高中数学第一章三角函数1.4.4单位圆的对称性与诱导公式二学案北师大必修4201808223186

4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)
学习目标 1.掌握诱导公式1.13～1.14的推导(重点).2.能应用公式1.13～1.14解决简单的求值，化简与证明问题(难点)．
知识点1
π
2
±α的诱导公式 对任意角α，有下列关系式成立：
sin(π2＋α)＝cos α，cos(π
2＋α)＝－sin α.(1.13)
sin(π2－α)＝cos α，cos(π
2
－α)＝sin α.(1.14)
诱导公式1.13～1.14的记忆：π2－α，π
2＋α的正(余)弦函数值，等于α的余(正)弦三
角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”． 【预习评价】
请你根据上述规律，完成下列等式．
sin(32π－α)＝－cos_α，cos(3
2π－α)＝－sin_α.
sin(32π＋α)＝－cos_α，cos(3
2π＋α)＝sin_α.
知识点2 诱导公式的记忆方法
记忆诱导公式的方法：奇变偶不变，符号看象限． (1)函数名不变，符号看象限
“函数名不变，符号看象限”指的是对于角2k π＋α(k ∈Z )，－α，2π－α，π－α，π＋α的正弦函数、余弦函数值等于角α的同名正弦函数、余弦函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号． (2)函数名改变，符号看象限
“函数名改变，符号看象限”指的是对于角
k π
2
＋α，
k π
2
－α(k 为奇数)的函数值等于角α
的异名正弦函数、余弦函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号． 【预习评价】
(1)cos(α－π
2)＝________.
(2)sin(α＋5π
2
)＝________.
(3)cos(3π－α)＝________. (4)sin(2π＋α)＝________.
答案 (1)sin α (2)cos α (3)－cos α (4)sin α
题型一 条件求值
【例1】 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3的值． 解 ∵α＋2π3＝⎝
⎛
⎭⎪⎫α＋π6＋π2，
∴sin(α＋2π3)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.
规律方法 利用诱导公式1.13和诱导公式1.14求值时，要注意已知条件中的角和问题结论中角之间的联系，注意π6＋α与π3－α，π4－α与π
4＋α等互余角关系的识别和应用．
【训练1】 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值．
解 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33
.
题型二 利用诱导公式化简和证明
【例2】 求证：
π－θ
cos θ⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤3
2
π－θ－1＋
π－θ
π＋θπ2
＋θ－
3π2
＋θ＝
2
1－cos 2
θ
. 证明 左边＝
－cos θ
cos θ－cos θ－＋cos θ
－cos θcos θ＋cos θ
＝11＋cos θ＋1
1－cos θ
＝1－cos θ＋1＋cos θ
＋cos θ－cos θ
＝
2
1－cos 2
θ
＝右边， 所以原式得证．
规律方法 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．(2)左右归一法：即证明左右两边都等
于同一个式子．(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．
【训练2】 设sin(α＋8π7)＝a cos(α＋8π
7
)，
求证：15π
7＋α＋α－
13π720π
7
－α－
α＋
22π
7
＝
a ＋3
a ＋1
. 证明 ∵sin(α＋8π7)＝a cos(α＋8π
7)．
∴左边＝
sin[π＋α＋
8π
7
＋
α＋
8π7
－3π]
sin[4π－α＋
8π
7－cos[2π＋α＋
8π
7
＝－α＋
8π7－α＋
8π7－α＋
8π7－α＋
8π7
＝－a α＋
8π7－α＋
8
π7－a α＋
8π7
－
α＋
8π7
＝
a ＋3
a ＋1
＝右边． ∴原等式得证．
【例3】 已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求
π－α＋
π－α2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2－α
－－α
的值．
解 由sin(α－3π)＝2cos(α－4π) 得sin(α－π)＝2cos α， 即sin α＝－2cos α. ∴
π－α＋
π－α2sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫3π2－α
－－α
＝sin α＋5cos α
－2cos α＋sin α ＝－2cos α＋5 cos α－2cos α－2cos α
＝－34
.
【迁移1】 若例3中的条件不变改为求
sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋απ＋
α
π2
＋απ－
α
的值，则结果如何？
解 原式＝
cos α－sin
α－sin α－
α
＝－sin αcos αsin αsin α＝1
2
. 【迁移2】 若例3中的条件不变改为求
π－α
－sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
π2＋α3π
2
－α＋
－π＋
α
的值．
解 由例题知，sin α＝－2cos α. 原式＝sin α－cos α
－sin α－cos α
＝－2cos α－cos α2cos α－cos α＝－3cos αcos α
＝－3. 【迁移3】 若将例3中的条件“sin(α－3π)＝2cos(α－4π)”改为“已知α＝ －31π3”．求原式的值．
解 ∵α＝－31π
3
，
∴sin α＝sin(－31π3)＝－sin(5×2π＋π3)＝－sin π3＝－3
2，
cos α＝cos(－31π3)＝cos(5×2π＋π3)＝cos π3＝1
2，
∵
π－α＋
π－α3π
2
－α
－－α
＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α
＝－32＋
52－1－
32
＝5－3－2－3
＝－13＋7 3.
规律方法 所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数的种类尽可能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值．
利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择，当三角函数式中含有
k π±α，k
2
π±α(k ∈Z )时，要注意讨论k 为奇数或偶数.
课堂达标
1．若sin α＝12，则cos(π
2＋α)的值为( )
A.1
2 B.32 C ．－12
D ．－
32
解析 ∵sin α＝12，∴cos(π2＋α)＝－sin α＝－1
2.
答案 C
2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值为( ) A ．－23
3
B.
23
3
C.13
D ．－13
解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－13.
答案 D
3．代数式sin 2
(A ＋45°)＋sin 2
(A －45°)的化简结果是________．(注：对任意角α有sin 2
α
＋cos 2
α＝1成立)
解析 原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2
(45°－A ) ＝sin 2
(A ＋45°)＋cos 2
(A ＋45°)＝1. 答案 1
4．若sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π
12)＝________.
解析 cos(α＋7π12)＝cos[π2＋(α＋π
12)]
＝－sin(α＋π12)＝－1
3.
答案 －1
3
5．已知sin(π＋α)＝－1
3.计算：
(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2； (2)sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π2＋α. 解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.
(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α＝－13.
(2)sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89. ∵sin α＝1
3，∴α为第一或第二象限角．
①当α为第一象限角时，sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α＝cos α＝223. ②当α为第二象限角时，sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π2＋α＝cos α＝－223. 课堂小结
1．诱导公式的选择方法：先将－α化为正角，再用2k π＋α(k ∈Z )把角化为[0,2π)内的角，再用π±α，π2＋α，2π－α化为锐角的三角函数，还可继续用π2－α化为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4内的角的三角函数．由此看，利用诱导公式能将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，这也正是：诱导公式真是好，负化正后大化小．
2．解决给式求值问题的常见思路有：若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手，用上条件；若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式；若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联系为止．无论使用哪种方法都要时刻瞄准目标，根据需要变形.
基础过关
1．若sin(3π＋α)＝－12，则cos(7π
2－α)等于( )
A ．－1
2
B.12
C.32
D ．－
32
解析 ∵sin(3π＋α)＝－sin α，∴sin α＝1
2，
∴cos(7π2－α)＝cos(3π2－α)＝－cos(π
2－α)
＝－sin α＝－1
2.
答案 A
2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值等于( ) A ．－1
3
B.13 C ．－223
D.22
3
解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4
＋α
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13. 答案 A
3．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( )
A ．－2m
3
B.2m
3 C ．－3m 2
D.3m 2
解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ， ∴sin α＝m
2
.
故cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α ＝－3sin α＝－32m .
答案 C
4．已知sin α＝12，则cos(π
2＋α)的值为________．
解析 cos(π2＋α)＝－sin α＝－1
2.
答案 －1
2
5．化简：
θ－5π
－π2
－θπ－
θ
θ－
3π2－
θ－π＝________.
解析 原式＝
θ－π
π2＋
θ－θ
θ＋
π2
－
θ＋π
＝
－sin θ－sin θθ
cos θsin θ＝sin θ.
答案 sin θ
6．已知角α终边经过点P (－4,3)，求
π2＋α－
π－α11π
2
－α9π
2
＋α的值．
解 ∵角α终边经过点P (－4,3)， ∴sin α＝35，cos α＝－4
5
，
∴
π2＋α－
π－α11π
2
－α9π
2
＋α
＝－sin αsin α－sin αcos α ＝－34
.
7．求证：
θ－32π
θ＋
π
2－1
1－2cos
2
θ＋
32
π
＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ
.(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2
α＝1成立) 证明 ∵左边＝－
3
2
π－θ－sin θ－11－2sin 2
θ
＝
－2sin[π＋π2
－θ－sin θ－11－2sin 2
θ
＝
π2
－θ－sin θ－1
1－2sin 2
θ
＝－2sin θcos θ－1sin 2θ＋cos 2θ－2sin 2
θ
＝
θ＋cos θ2
sin 2θ－cos 2θ
＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ
＝右边． ∴原式成立．
能力提升
8．已知cos(75°＋α)＝1
3，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )
A.13
B.23 C ．－13
D ．－23
解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α)
＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)] ＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α) ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α) ＝－2cos(75°＋α)＝－2
3.
答案 D
9．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 179°＋cos 180°＝________. 解析 cos 179°＝cos(180°－1°)＝－cos 1° cos 178°＝cos(180°－2°)＝－cos 2° ……
cos 91°＝cos(180°－89°)＝－cos 89°
∴原式＝(cos 1°＋cos 179°)＋(cos 2°＋cos 178°)＋…＋(cos 89°＋cos 91°)＋ (cos 90°＋cos 180°)
＝cos 90°＋cos 180°＝0＋(－1)＝－1. 答案 －1
10．已知α
为第二象限角，化简
1＋π－αα－π
α－
3π2
－
1－sin 2
3π2
＋α
＝
________.(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2
α＝1成立)
解析 原式＝
1＋2sin α
－cos α
cos α－
3π2
＋α＝
|sin α－cos α|
cos α－|sin α|
.
∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴原式＝sin α－cos α
cos α－sin α
＝－1.
答案 －1
11．若k ∈{4,5,6,7} ，且sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫k π2－α＝－sin α，
cos ⎝
⎛⎭
⎪
⎫k π2－α＝cos α，则k ＝________.
解析 利用验证法，当k ＝4时，sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α符合条件；当k ＝5,6,7时，不符合条件．故k ＝4. 答案 4 12．化简求值：
(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；
(2)sin(2n π－2π3)·cos(n π＋4π
3
)(n ∈Z )．
解 (1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5＝cos π5＋cos 2π5＋cos(π－2π
5)＋cos(π
－π5)＝cos π5＋cos 2π
5－ cos 2π5－cos π
5＝0.
(2)①当n 为奇数时，
原式＝sin(－2π3)·(－cos 4π3)
＝sin(π－π3)·cos(π＋π
3
)
＝－sin π3·cos π3＝－32×12＝－3
4；
②当n 为偶数时， 原式＝－sin 2π3·cos 4π
3
＝－sin(π－π3)·cos(π＋π
3)
＝sin π3·cos π
3
＝34
. 13．(选做题)是否存在角α，β，α∈⎝
⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式
⎩⎪⎨⎪⎧ sin 3π－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，
3cos －α＝－2cos π＋β同时成立．
若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2
α＝1成立)
解 由条件，得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②
①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③
又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④
由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22， 因为α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4. 当α＝π4时，代入②得cos β＝32
，又β∈(0，π)， 所以β＝π6
，代入①可知符合． 当α＝－π4时，代入②得cos β＝32
，又β∈(0，π)， 所以β＝π6
，代入①可知不符合． 综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件． 精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂； 幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了
6、朋友是什么？
朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。