高考数学一轮复习 第二章 第四节 二次函数与幂函数演

第四节 二次函数与幂函数
[全盘巩固]
1．二次函数y ＝－x 2
＋4x ＋t 图象的顶点在x 轴上，则t 的值是( )
A ．－4
B ．4
C ．－2
D ．2
解析：选A 二次函数图象的顶点在x 轴上，所以Δ＝42－4×(－1)×t ＝0，解得t ＝－4.
2．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是 ( )
A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12
，④y ＝x －1 B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12
，④y ＝x －1 C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12
，④y ＝x －1
D ．①y ＝x 13，②y ＝x 12
，③y ＝x 2，④y ＝x －1 解析：选B 函数y ＝x 2
的定义域、值域分别为R 和[0，＋∞)，且其图象关于y 轴对称，
故该函数应与图象②对应；函数y ＝x 12
＝x 的定义域、值域都是[0，＋∞)，故该函数应与图象③对应；函数y ＝x －1＝1x ，该函数应与图象④对应，故排除选项C ，D.对于函数y ＝x 13
，随着x 的增大，函数图象向x 轴弯曲；而对于函数y ＝x 3，随着x 的增大，函数图象向y 轴弯曲，故图象①应与函数y ＝x 3对应．
3．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象是( )
A B C D
解析：选D ∵a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0，
∴a ＞0，c ＜0，
∴y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，且与y 轴的交点(0，c )在负半轴上．
4．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴的交点为(1,0)和(3,0)，则函数f (x )( )
A ．在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增
B ．在(－∞，3)上单调递增
C ．在[1,3]上单调递增
D ．单调性不能确定
解析：选A 由已知可得该函数的图象的对称轴为x ＝2，又二次项系数为1＞0，所以f (x )在(－∞，2]上是单调递减的，在[2，＋∞)上是单调递增的．
5．方程x 2
＋ax －2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－235，＋∞ B ．(1，＋∞)
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－235 解析：选C 令f (x )＝x 2＋ax －2，
由题意，知f (x )图象与x 轴在[1,5]上有交点，
则⎩⎪⎨⎪
⎧ f 1≤0，f 5≥0.解得－235
≤a ≤1. 6．(2014·衢州模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(0＜a ＜3)，若x 1＜x 2，x 1＋x 2＝1－a ，
则( )
A ．f (x 1)＝f (x 2)
B ．f (x 1)＜f (x 2)
C ．f (x 1)＞f (x 2)
D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定
解析：选B 函数的对称轴为x ＝－1，
设x 0＝x 1＋x 2
2，
由0＜a ＜3，得到－1＜1－a 2＜12
， 又x 1＜x 2，
用单调性和离对称轴的远近作判断，故选B.
7．若y ＝xa 2
－4a －9是偶函数，且在(0，＋∞)内是减函数，则整数a 的值是________． 解析：∵函数在(0，＋∞)内是减函数，
∴a 2－4a －9＜0.
∴2－13＜a ＜2＋13，
又函数是偶函数，
∴a 2－4a －9是偶数，
∴整数a 的值可以是－1,1,3或5.
答案：－1,1,3或5
8．二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为________． 解析：依题意可设f (x )＝a (x －2)2－1，
又其图象过点(0,1)，∴4a －1＝1，∴a ＝12
. ∴f (x )＝12
(x －2)2－1. 答案：f (x )＝12
(x －2)2－1 9．(2014·海口模拟)二次函数f (x )的二次项系数为正，且对任意x 恒有f (2＋x )＝f (2
－x )，若f (1－2x 2)＜f (1＋2x －x 2
)，则x 的取值范围是________．
解析：由f (2＋x )＝f (2－x )，知x ＝2为对称轴，由于二次项系数为正的二次函数中距对称轴较近的点的纵坐标较小，∴|1－2x 2－2|＜|1＋2x －x 2－2|，即|2x 2＋1|＜|x 2－2x ＋1|，∴2x 2＋1＜x 2－2x ＋1，∴－2＜x ＜0.
答案：(－2,0)
10．设f (x )是定义在R 上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x ＜1时，y ＝f (x )的表达式是幂函数，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18.求函数在[2k －1,2k ＋1)(k ∈Z )上的表达式． 解：设在[－1,1)上，f (x )＝x n ，由点⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，18在函数图象上，求得n ＝3. 令x ∈[2k －1,2k ＋1)，则x －2k ∈[－1,1)，
∴f (x －2k )＝(x －2k )3
.又f (x )周期为2，
∴f (x )＝f (x －2k )＝(x －2k )3.
即f (x )＝(x －2k )3(k ∈Z )．
11．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.
(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；
(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．
解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，
对称轴x ＝－32∈[－2,3]，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15， ∴函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－214，15. (2)函数f (x )的对称轴为x ＝－2a －12
. ①当－2a －12≤1，即a ≥－12
时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3， ∴6a ＋3＝1，即a ＝－13
满足题意； ②当－2a －12＞1，即a ＜－12
时， f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．
综上可知a ＝－13
或－1. 12．(2014·湖州模拟)已知函数f (x )＝x 2
－2ax ＋5(a ＞1)．
(1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；
(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．
解：(1)∵f (x )＝(x －a )2＋5－a 2(a ＞1)，
∴f (x )在[1，a ]上是减函数．
又定义域和值域均为[1，a ]．
∴⎩⎪⎨⎪⎧ f 1＝a ，f a ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2. (2)∵f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，
∴a ≥2.
又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1，
∴f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2.
∵对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，
∴f (x )max －f (x )min ≤4，得－1≤a ≤3.
又a ≥2，∴2≤a ≤3.
故实数a 的取值范围是[2,3]．
[冲击名校]
1．对于任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，那么x 的取值范围是( )
A ．(1,3)
B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)
C ．(1,2)
D ．(3，＋∞)
解析：选B f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，
令g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，
由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ g 1＞0，g －1＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3x ＋2＞0，x 2－5x ＋6＞0.
解得x ＞3或x ＜1，故选B.
2．已知函数f (x )＝ax 2
－(3－a )x ＋1，g (x )＝x ，若对于任意实数x ，f (x )与g (x )至少有一个为正数，则实数a 的取值范围是( )
A ．[0,3)
B ．[3,9)
C ．[1,9)
D ．[0,9)
解析：选D 据题意只需转化为当x ≤0时，ax 2－(3－a )·x ＋1>0恒成立即可．结合f (x )
＝ax 2－(3－a )x ＋1的图象，当a ＝0时验证知符合条件；当a ≠0时必有a >0，当x ＝3－a 2a
≥0时，函数在(－∞，0)上单调递减，故要使原不等式恒成立，只需f (0)>0即可，解得0＜a ≤3；
当x ＝3－a 2a <0时，只需f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3－a 2a >0即可，解得3<a <9.综上所述可得a 的取值范围是0≤a ＜9.
[高频滚动]
1．若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是( )
A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数
C．f(x)＋1为奇函数 D．f(x)＋1为偶函数
解析：选C 法一：根据题意，令x1＝x2＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)＋1，所以f(0)＝－1.令x1＝x，x2＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＋1，所以f(x)＋1＋f(－x)＋1＝0，即f(x)＋1＝－[f(－x)＋1]，故f(x)＋1为奇函数．
法二：(特殊函数法)由条件f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1可取f(x)＝x－1，而f(x)＋1＝x是奇函数．
2．设y＝f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于函数y＝f(x)的三个命题：
①y＝f(x)是周期函数；
②y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称；
③y＝f(x)在[0,1]上是增函数．
其中正确命题的序号是________．
解析：因偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，令x＝x－1，则f(x)＝－f(x－1)，故f(x ＋1)＝f(x－1)，所以f(x)是周期为2的周期函数，①正确；又f(1－x)＝f(x－1)＝f(1＋x)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，②正确；又函数f(x)在[－1,0]上是增函数，则f(x)在[0,1]是减函数，③错误．
答案：①②。