2018一轮北师大版(理)数学训练：第5章 第1节 课时分层训练28 数列的概念与简单表示法

课时分层训练(二十八) 数列的概念与简单
表示法
A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)n
a n －1(n ≥2)，则a 5＝( )
A.32 B ．53 C.85
D ．23
D [a 2＝1＋(－1)2a 1
＝2，a 3＝1＋(－1)3a 2
＝1＋－12＝12，a 4＝1＋1
a 3
＝3，a 5＝1＋
(－1)a 4＝23.]
2．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A ．1，12，13，1
4，… B ．－1，－2，－3，－4，… C ．－1，－12，－14，－1
8，… D ．1，2，3，…，n
C [根据定义，属于无穷数列的是选项A ，B ，C ，属于递增数列的是选项C ，
D ，故同时满足要求的是选项C.]
3．(2017·海淀期末)数列{a n }的首项a 1＝2，且(n ＋1)a n ＝na n ＋1，则a 3的值为( )
【导学号：57962234】
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
B [由(n ＋1)a n ＝na n ＋1
得a n ＋1n ＋1＝a n n ，所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n n 为常数列，则a n n ＝a 1
1＝2，
即a n ＝2n ，所以a 3＝2×3＝6.]
4．(2016·广东3月测试)设S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝3
2(a n －1)(n ∈N *)，则a n ＝( )
【导学号：57962235】
A ．3(3n －2n )
B ．3n ＋2
C ．3n
D ．3·2n －1
C [当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32(a n －1)－3
2(a n －1－1)，整理，得a n ＝3a n －1，由a 1＝32(a 1－1)，得a 1＝3，∴a n
a n －1＝3，∴数列{a n }是以3为首项，3为公比的等
比数列，
∴a n ＝3n ，故选C.]
5．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝a n ＋1－1
a n ＋1＋1
，其前n 项积为T n ，则T 2 017＝( )
【导学号：57962236】
A.12 B ．－12 C ．2
D ．－2
C [由a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，得a n ＋1＝1＋a n
1－a n ，而a 1＝2，
则有a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝1
3，a 5＝2，
故数列{a n }是以4为周期的周期数列，且a 1a 2a 3a 4＝1， 所以T 2 017＝(a 1a 2a 3a 4)504a 1＝1504×2＝2.] 二、填空题
6．(2016·辽宁大连双基检测)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ，则a 3＋a 4＝__________.
12 [当n ≥2时，a n ＝2n －2n －1＝2n －1，所以a 3＋a 4＝22＋23＝12.] 7．在数列－1,0，19，1
8，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第______项． 10 [令n －2
n 2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，
则(2n －5)(n －10)＝0，解得n ＝10或n ＝5
2(舍去)． ∴a 10＝0.08.]
8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －an ＋1＝na n a n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝__________.
【导学号：57962237】
2n 2－n ＋2 [由已知得，1a n ＋1－1a n ＝n ，所以1a n －1
a n －1
＝n －1，
1
a n －1－1
a n －2＝n －2，…，1a 2－1a 1＝1，所以1a n －1a 1＝n (n －1)2，a 1＝1，所以1
a n ＝n 2－n ＋2
2
， 所以a n ＝2
n 2－n ＋2.]
三、解答题
9．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ [解] (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6. 3分
(2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150， 解得n ＝16或n ＝－9(舍去)， 即150是这个数列的第16项.
8分 (3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍去)． 所以从第7项起各项都是正数.
12分 10．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋2
3a n . (1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．
[解] (1)由S 2＝4
3a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2， 解得a 2＝3a 1＝3.
2分 由S 3＝5
3a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，
解得a 3＝3
2(a 1＋a 2)＝6. 5分
(2)由题设知a 1＝1.
当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1
n －1a n －1. 7
分
于是a 1＝1， a 2＝3
1a 1， a 3＝4
2a 2， ……
a n －1＝n
n －2a n －2，
a n ＝n ＋1n －1a n －1
.
10分
将以上n 个等式两端分别相乘， 整理得a n ＝n (n ＋1)
2.
显然，当n ＝1时也满足上式． 综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n (n ＋1)
2.
12分 B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．(2017·郑州二次质量预测)设数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，则a 20的值是( )
【导学号：57962238】
A.215
B.225
C.235
D ．245
D [由2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1得na n －(n －1)a n －1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，又因为1×a 1＝1,2×a 2－1×a 1＝5，所以数列{na n }是首项为1，公差为5的等差
数列，则20a 20＝1＋19×5，解得a 20＝24
5，故选D.]
2．(2016·甘肃白银会宁一中月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n
＋1
＝3S n ，则a n ＝__________.
⎩⎨⎧
1，n ＝1，3×4n －2
，n ≥2
[由a n ＋1＝3S n ，得a n ＝3S n －1(n ≥2)， 两式相减可得a n ＋1－a n ＝3S n －3S n －1＝3a n (n ≥2)， ∴a n ＋1＝4a n (n ≥2)． ∵a 1＝1，a 2＝3S 1＝3≠4a 1，
∴数列{a n }是从第二项开始的等比数列， ∴a n ＝a 2q n －2＝3×4n －2(n ≥2)． 故a n ＝⎩
⎨⎧
1，n ＝1，
3×4n －2
，n ≥2.] 3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.
(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求
出最小值；
(2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围． [解] (1)由n 2－5n ＋4<0， 解得1<n <4.
因为n ∈N *，所以n ＝2,3，
所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3. 2分
因为a n ＝n 2
－5n ＋4＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫n －522－94
， 由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.
5分
(2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，7分
又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<3
2，即得k >－3.
所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞). 12分。