掌握寻找最短路径的基本方法。
2. 多源最短路径问题多源最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中，求任意两个顶点之间的最短路径。
这个问题可以通过使用佛洛依德算法来解决。
学生可以通过了解和实践佛洛依德算法，掌握多源最短路径问题的求解方法。
3. 无权图最短路径问题无权图最短路径问题是指在一个无向无权图中，求从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
这个问题可以通过使用广度优先搜索算法来解决。
学生可以通过学习广度优先搜索算法，了解和掌握无权图最短路径问题的解决方法。
4. 具有负权边的最短路径问题具有负权边的最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中，存在负权边，求从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
这个问题可以通过使用贝尔曼-福特算法来解决。
学生可以通过了解和实践贝尔曼-福特算法，理解和应用具有负权边的最短路径问题。
5. 具有负权环的最短路径问题具有负权环的最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中，存在负权环，求从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
这个问题可以通过使用贝尔曼-福特算法的改进版来解决。
学生可以通过学习和理解贝尔曼-福特算法的改进版，解决具有负权环的最短路径问题。
6. 具有边权和顶点权的最短路径问题具有边权和顶点权的最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中，除了边权之外，还考虑了顶点的权重，求从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
这个问题可以通过使用约翰逊算法来解决。
最短路径专题 含答案
最短路径专题含答案1. 某同学的茶杯是圆柱体，如图是茶杯的立体图，左边下方有一只蚂蚁，从A处爬行到对面的中点B处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图．解：如图1，将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图示，则A，B分别位于如图所示的位置，连接AB，即是这条最短路线图．问题：某正方形盒子，如图左边下方A处有一只蚂蚁，从A处爬行到侧棱GF上的中点M点处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图．2. 如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为16cm，BC是上底面的直径．一只昆虫从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，求昆虫爬行的最短路程．3. 如图一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A爬一个顶点B，如果正方体棱是2，求最短的路线长．4. 如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm，若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，求蚂蚁爬行的最短路径长．5. 如图，有一半径为2cm，高为10cm的圆柱体，在棱AA1的P点上有一只蜘蛛，PA=3cm，在棱BB1的Q点上有一只苍蝇，QB2=2cm．蜘蛛沿圆柱爬到Q点吃苍蝇，请你算出蜘蛛爬行的最短路线长．（π取3.14；结果精确到0.01cm）6. 一只蜘蛛在一个正方体的顶点A处，一只蚊子在正方体的顶点B处，如图所示，假设蚊子不动，现在蜘蛛想尽快地捉到这只蚊子，那么它所走的最短路线是怎样的，在图上画出来，这样的最短路线有几条?7. 如图，圆柱的高为8cm，底面直径4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，它需要爬行的最短路程是多少厘米?(π≈3)8. 如图1，是一个长方体盒子，长AB=4，宽BC=2，高CG=1．（1）一只蚂蚁从盒子下底面的点A沿盒子表面爬到点G，求它所行走的最短路线的长．（2）这个长方体盒子内能容下的最长木棒的长度为多少?9. 如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45∘，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=√2，求AD的长．10. 如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠ADC=60∘，将平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点Dʹ处，折痕交CD边于点E．（1）求证：四边形BCEDʹ是菱形；（2）若点P时直线l上的一个动点，请计算PDʹ+PB的最小值．11. 已知，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE的延长线上，且GA=GE．（1）求证：AG与⊙O相切；（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求线段OE的长．12. 已知抛物线C1的函数解析式为y=ax2−2x−3a，若抛物线C1经过点(0,−3)．（参考公式：在平面直角坐标系中，若P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则P，Q两点间的距离为√(x2−x1)2+(y2−y1)2）（1）求抛物线C1的顶点坐标．（2）已知实数x>0，请证明x+1x ≥2，并说明x为何值时才会有x+1x=2．（3）若将抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设A(m,y1)，B(n,y2)是C2上的两个不同点，且满足：∠AOB=90∘，m>0，n<0．请你用含m的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式．13. 如图，已知：四边形ABCD中，E为AB的中点，连接CE，DE，CD=CE=BE，DE∥BC．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若BC=6，CE=5，求四边形ADCE的面积．14. 如图，一个正方体木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．（1）请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快达到目的地的可能路径；（2）当正方体木柜的棱长为4时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．15. 如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边中点，连接AE，以AD为直径的⊙O交AE于点F，连接CF．（1）求证：CF与⊙O相切；（2）若AD=2，F为AE的中点，求AB的长．16. 已知圆锥的底面半径为r=20cm，高ℎ=20√15cm，现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离．17. 已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系是；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立?请画出图形并给予证明．18. 已知四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，∠DAB=45∘．（1）如图①，判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如图②，E是⊙O上一点，且点E在AB的下方，若⊙O的半径为3cm，AE=5cm，求点E到AB的距离．19. 图①，图②为同一长方体房间的示意图，图③为该长方体的表面展开图．（1）已知蜘蛛在顶点Aʹ处；①苍蝇在顶点B处时，试在图①中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；②苍蝇在顶点C处时，图②中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD爬行的最近路线AʹGC和往墙面BBʹCʹC爬行的最近路线AʹHC，试通过计算判断哪条路线更近；（2）在图③中，半径为10dm的⊙M与DʹCʹ相切，圆心M到边CCʹ的距离为15dm，蜘蛛P 在线段AB上，苍蝇Q在⊙M的圆周上，线段PQ为蜘蛛爬行路线．若PQ与⊙M相切，试求PQ的长度的范围．20. 如图所示，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B与点C之间相距5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少?21. 如图，平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，∠B=60∘，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）①当AE=时，四边形CEDF是矩形；②当AE=时，四边形CEDF是菱形．22. 葛藤是一种植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一个绝招，就是它绕树盘升的路线，总是沿最短路线螺旋前进的．（1）如果树的周长为3m，绕一圈升高4m，则它爬行路程是多少?（2）如果树的周长为8m，绕一圈爬行10m，则爬行一圈升高多少m?如果爬行10圈到达树顶，则树干多高?23. 实践操作在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF（点E，F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．（1）初步思考若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）．①当点P与点A重合时，∠DEF=∘，当点E与点A重合时，∠DEF=∘；②当点E在AB上，点F在DC上时（如图②），求证：四边形DEPF为菱形，并直接写出当AP=7时菱形EPFD的边长．（2）深入探究若点P落在矩形ABCD的内部（如图③），且点E，F分别在AD，DC边上，请直接写出AP的最小值．（3）拓展延伸若点F与点C重合，点E在AD上，射线BA与射线FP交于点M（如图④）．在各种不同的折叠位置中，是否存在某一种情况，使得线段AM与线段DE的长度相等?若存在，请直接写出线段AE的长度；若不存在，请说明理由．24. 如图，已知抛物线y=−x2+bx+3与x轴相交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．（1）求点D的坐标；（2）连接CD，BC，求∠DBC的余切值；（3）设点M在线段CA的延长线上，如果△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．25. 如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1,1)，且与直线y=x−2交于B，C两点．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）求证：△ABC是直角三角形；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．26. 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45∘，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．他的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90∘得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90∘，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45∘．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足关系时，仍有EF= BE+DF；（2）如图4，在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45∘，若BD=1，EC=2，求DE的长．27. 如图，在△MNQ中，MN=11，NQ=3√5，cosN=√5．在矩形ABCD中，BC=4，CD=3，5点A与点M重合，AD与MN重合，矩形ABCD沿着MQ方向平移，且平移速度为每秒5个单位，当点A与点Q重合时停止运动．（1）MQ的长度是；（2）运动秒，BC与MN重合；（3）设矩形ABCD与△MNQ重叠部分的面积为S，运动时间为t，求出S与t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围．的抛物线经过B(2,0)、C(0,4)两点，抛物线与x轴的另一交点为28. 如图1，对称轴为直线x=12A .（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；（3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．29. 如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=2√3，将矩形沿对角线AC剪开，请解决以下问题：（1）将△ACD绕点C顺时针旋转90∘得到△AʹCDʹ，请在备用图中画出旋转后的△AʹCDʹ，连接AAʹ，并求线段AAʹ的长度；（2）在（1）的情况下，将△AʹCDʹ沿CB向左平移的长度为t(0<t<2√3)，设平移后的图形与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．30. 如图甲，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/ s．连接PQ，设运动时间为t(s)(0<t<4)，解答下列问题：（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值?S的最大值是多少?（2）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQPʹC，当四边形PQPʹC为菱形时，求t的值；（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形?31. 如图，抛物线与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且x1>x2，与y轴交于点C(0,4)，其中x1，x2是方程x2−2x−8=0的两个根．（1）求这条抛物线的解析式；（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形?若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．32. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+1与y轴相交于点A，点B与点O关于点A4对称．（1）填空：点B的坐标是；（2）过点B的直线y=kx+b（其中k<0与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB=PC，求线段PB的长（用含k的式子表示），并判断点P是否在抛物线上，说明理由；（3）在（2）的条件下，若点C关于直线BP的对称点Cʹ恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标．33. 已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C=90∘，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t(s)（0<t<2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC ?（2）设△AQP的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分?若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQPʹC，那么是否存在某一时刻，使四边形PQPʹC为菱形?若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．34. 如图，四边形ABCD，BEFG均为正方形，（1）如图1，连接AG，CE，试判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明；（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角(0∘<β<180∘)，如图2，连接AG，CE相交于点M，连接MB，当角β发生变化时，∠EMB的度数是否发生变化?若不变化，求出∠EMB 的度数；若发生变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，过点A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，请直接写出线段CM与BN的数量关系：．35. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B的坐标为(2m,m)，翻折矩形OABC，使点A与点C重合，得到折痕DE．设点B的对应点为F，折痕DE所在直线与y轴相交于点G，经过点C，F，D的抛物线为y=ax2+bx+c．（1）求点D的坐标（用含m的式子表示）；（2）若点G的坐标为(0,−3)，求该抛物线的解析式．（3）在（2）的条件下，设线段CD的中点为M，在线段CD上方的抛物线上是否存在点P，使EA ?若存在，直接写出P的坐标，若不存在，说明理由．PM=1236. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180∘，∠AFE=∠BDE．（1）如图1，当DE=DF时，图1 中是否存在与AB相等的线段?若存在，请找出并加以证明．若不存在说明理由．（2）如图2，当DE=kDF（其中0<k<1）时，若∠A=90∘，AF=m，求BD的长（用含k，m的式子表示）．37. 如图，顶点为C(−1,1)的抛物线经过点D(−5,−3)，且与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧）．（1）求抛物线的解析式；，求出点Q的坐标；（2）若抛物线上存在点Q，使得S△OAQ=32（3）点M在抛物线上，点N在x轴上，且∠MNA=∠OCD，是否存在点M，使得△AMN与△OCD相似?若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．38. 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足为E，求证：BC=2AE．小明经探究发现，过点 A 作 AF ⊥BC ，垂足为 F ，得到 ∠AFB =∠BEA ，从而可证 △ABF ≌△BAE （如图 2），使问题得到解决．（1）根据阅读材料回答：△ABF 与 △BAE 全等的条件是 （填" SSS "、 " SAS " 、" ASA" 、 " AAS “或”HL "中的一个）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：（2）如图3，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90∘，D 为 BC 的中点，E 为 DC 的中点，点 F 在AC 的延长线上，且 ∠CDF =∠EAC ，若 CF =2，求 AB 的长；（3）如图 4，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120∘，点 D ，E 分别在 AB ，AC 边上，且 AD =kDB （其中 0<k <√33），∠AED =∠BCD ，求 AE EC 的值（用含 k 的式子表示）．39. 如图，已知二次函数 y =−x 2+bx +c （b ，c 为常数）的图象经过点 A (3,1)，点 C (0,4)，顶点为点 M ，过点 A 作 AB ∥x 轴，交 y 轴于点 D ，交该二次函数图象于点 B ，连接 BC ．（1）求该二次函数的解析式及点 M 的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移 m (m >0) 个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在 △ABC 的内部（不包括 △ABC 的边界），求 m 的取值范围；（3）点 P 是直线 AC 上的动点，若点 P ，点 C ，点 M 所构成的三角形与 △BCD 相似，请直接写出所有点 P 的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．40. 在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是边BC上的动点（与端点B，C不重合），过点D作直线y=−1x+b交边OA2于点E．（1）如图（1），求点D和点E的坐标（用含b的式子表示）；（2）如图（2），若矩形OABC关于直线DE的对称图形为矩形O1A1B1C1，试探究矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化?若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由；（3）矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形，请直接写出这个菱形的面积的最小值和最大值．41. 如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，BD=24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60∘得到线段AM，连接FM．（1）求AO的长；（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AC=√3AM；（3）连接EM，若△AEM的面积为40，请直接写出△AFM的周长．（温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．）42. 如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．折叠纸片使点B落在AD上，落点为Bʹ．点Bʹ从点A开始沿AD移动，折痕所在直线l的位置也随之改变，当直线l经过点A时，点Bʹ停止移动，连接BBʹ．设直线l与AB相交于点E，与CD所在直线相交于点F，点Bʹ的移动距离为x，点F与点C的距离为y．（1）求证：∠BEF=∠ABʹB；（2）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围．43. 如图1，△ABC中，∠C=90∘，线段DE在射线BC上，且DE=AC，线段DE沿射线BC运动，开始时，点D与点B重合，点D到达点C时运动停止，过点D作DF=DB，与射线BA相交于点F，过点E作BC的垂线，与射线BA相交于点G．设BD=x，四边形DEGF与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图 2 所示（其中0<x≤m，1<x≤m，m<x≤3时，函数的解析式不同）（1）填空：BC的长是；（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．x2+bx−2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A(−1,0)．44. 如图，抛物线y=12（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M(m,0)是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．45. 定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做"友好三角形"．性质：如果两个三角形是"友好三角形"，那么这两个三角形的面积相等．理解：如图1，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．（1）应用：如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．（i）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；（ii）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．（2）探究：在△ABC中，∠A=30∘，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△AʹCD，若△AʹCD与△ABC 重合部分的面积等于△ABC面积的1，请直接写出△ABC的面积．446. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B的坐标为(60,0)，OA=AB，∠OAB=90∘，OC=50．点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O、B重合），过点P与y轴平行的直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R，设点P横坐标为t，线段QR的长度为m．已知t=40时，直线l恰好经过点C．（1）求点A和点C的坐标；（2）当0<t<30时，求m关于t的函数关系式；（3）当m=35时，请直接写出t的值；（4）直线l上有一点M，当∠PMB+∠POC=90∘，且△PMB的周长为60时，请直接写出满足条件的点M的坐标．47. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A(3,0)，与y轴的交点为B(0,3)，其顶点为C，对称轴为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度(0<m<3)得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．48. 在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，旋转角为θ(0∘<θ<90∘)，连接AC1，BD1，AC1与BD1交于点P．（1）如图1，若四边形ABCD是正方形．①求证：△AOC1≌△BOD1．②请直接写出AC1与BD1的位置关系．（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC=5，BD=7，设AC1=kBD1．判断AC1与BD1的位置关系，说明理由，并求出k的值．（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC=5，BD=10，连接DD1，设AC1= kBD1．请直接写出k的值和AC12+(kDD1)2的值．49. 如图，四边形ABCD为一个矩形纸片．AB=3，BC=2，动点P自D点出发沿DC方向运动至C点后停止．△ADP以直线AP为轴翻折，点D落到点D1的位置．设DP=x，△AD1P与原纸片重叠部分的面积为y．（1）当x为何值时，直线AD1过点C?（2）当x为何值时，直线AD1过BC的中点E?（3）求出y与x的函数表达式．50. 如图，以点P(−1,0)为圆心的圆，交x轴于B，C两点（B在C的左侧），交y轴于A，D两点（A在D的下方），AD=2√3，将△ABC绕点P旋转180∘，得到△MCB．（1）求B，C两点的坐标；（2）请在图中画出线段MB，MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ，QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化?若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．51. 定义：当点P在射线OA上时，把OPOA的值叫做点P在射线OA上的射影值；当点P不在射线OA上时，把射线OA上与点P最近点的射影值，叫做点P在射线OA上的射影值．例如：如图1，△OAB三个顶点均在格点上，BP是OA边上的高，则点P和点B在射线OA上的射影值均为OPOA =13．（1）在△OAB中，①点B在射线OA上的射影值小于1时，则△OAB是锐角三角形；②点B在射线OA上的射影值等于1时，则△OAB是直角三角形；③点B在射线OA上的射影值大于1时，则△OAB是钝角三角形；其中真命题有．A．①②B．②③C．①③D．①②③（2）已知：点C是射线OA上一点，CA=OA=1，以O为圆心，OA长为半径画圆，点B是⊙O上任意一点．①如图2，若点B在射线OA上的射影值为12，求证：直线BC是⊙O的切线．②如图3，已知D为线段BC的中点，设点D在射线OA上的射影值为x，点D在射线OB上的射影值为y，直接写出y与x之间的函数关系式．x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是−2．52. 如图，已知一条直线过点(0,4)，且与抛物线y=14（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标；（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形?若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N(0,1)，当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大?最大值是多少?53. 已知：如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P，Q分别在线段OC，CD上，且DQ=OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F（点F与点C，D不重合），AB=20，cos∠AOC=4．设OP=x，△CPF的面积为y．5（1）求证：AP=OQ；（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的自变量x的取值范围；（3）当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长．x2+bx+c与x轴分别相交于点A(−2,0)，B(4,0)，与y轴交于点C，顶54. 如图，抛物线y=−12点为点P．（1）求抛物线的解析式；（2）动点M，N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB，OC上向点B，C方向运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H．（i）当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标；（ii）是否存在这样的点F，使△PFB为直角三角形?若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．55. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=5cm，∠BAC=60∘，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒√3cm 的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．（1）若BM=BN，求t的值；（2）若△MBN与△ABC相似，求t的值；（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小?并求出最小值．56. 爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图1，图2，图3中，AM，BN是△ABC的中线，AN⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．（1）【特例探究】如图1，当tan∠PAB=1，c=4√2时，a=，b=；如图2，当∠PAB=30∘，c=2时，a=，b=；（2）【归纳证明】请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．（3）【拓展证明】如图4，平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC= 3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3√5，AB=3，求AF的长．57. 在某次海上军事学习期间，我军为确保△OBC海域内的安全，特派遣三艘军舰分别在O，B，C处监控△OBC海域，在雷达显示图上，军舰B在军舰O的正东方向80海里处，军舰C在军舰B的正北方向60海里处，三艘军舰上装载有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为r 的圆形区域．（只考虑在海平面上的探测）（1）若三艘军舰要对△OBC海域进行无盲点监控，则雷达的有效探测半径r至少为多少海里?（2）现有一艘敌舰A从东部接近△OBC海域，在某一时刻军舰B测得A位于北偏东60∘方向上，同时军舰C测得A位于南偏东30∘方向上，求此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为多少海里?（3）若敌舰A沿最短距离的路线以20√2海里/小时的速度靠近△OBC海域，我军军舰B沿北偏东15∘的方向行进拦截，问B军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A?58. 如图，在坐标系xOy中，已知D(−5,4)，B(−3,0)，过D点分别作DA，DC垂直于x轴、y轴，垂足分别为A，C两点．动点P从O点出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒．（1）当t为何值时，PC∥DB；（2）当t为何值时，PC⊥BC；（3）以点P为圆心，PO的长为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与△BCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴59. 如图，抛物线y=−12交x轴于点D，已知A(−1,0)，C(0,2)．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．60. 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AB=10，BC=6，扇形纸片DOE的顶点O与边AB的中点重合，OD交BC于点F，OE经过点C，且∠DOE=∠B．（1）证明△COF是等腰三角形，并求出CF的长；（2）将扇形纸片DOE绕点O逆时针旋转，OD，OE与边AC分别交于点M，N（如图2），当CM的长是多少时，△OMN与△BCO相似?61. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B为小正方形边的中点，C，D为格点，E为BA，CD的延长线的交点．（1）CD的长等于；（2）若点N在线段BE上，点M在线段CE上，且满足AN=NM=MC，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段MN，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）．62. 如图，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴相交于点A(−1,0)，B(4,0)，与y轴相交于点C．（1）求该函数的表达式；（2）点P为该函数在第一象限内的图象上一点，过点P作PQ⊥BC，垂足为点Q，连接PC．①求线段PQ的最大值；②若以点P，C，Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．63. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=−2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点．点C的坐标是(8,4)，连接AC，BC．（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA?（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．64. 将矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在y轴上，点C在x轴上，点B的坐标是(8,6)，点P是边AB上的一个动点，将△OAP沿OP折叠，使点A落在点Q处．（1）如图①，当点Q恰好落在OB上时，求点P的坐标．。
八下数学最短路径问题典型题
八下数学最短路径问题典型题好嘞，今天我们聊聊八下数学里的最短路径问题。
听起来有点高大上，但其实就是想在迷宫里找到最快的路。
想象一下，你在一个热闹的游乐园里，周围都是五彩斑斓的游乐设施。
你想去坐过山车，但不知道该走哪条路。
这个时候，最短路径问题就像是你的游乐园导航，让你快速找到目的地，省时又省力，真是个好帮手。
最短路径问题啊，简单来说，就是在一堆点和线中，找到从一个点到另一个点的最短路线。
比如说你在学校，老师让你去图书馆借书。
你知道从教室到图书馆的路，但你得想想，走哪个小道能更快到达。
这里面就涉及到一个数学概念，叫做“权重”。
每条路的长度就像是给每个小道打了分，越短的路，分数越低，明白吧？这就像你在买东西，看到打折的信息，总想着哪个更便宜，哪个更划算。
再说说实际应用。
咱们的生活中到处都有最短路径的问题。
想象一下，你周末想和朋友约着去吃火锅，结果发现从家里到火锅店的路上堵车，那可是让人心急如焚。
你就得琢磨琢磨，换条路走，甚至还得看看哪个路口有新开的餐厅。
这个时候，最短路径的问题就变得尤为重要。
怎么解决这个问题呢？有几种方法，其中一种叫“Dijkstra算法”。
别听名字复杂，其实就是个聪明的家伙，能帮助你一步一步找到最短路径。
你可以把它想象成一个耐心的导游，带着你从起点出发，看到每一个可以选择的方向，挑最短的走。
一路上还会给你提示，“嘿，这条路不错，快来试试！”可爱得不行。
还有一种叫“FloydWarshall算法”，听起来是不是更厉害？这家伙更全能，可以同时计算出多个点之间的最短路径。
就像你跟朋友一起出去吃饭，大家都想找离餐厅最近的路。
这个算法就像是个超级GPS，能一口气帮你们规划好所有的路线。
可以说，FloydWarshall算法简直是个“多面手”，在复杂的网络中游刃有余。
不过，最短路径问题可不是只有数学家才能玩哦，咱们生活中其实也常常在用。
比如说，当你在手机上查地图的时候，系统就会运用这些算法来帮你找到最快的路线。
最短路线问题
第三十二讲最短路线问题【知识要点】1、连结两点的所有线中，直线段是最短的；2、直线外的一个定点与直线上的各点的连线以垂线为最短．利用这两个结论可以解决许多实际生活中求最短路线的问题．3、（1）化直法（2）旋转、翻折法【典型例题】例1、如下图，侦察员骑马从A地出发，去B地取情报．在去B地之前需要先饮一次马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来．B A河岸——————————例2、如图一只壁虎要从一面墙壁α上A点，爬到邻近的另一面墙壁β上的B点捕蛾，它可以沿许多路径到达，但哪一条是最近的路线呢？例3 长方体ABCD—A′B′C′D′中，AB=4，A′A=2′，AD=1，有一只小虫从顶点D′出发，沿长方体表面爬到B点，问这只小虫怎样爬距离最短？（见图）例4 景泰蓝厂的工人师傅要给一个圆柱型的制品嵌金线，如下图，如果将金线的起点固定在A点，绕一周之后终点为B点，问沿什么线路嵌金线才能使金线的用量最少？例5 有一圆锥如图，A、B在同一母线上，B为AO的中点，试求以A为起点，以B为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线．例6 如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点去寻找食物，已知A点沿母线到桶口C点的距离是12厘米， B点沿母线到桶口 D点的距离是8厘米，而C、D两点之间的（桶口）弧长是15厘米．如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎么走？路程总长是多少？例7 A、B两个村子，中间隔了一条小河（如图），现在要在小河上架一座小木桥，使它垂直于河岸．请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使A、B两个村子之间路程最短．．【经典练习】1、古希腊亚历山大城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。
他精通数学、物理，聪慧过人。
有一天，一位远道而来的将军向他请教一个问题：从甲地出发到河边饮马，然后再去乙地马棚（如图所示），走什么样的路线最短？2、装饰用品公司的职工要给一个圆柱型的制品嵌金线，如图，如果将金线的起点固定在A 点，绕一周之后终点为B 点，问沿什么线路嵌金线才能使金线的用量最少？3．要在两条街道MN ，OP 上设立两个邮箱，K 处是邮局，邮递员从邮局出发，从两个邮筒里取出信件后再回到邮局，问邮筒设在何处，才能使邮递员所走的路程最短？甲乙河岸BAM N4、少先队一小队组织一次有趣的赛跑比赛，规则是从A 点出发（见下图），跑到墙边，用手触摸墙壁，然后跑到B 点．接着，离B 点再次跑到墙边手触摸墙壁后，跑到C 点．问选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来.【课后作业】1．从家到学校有三条路，走哪条路最近？2．有一只壁虎要从长方体的一面上A 点沿表面爬到邻近另一面上B 点吃一只蚊子，那么它该怎样前进路程最短？3．有一圆锥如下图所示，A 、B 在同一母线上，B 为AO 的中点，试求以A 为起点，以B 为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线.B ·A·B· 家学①② ③4、如图，甲乙两村之间隔一条河，现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？·乙炔·甲河～。
小学三年级奥数最短路线问题【三篇】
【导语】海阔凭你跃，天⾼任你飞。
愿你信⼼满满，尽展聪明才智;妙笔⽣花，谱下锦绣第⼏篇。
学习的敌⼈是⾃⼰的知⾜，要使⾃⼰学⼀点东西，必需从不⾃满开始。
以下是为⼤家整理的《⼩学三年级奥数最短路线问题【三篇】》供您查阅。
【第⼀篇】
练习题：
图4-18是某城市的主要公路⽰意图，今在C、D、E、F、G、H路⼝修建⽴交桥，车辆不能通⾏，那么从A到B的最近路线共有⼏条？
答案解析：
【第⼆篇】
练习题：
如图4-17所⽰是⼀个街道的平⾯图，在不⾛回头路、不⾛重复路的条件下，可以有多少种不同的⾛法？
答案解析：
【第三篇】
练习题：
图4-16为某城市的街道⽰意图，C处正在挖下⽔道，不能通车，从A到B处的最短路线共有多少条？
答案解析：。
最短路线问题大全
1、有一个牧马人带着马群从营房A点出发，到草地MN放牧。
傍晚到营房B之前先带马群到小河PQ去给马饮水，如图1所示。
想一想：牧人应该走哪一条路线，才能使整个放牧的路程（即从A→MN→PQ→B）最短？2、如图所示，一只壁虎要从一面墙壁α上A点，爬到邻近的另一面墙壁β上的B点捕飞蛾，它可以沿许多路径到达，请你为它选择一条最近的路线。
3、如图所示，有一只圆柱形的无盖铁桶。
有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点去寻找食物，已知A点沿母线到桶口C点的距离是12厘米，B点沿母线到桶口D点的距离是8厘米，而C、D两点之间的弧长是15厘米。
如果蚂蚁爬行的是最短的路线，它应该怎样爬？最短的路程是多少厘米？4．如图18所示，A、E为长方体同一条棱上的两个顶点，且AE=8厘米，底面是边长为2厘米的正方形，B、C、D到底面的距离分别为2厘米、4厘米、6厘米，连接AB、BC、CD、DE，则折线ABCDE是以A点为起点，以E为终点绕棱柱侧面一周最短和路线，请说明其中的理由。
3、在直角坐标系中有两个点D（1，-3），E（-1,-4），在y轴上确定一个点Q，使Q到D E 的距离和最短，求Q点的坐标。
4、已知一直线与X轴交于A（4,0）交y轴于B，且过点D（3，1），OA的中点为C。
①写出直线AB的函数关系式②在y轴上确定一点P，使PC+PD5.已知，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P为AC上的动点，求PB PE的最小值是多少。
6.（2009抚顺）如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，求这个最小值。
7、（2009荆门）一次函数y kx b =+的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）． （1）求该函数的解析式；（2）O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点， 求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标．ADEPB CE DCB A8.如图,C 为线段BD 上一动点,分别过点B 、D 作AB ⊥BD,ED ⊥BD,连接AC 、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x.(1)用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长；(2)请问点C 满足什么条件时,AC ＋CE 的值最小?并求出最小值。
四年级 数学最短路线问题
第四讲最短路线【例1】甲、乙两村之间隔一条河，如图．现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？分析：设甲、乙两村分别用点A、B表示．要在河上架桥，关键是要选取一个最佳建桥的位置，使得从甲村出发经过桥到乙村的路程最短．即从甲村到甲村河边的桥头的距离加上桥长（相当于河的宽度），再加上乙村到乙村河边的桥头的距离尽可能短，这是一个求最短折线的问题．直接找出这条折线很困难，能否可以把它转化为直线问题呢？由于河的宽度不变，不论桥修在哪里，桥都是必经之路，且桥长相当于河宽，是一个定值，所以可以预先把这段距离扣除，只要使两镇到河边桥头的距离最短就可以了。
所谓预先将桥长扣除，就是假设先走完桥长，即先把桥平移到甲村，先过了桥，到C点，如下图，找出C到B的最短路线，实际上求最短折线问题转化为直线问题。
解：如下图．过A点作河岸的垂线，在垂线上截取AC的长等于河宽．连BC交与乙村的河岸于F点，作EF垂直于河的另一岸于E点，则EF为架桥的位置，也就是AE+EF+FB是两村的最短路线。
【例2】如下图，A、B两个学校都在公路的同侧．想在这两校的附近的公路上建一个汽车站，要求车站到两个学校的距离之和最小，应该把车站建在哪里？分析：车站建在哪里，使得A到车站与B到车站的距离之和最小，仍然是求最短折线问题，同例1一样关键在于转化成直线问题就好办了．采用轴对称（直线对称）作法。
答案：作点B关于公路（将公路看作是一条直线）的对称点B′，如下图，即过B点作公路（直线）的垂线交直线于O，并延长BO到B′，使BO=OB′．连结AB′交直线于点E，连BE，则车站应建在E处，并且折线AEB为最短。
为什么这条折线是最短的呢？分两步说明：（1）因为B与B′关于直线对称，根据对称点的性质知，对称轴上的点到两个对称点的距离相等，有BE=B′E，所以AB′=AE+EB′=AE+EB（2）设E′是直线上不同于E的任意一点，如图13—5，连结AE′、E′B、E′B′，可得AE′+E′B=AE′+E′B′＞AB′（两点之间线段最短）上式说明，如果在E点以外的任意一点建车站，所行的路程都大于折线AEB．所以折线AEB最短。
最短路线问题
利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键．先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求．根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值．
破疑点解决距离的最值问题的关键 运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法．
(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？
(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？
分析：(1)到A，B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点．
(2)要使厂部到A村、B村的距离之和最短，可联想到“两点之 间线段最短”，作A(或B)点关于EF的对称点，连接对称点与B点，与EF的交点即为所求．
解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；
(2)连接AB′交直线l于点M.
(3)则点M即为所求的点．
点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.
2.运用轴对称解决距离最短问题
运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点 到直线上某点的距离和最小 这个核心，所有作法都相同．
【例5】如图所示，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．
分析：此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，作直线A′B(AB′)与直线l交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三 边来解决．
小学二年级数学最短路线问题
在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。
比如：邮递员送信，要穿遍所有的街道，为了少走冤枉路，需要选择一条最短的路线；旅行者希望寻求最佳旅行路线，以求能够走最近的路而达到目的地，等等。
这样的问题，就是我们所要研究学习的“最短路线问题”。
典型例题例[1] 假如直线AB 是一条公路，公路两旁有甲乙两个村子，如下图1。
现在要在公路上修建一个公共汽车站，让这两个村子的人到汽车站的路线之和最短。
问：车站应该建在什么地方？分析 如果只考虑甲村的人距离公路AB 最近，只要由甲村向公路AB 画一条垂直线，交AB 于C 点，那么C 点是甲村到公路AB 最甲乙 AB 甲乙图1图2最短路线近的点，但是乙村到C点就较远了。
反过来，由乙村向公路AB画垂线，交AB于D点，那么D点是乙村到公路AB最近的点。
但是这时甲村到公路AB的D点又远了。
因为本题要求我们在公路AB上取的建站点，能够兼顾甲村和乙村的人到这个车站来不走冤枉路（既路程之和最短），根据我们的经验：两个地点之间走直线最近，所以，只要在甲村乙村间连一条直线，这条直线与公路AB交点P，就是所求的公共汽车站的建站点了（图2）。
解用直线把甲村、乙村连起来。
因为甲村乙村在公路的两侧，所以这条连线必与公路AB有一个交点，设这个交点为P，那么在P 点建立汽车站，就能使甲村乙村的人到汽车站所走的路程之和最短。
例[2] 一个邮递员投送信件的街道如图3所示，图上数字表示各段街道的千米数。
他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局。
问：走什么样的路线最合理？全程要走多少千米？3分析选择最短的路线最合理。
那么，什么路线最短呢？一笔画路线应该是最短的。
邮递员从邮局出发，还要回到邮局，按一笔画问题，就是从偶点出发，回到偶点。
因此，要能一笔把路线画出来，必须途径的各点全是偶点。
但是图中有8个奇点，显然邮递员要走遍所有街道而又不走重复的路是不可能的。
要使邮递员从邮局出发，仍回到邮局，必须使8个奇点都变成偶点，就是要考虑应在哪些街道上重复走，也就是相当于在图上添哪些线段，能使奇点变成偶点。
小学数学典型应用题之最短路线问题
小学数学典型应用题之最短路线问题一、含义在日常生活和工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。
比如：邮递员送信，要穿遍所有的街道，为了少走冤枉路，需要选择一条最短的路线；旅行者希望寻求最佳旅行路线，以求能够走最近的路而达到目的地等等。
这样的问题，就是所要学习的“最短路线问题”。
二、解题思路和方法（1）两点之间线段最短。
（2）尽量不走回头路和重复路，这样的话才能做到省时省力。
三、例题例题（一）：一只蚂蚁在长方形格纸上的A点，它想去B点玩，但是不知走哪条路最近。
小朋友们，你能给它找到几条这样的最短路线呢?解析一：（1）从A点走到B点，不论怎样走，最短也要走长方形AHBD的一个长与一个宽。
（2）因此在水平方向上，所有线段的长度和应等于AD；在竖值方向上，所有线段的长度和应等于DB。
（3）这样我们走的这条路线才是最短路线，为了保证这一点，我们就不应该走“回头路”，只能向右和向下走。
（4）因此所有的最短路线为：A→C→D→G→B 、A→C→F→G→B、A→E→F →G→B；A→C→F→l →B、A→E→F→l→B、A→E→H→l→B。
解析二：（1）看C点∶只有从A到C的这一条路线。
同样道理：从A到D、从A到E、从A到H也都只有一条路线。
我们把数字“1"分别标在C、D、E、H 这四个点上。
（2）看F点：从A点出发到F，可以是A→C→F，也可以是A→E→F，共有两种走法。
那么我们在F点标上数字"2"（2=1+1）。
（3）看G点：从A→G有三种走法，即A→C→D→G、A→C→F→G、A→E→F →G，在G点标上数字"3"（3=1+2）。
（4）看I点：共有三种走法，即A→C→F→l、A→E→F→l、A→E→H→l，在Ⅰ点标上"3”（3=1+2）。
（5）看B点：从上向下走是G→B,从左向右走是l→B，那么从出发点A→B 有六种走法，即A→C→D→G→B、A→C→F→G→B、A→E→F→G→B、A→C→F→l →B、A→E→F→l→B、A→E→H→l→B ，在B点标上"6"( 6=3+3 ）。
最短路径问题【范本模板】
最短路径问题 姓名 类型一、一条直线外两个定点到直线上一动点距离之和最小的问题:1. 一条直线异侧两个定点到直线上一动点距离之和最小，确定动点的位置。
作法：连接两个定点，交直线于一点,交点即为所求。
例1、如图，在直线l 上求一点P ，使PA +PB 值最小．作法:连接AB ，交直线l 于点P ，点P 即为所求。
说明：∵连接A 、B 两点的线中，线段最短。
∴连接AB ，交直线l 于点P ，此时PA+PB 最小=AB2. 一条直线同侧两个定点到直线上一动点距离之和最小，确定动点的位置。
方法:利用轴对称变换将直线同侧两个定点转化为直线异侧两个定点，然后根据“两点之间线段最短”，用例1的方法确定动点的位置。
例2、 如图,在直线l 上求一点P ，使PA +PB 值最小． 作法：①作点A 关于直线l 的对称点A ’；②连接A ’B,交直线l 于点P,点P 即为所求。
说明：连接AP 、AA ’，∵点A 和点A ’关于直线l 对称， ∴直线l 是AA ’的垂直平分线，∴PA=PA ’，∵两点之间，线段最短。
∴此时PA+PB 最小=PA ’+PB=AB 。
类型二、一条直线外两个定点到直线上一动点距离之差最大的问题： 1.一条直线同侧两个定点到直线上一动点距离之差最大，确定动点的位置。
例3、在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作法：连接AB,并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求.证明：在直线l 上另取一点P ’，连接P'A 和P ’B ， ∵三角形的两边之差大于第三边， ∴AB B P A P ＜''-； 而连接AB ，并延长交直线l 于点P,此时AB PB PA =-,AB PB PA =-∴最大此时 2.一条直线异侧两个定点到直线上一动点距离之差最大，确定动点的位置。
方法：利用轴对称变换将直线异侧两个定点转化为直线同侧两个定点，然后根据“三角形的两边之差大于第三边”，用例3的方法确定动点的位置。
最短路径问题
最短路径问题最短路径问题是图论中一个重要的研究领域，即求解两个节点之间的最短路径。
在实际生活中，最短路径问题有着广泛的应用，例如导航系统、交通规划以及网络通信等领域。
本文将介绍最短路径问题的定义、常见算法以及应用实例。
一、定义最短路径问题可以用来求解从一个节点到另一个节点的最短路径。
在图论中，最短路径通常指的是路径上的边的权重之和最小。
图可以由节点和边组成，边可以有权重，表示两个节点之间的距离或成本。
最短路径问题的目标是找到两个节点之间的路径，使得路径上的边的权重之和最小。
二、算法1. Dijkstra算法Dijkstra算法是解决最短路径问题的经典算法之一。
该算法采用贪心策略，逐步确定起点到其他节点的最短路径。
具体步骤如下：（1）初始化距离数组，起点到起点的距离为0，所有其他节点的距离为无穷大。
（2）选择一个未被访问过的节点，标记为当前节点。
（3）对于当前节点的所有邻居节点，更新其距离为当前节点距离加上边的权重，并更新最短路径。
（4）继续选择未被访问过的节点中最短路径最小的节点，标记为当前节点，重复步骤（3）。
（5）重复步骤（3）和（4），直到所有节点都被访问过。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为节点的数量。
2. Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是另一种解决最短路径问题的算法。
与Dijkstra 算法不同，Bellman-Ford算法可以处理带有负权边的图。
该算法通过迭代更新距离数组，逐步确定最短路径。
具体步骤如下：（1）初始化距离数组，起点到起点的距离为0，其他节点的距离为无穷大。
（2）对于图中的每条边，重复以下步骤：a. 从边的起点到终点的距离是否可以通过起点到起点的距离加上边的权重来达到更小值。
b. 如果是，则更新终点的距离为该更小值。
（3）重复步骤（2）|V|-1次，其中V为节点的数量。
Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V为节点的数量，E为边的数量。
最短路径问题练习题
最短路径问题练习题最短路径问题是图论中的一个经典问题，主要研究在加权图中找到两个顶点之间的最短路径。
这个问题在实际生活中有广泛的应用，比如导航系统中的路线规划、网络中的数据传输等。
以下是一些关于最短路径问题的练习题，供同学们练习和思考。
练习题1：Dijkstra算法的应用给定一个包含6个顶点的图，顶点编号为1到6，边的权重如下所示：- 1-2: 7- 1-3: 9- 2-3: 14- 2-4: 10- 3-4: 15- 3-5: 6- 4-5: 11- 5-6: 2- 3-6: 20请使用Dijkstra算法找出从顶点1到顶点6的最短路径。
练习题2：Bellman-Ford算法的应用考虑一个包含5个顶点的图，顶点编号为A、B、C、D、E，边的权重如下所示：- A-B: 5- A-C: 3- B-C: 1- B-D: 2- C-E: 8使用Bellman-Ford算法计算从顶点A到顶点E的最短路径。
练习题3：Floyd-Warshall算法的应用给定一个包含4个顶点的图，顶点编号为1、2、3、4，边的权重如下所示：- 1-2: 4- 1-3: 5- 2-3: 3- 2-4: 7- 3-4: 2使用Floyd-Warshall算法计算所有顶点对之间的最短路径。
练习题4：有向图中的最短路径问题在一个有向图中，有5个顶点，编号为1到5，边的权重如下所示：- 1->2: 2- 1->3: 3- 2->3: 1- 2->4: 4- 3->4: 5- 3->5: 2- 4->5: 1找出从顶点1到顶点5的最短路径。
练习题5：负权重边的最短路径问题考虑一个包含4个顶点的图，顶点编号为1、2、3、4，边的权重如下所示：- 1-2: 10- 2-3: -3- 3-4: 1在这种情况下，使用Bellman-Ford算法找出从顶点1到顶点4的最短路径，并讨论负权重边对最短路径算法的影响。
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P是锐角AOB内部任意一点，在∠AOB的两边OA，OB上各取 一点Q，R，组成三角形，使三角形PQR周长最小。(如图所示)
C· A
Q
O
P·
R
D·
B
直接利用两点之间线段最短求最短路线
• 1、如图C为线段BD上一动点分别过点B、D作 AB⊥BD，ED⊥BD连接AC、EC已知AB=5， DE=1，BD=8，设CD为x，
____________㎝（结果不取近似值A ）.
D
2、(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD
中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2， BC=DC=5，点P在BC上移动，则当
P·
PA+PD取最小值时，△APD中边AP上
的高为（
）
B
Q· C
A、
B、
C、
D、3
（动点，作A关于BC的对称点A‘，连A’D交 BC于P，涉及勾股定理及相似）
• （1）试用x的代数式表示AC+CE的长 • （2）请问点C满足什么条件时，AC+CE值最小？ • （3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数
式 x2 4 （12 - x)2 9的最小值 A
D B
C E
造桥选址问题：
• A、B两点位于一条河的两岸，假定河的两 岸笔直且平行如图，先要在河上垂直于河 岸修建一座桥，问桥建在何处，才能使由A 点经过这座桥到B点的路程最短？
；
解：作点B关于AC的对称点 B′，过B′作B′N⊥AB于N， 交AC于M．此时BM+MN的 值最小．BM+MN=B′N．
立体图形上最短路线问题
•方法：曲面变平面。
11．如图3,长方体的长为15，宽为10，高为2 0，点B离点C的距 离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要 爬行的最短距离是:
• 解题总思路----找点关于线的对称点实现 “折”转“直”，近两年出现“三折线” 转“直”等变式问题考查。
类型一：饮马问题原型
A·
B·
A'·
类型一：动点在一条直线上
• 1、（2009年达州）在边长为2㎝的正方形ABCD
中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动
点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为
考查知识点----“两点之间线段最短”，“垂线段最短”， “点关于线对称”，“线段的平移”。 原型----“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是 “饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、 正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路----找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近 两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
A.
B.25 C.10
D.35
方法：曲面变平面。
练习：如图，已知：圆锥的底面半径为 ，母线 SA长为2，M为SA的中点，有一根绳子从A点出发， 沿圆锥的侧面绕一周到达M点，问绳子最短是多少？
• 在△ABC内求一点P，使 PA+PB+PC之值 为最小，人们称这个点为“费马点”．
• 1． 当三角形有一个内角大于或等于120° 的时候，则费马点就是这个内角的顶点．
• 我想试试
•
罗赛蒂
• 那个说“我想试试”的小孩
• 他将登上山巅，
• 那个说“我不成”的小孩，
• 在山下停步不前。
• “我想试试”每天办成很多事，
• “我不成”就真一事无成。
• 因此你务必说“我想试试”，
• 将“我不成”弃于埃尘。
不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总化归到 “两点之间线段最短”，而转化的方法大都是借助于 “轴对称点”。或把线段之和化归到“垂线段最短”。
A
·
·B
饮马问题2：
• 如图，某人从A地到河边L饮马，然后沿着
笔直的河边走固定的距离a，最后回到营地
B，此人怎样选择饮马地点，才能使所走的
路程最短？
a
B·
A·
P
A·
类型二：
• 在△ABC中，AB=AC=5，BC=6 若点P在 边AC上移动，则BP的最小值是（ ）
从直线外一点向这条 直线所引的所有线段 中，垂线段最短
例3：已知：抛物线 y ax2 bx c的对称轴为x=-1,与 x轴
交于 A、B两点，与y 轴交于C点 其中 （1）求这条抛物线的函数表达式． （2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC 的周长最 小．请求出点P的坐标． （3）若点D 是线段 上的一个动点（不与点O、点C重 合）．过点D作 DE∥PC交 x轴于点E 连接PD 、 PE．设CD 的长为 m， △PDE的面积为 S． 求 S与 m之间的函数关系式．试 说明S 是否存在最大值，若存在， 请求出最大值；若不存在，请说
• (1)求D点的坐标； •
（2）作C点关于直线DE的对称点F，分别连结DF，EF，若过 B点的直线y=kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四 边形，试确定此直线的解析式；
• (3)设G为y轴上一点，点P从直线y=kx+b与y轴的交点出发， 先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的 速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置， 使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短．(要求：简述 确定G点位置的方法，但不要求证明)
A
P P
B
C
11、(09陕西) 如图，在锐角△ABC中，AB＝4
，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是 AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____
（2）几何拓展：如图2, △ABC中，AB=2，
∠BAC=30,若在AC、AB上各取一点M、N使
BM+MN的值最小， 这个最小值为
路线最 短问题
两点之间 线段最短
垂线段最短
利用费马 点求最短
定
利用对称性
作垂线段
义
折变直
最短路线问题
• 考查知识点----“两点之间线段最短”， “垂线段最短”，“点关于线对称”， “线段的平移”。
• 原型----“饮马问题”，“造桥选址问题”。 考的较多的还是“饮马问题”，出题背景 变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、 梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
2． 如果三个内角都在120°以内，那么， 费马点就是三角形内与三角形三顶点的连 线两两夹角为120°的点．
正三角形的费马点刚好是正三角形的中心
• 例2 (2009北京) 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC 三个点的坐标分别为A(-6，0)，B(6，0)， C(0，4)，延长 AC到点D，使CD=AC，过点D作DE∥AB，交BC的延长线 于点E．
明理由．
·P
学得怎样？演练一下：
• 一次函数
的图象与x、y轴分别交于点A
（2，0），B（0，4）．
（1）求该函数的解析式；
（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、 D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并 求取得最小值时P点坐标．
再试试144页：第4题（面对面）
C'
类型二：动点在两条直线上