粘弹性饱水岩层中地震波的传播

第20卷　第3期地　震　学　报Vol.20,No.3 1998年5月　(250～254)ACTA SEISM OLOGICA SINICA M ay,1998　
粘弹性饱水岩层中地震波的传播
蔡袁强　徐长节　吴世明
(中国杭州310027浙江大学土木工程系)
摘要　从工程实践出发,采用粘弹性两相介质模型,详细研究了地震波在饱水岩层中的传播
问题.由于此模型不但考虑了岩层骨架的粘性,而且考虑了地下水对地震波传播的影响,从
而可以全面地了解地震波在岩层中的传播特性.该模型比以往研究地震波的模型更具合理
性.文中的数值算例对频率、含水量及粘性常数对地震波的波速和衰减的影响进行了细致的
分析,并得出了一些重要的结论.
主题词 粘弹性　地震波　岩层　饱水
引言
以往研究地震波,尤其是研究历时很短的地震波在岩层中的传播时,常将岩层视为弹性材料,而忽视材料变形的粘性特性,这无疑无法研究地震波的衰减特性;另外,对地震波的研究,通常都将岩层简单地看作单相介质.实际上,由于地下水的存在,岩层通常是饱水的两相介质.Biot(1956a,b)研究表明:两相介质中存在两种压缩波和一种剪切波,3种波的波速都与频率有关,即都属于频散波,而且同样存在衰减的现象,这些特性与单相介质中波的传播特性有着本质的区别.故而水对地震波的影响,同样不可忽视.
对饱水介质中波的传播,基于Bio t波动方程,Stoll(1974)研究了声波在饱和海底沉积物中的传播,Allard等(1986)研究了波在成层饱水两相介质中的传播,Dunn(1986)则研究了低频声波在饱水多孔柱中的衰减问题.由于在研究中都采用了固体骨架为弹性材料的假设,从而他们的研究同样不能很好地解决地震波在岩层中传播这一问题.
本文视岩层为饱水固液两相介质,并假设其固体骨架为粘弹性Kelvin-Vo ig t材料,对地震波在岩层中传播特性开展了细致的研究,以期这一更为切合实际的研究能更深入地了解地震波在岩层中的传播特性.
1　公式推导
两相介质的波动方程有多种表述方式,在本文中,采用Bio t(1962a,b)所采用的表示方法,该表示式中所有参数都具有明确的物理和力学意义.
假设骨架为线性Kelvin-Vo ig t材料(Eringen,1980),则固体骨架总应力-应变关系为
ij= e ii!ij+2∀e ij+ v ii!ij+2∀v ij-!ij#p f(1) 1997-04-15收到初稿,1998-01-05收到修改稿,1998-01-10决定采用.
式中, ij 表示固体相应力, ij 表示固体相应变,p f 表示流体压力,!ij 为Kro necker 符号.
渗流连续方程为-p f =M w i ,i +#Mu i ,i (2)式中,u 为固体骨架位移,w =n (U -u )为流体部分相对于固体骨架位移.
固体相运动方程为
ij ,j =∃u i +∃f w i (3)
流体运动方程为
-p f ,i =∃f u i +mw i +%k w i (4)以上各式中,∃,∃f 分别为岩层及流体的密度; e ,∀e 为弹性Lame 常数; v ,∀v 为粘性参数;#,M 为与岩层介质结构有关的弹性常数;m 为与介质密度及结构相关的参数,可取为m =∃f /n (Zienkiew icz et al .,1980).其中,n 为孔隙率,%为流体粘滞系数,k 为流体渗透系数.上标“ ”表示对时间的导数.
经代数运算后,可得耦合波动方程为
∀e 2u +( c +∀e )g rad e +∀v
&&t 2u +( v +∀v )&&t grad e -#M grad ∋=&2&t 2(∃u +∃f w )(5a)
#M grad e -M g rad ∋=&22(∃f u +mw )+%k &w &t (5b)
上式中, c = e +#2M ,e =div u 为固体体变,∋=-div w 为流体相对于固体的体变.引入标
量势(s 、(f 和矢量势)s 、)f .其中,下标s ,f 分别表示固体骨架部分和流体部分.将波场作如下分解:u =grad (
s +curl )s w =g rad (f +curl )f
(6)设波动方程平面波解为(s =A s ex p[i (∗t -l P r )]
(f =A f ex p[i (∗t -l P r )](7)
)s =B s exp[i (∗t -l S r )])f =B f exp[i (∗t -l S r )]
(8)l P 、l S 分别是纵波与横波的波矢量,经推导可得到饱和土中P 波和S 波的频散方程
A l P ∗4+
B l P ∗
2+C =0(9)D l S ∗
+C =0(10)
式中
A =[( c +2∀e )+i ∗( v +2∀v )]M
B =(2#∃f -∃)M -[( c +2∀e )+2513期 蔡袁强等:粘弹性饱水岩层中地震波的传播
C =∃m -i %k ∗
-∃2f D =-(∀e +i ∗∀v )m -i %
k ∗
由式(9)可看出,由于流体的存在,饱水岩层中有两种压缩P 波.根据波速的大小,称之为P 1和P 2波,设其波矢量为l 1、l 2,则其速度分别为
v j =1Re l j ∗ (j =1,2)(11)其衰减系数为
!j =∗Im
l j ∗
(j =1,2)(12)由式(10)可知,只存在一种剪切波,设其波矢量为l S ,则其波速为v S =1Re l S ∗(13)
其衰减系数为
!S =∗Im l S
∗(14)以上各式中,“Re ( )”及“Im (
)”分别表示变量的实部及虚部.2　数值分析
本节利用数值方法探讨了粘弹性饱水岩层中3种体波的传播速度和衰减与频率、含水量以及粘性参数之间的关系.取计算参数如表1所示.
表1　饱水岩层计算参数
e /109Pa ∀e /109Pa
#M /109Pa ∃/k g m -3∃f /kg m -3%/10-3Pa s k /10-10m s -12.5
1.70.6
2.026001000 1.0 1.0 频率、孔隙率和粘性常数变化范围为:
频率∗为100～2000Hz ,孔隙率n 为0.05～0.95,粘性常数 v 为0～3.0×107Pa s ,粘性
常数∀v 为0～2.0×107Pa s .
2.1　波速、衰减与频率的关系
取孔隙率为0.3,粘性常数 v = 1.5×105Pa s,∀v =1.0×105
Pa s.考虑频率变化范围为100～2000Hz,3种波的频散曲线(波速-频率曲线)如图1所示,3种波的衰减曲线如图2所示.
由图1可看出,在本文的计算参数下,3种波中P 2波的波速随频率的升高而增大,频散性较另外两种波更为明显.由图2可看出,3种波均存在衰减现象,且随频率的升高,衰减系数加大;3种波中,P 2波的衰减系数最大.在频率100Hz 附近,P 1波的波速远大于P 2波的波速,而其衰减则小于P 2波的衰减,几乎为零.由此可见,在波动勘测中,若采用频率相对较低的入射波,所能测试到的P 波主要是P 1波,P 2波对测试的影响可以忽略不计.252
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图1　3种波的频散曲线图2　3种波的衰减曲线
2.2　波速、衰减与含水量(孔隙率)的关系
图3是P 1、P 2及S 波的波速随孔隙率的变化曲线,频率取为200Hz ,孔隙率变化范围为0.05～0.95,其余计算参数同图1和图2.由图中可看出:P 1波及S 波的波速受含水量的变化不大,尤其是P 1波,其波速基本不受孔隙率变化影响.P 2波的波速受孔隙率变化影响较大,且随含水量的提高有增大的趋势;但当孔隙率增大到一定程度时,其波速逐渐稳定. 图4是3种波的衰减系数与孔隙率的关系曲线,频率取为1000Hz ,其余计算参数同图
3.由图中可看出:P 2波衰减系数受孔隙率变化最大,S 波次之,且衰减系数随含水量的提高而增大;而P 1波的衰减系数相对其它两种波要小,且受含水量变化的影响不大.
综上所述,P 1波及S 波对含水量的变化不敏感.在波动测试中,当场地含水较多,采用这两种波作为测试对象,将可以减小地下水对测试的影响,从而得到较为理想的测试结果
.
图3　3种波波速与含水量的关系图4　3种波衰减系数与含水量的关系
2.3　波速与粘性常数的关系
限于篇幅,此小节只计算了波速与粘性常数之间的关系,孔隙率取0.3,频率取100Hz,取粘性常数 v =0～3.0×107Pa s,∀v =0～2.0×107
Pa s.
由图5和6可知:随粘性常数 v 和∀v 的增大,P 1波的波速增大;S 波的波速随粘性常数
∀v 增大而增大,而几乎不受粘性常数 v 影响;P 2波的波速几乎不受粘性常数 v 和∀v 的影响.由这些变化关系,可以从波速测试结果来定性地反分析 v 和∀v 的大小.如两种岩石的弹性参数相同,S 波的波速也相同,而其中一种岩石中P 1波的波速大于另一种岩石中的P 1
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波波速,则其粘性常数 v 较另一种岩石大
.
图5　波速与粘性常数 v 关系图6　波速与粘性常数∀v 关系
3　结语
本文基于工程实际考虑,采用了粘弹性两相介质模型来研究地震波在饱水岩层中的传播问题.结果表明:岩层中一般存在3种体波,包括两种P 波和一种S 波.3种波都存在一定程度的频散性和衰减性,其波速及衰减都受频率、含水量和粘性常数的影响.其中P 2波的波速及衰减受含水量的变化影响最大,而基本上不受粘性常数变化影响;相反,P 1波及S 波的波速及衰减受粘性常数变化影响较大,而基本上不受含水量变化影响.通过对计算结果的分析,建议在波动勘测中,采用频率较低的入射波,这样可以减小P 2波对测试的影响;同时在含水较多的场地,测试时应采用对地下水含水量变化不敏感的S 波及P 1波作为测试对象,以提高测试精度.另外,由本文中得出的一些波速与粘性常数之间的变化关系,可以定性地比较分析岩石的粘性常数的大小,以了解岩石骨架变形的粘性性状.
参　考　文　献
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