2019-2020年人教B版数学必修四课时分层作业14 向量的加法+Word版含解析

课时分层作业(十四) 向量的加法
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知a ，b ，c 是非零向量，则(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(a ＋b )，c ＋(b ＋a )中，与向量a ＋b ＋c 相等的个数为( )
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
A [依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与a ＋b ＋c 相等，故选A.]
2.如图所示的方格中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →
＝( )
A.OH →
B.OG →
C.FO →
D.EO →
C [设a ＝OP →＋OQ →
，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形(图略)，则夹在OP ，OQ 之间的对角线对应的向量即为向量a ＝OP →＋OQ →，则a 与FO →
长度相等，方向相同，所以a ＝FO →
.]
3．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →
，则一定有( ) A ．四边形ABCD 是矩形 B ．四边形ABCD 是菱形 C ．四边形ABCD 是正方形 D ．四边形ABCD 是平行四边形
D [根据题意，由于在四边形ABCD 中， AC →＝AB →＋BC →. 又∵AC →＝AB →＋AD →，
∴AD →＝BC →
，即AD ＝BC ，且AD ∥BC ，所以四边形ABCD 一组对边平行且相等，故其为平行四边形．]
4．在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →
|等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
B [
如图，∵AB →＋FE →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →
， ∴|AB →＋FE →＋CD →|＝|AD →|＝ 2|AO →|＝2|AB →
|＝2.]
5．下列结论中，正确结论的个数为( )
(1)如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a ，b 之一的方向相同；
(2)在△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →
＝0；
(3)若AB →＋BC →＋CA →
＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；
(4)若a ，b 均为非零向量，则a ＋b 的长度与a 的长度加b 的长度的和一定相等．
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
B [当a ＋b ＝0时，知①不正确；由向量加法的三角形法则知②正确；当A ，B ，
C 三点共线时知③不正确；当向量a 与向量b 方向不相同时|a ＋b|≠|a|＋|b|，故④不正确．]
二、填空题
6．若|a |＝|b |＝1，则|a ＋b |的取值范围为________． [0,2] [由||a|－|b||≤|a ＋b|≤|a|＋|b |，知0≤|a ＋b |≤2.]
7．若a 表示“向东走8 km ”，b 表示“向北走8 km ”，则|a ＋b |＝________，a ＋b 的方向是________．
8 2 km 东北方向 [如图所示，作OA →＝a ，AB →
＝b ， 则a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB →
. 所以|a ＋b |＝|OB →
| ＝
82＋82＝82(km)，
因为∠AOB ＝45°，
所以a ＋b 的方向是东北方向．]
8．当非零向量a ，b 满足________时，a ＋b 平分以a 与b 为邻边的平行四边形的内角．
|a|＝|b| [当|a|＝|b|时，以a 与b 为邻边的平行四边形为菱形，则其对角线上向量a ＋b 平分此菱形的内角．]
三、解答题
9.如图，已知D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，AC ，AB 的中点．求证：AD →＋BE →＋CF →
＝0.
[证明] 连接EF (图略)，由题意知：AD →＝AC →＋CD →，BE →＝BC →＋CE →，CF →＝CB →
＋BF →.
由平面几何可知，EF →＝CD →，BF →＝F A →
.
∴AD →＋BE →＋CF →＝(AC →＋CD →)＋(BC →＋CE →)＋(CB →＋BF →) ＝(AC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋(BC →＋CB →) ＝(AE →＋EC →＋CD →＋CE →＋BF →
)＋0 ＝AE →＋CD →＋BF →＝AE →＋EF →＋F A →
＝0， ∴AD →＋BE →＋CF →
＝0.
10．如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．
[解] 如图，作OACB ，
使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，则在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°.
设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →
表示物体的重力，且|OC →
|＝300 (N)，
所以|OA →|＝|OC →|·cos 30°＝1503(N)，
|OB →|＝|OC →|·cos 60°＝150(N)，
故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.
[等级过关练]
1．在以下各命题中，不正确的命题个数是( ) (1)任一非零向量的方向都是唯一的； (2)|a |－|b |<|a ＋b |；
(3)若|a |－|b |＝|a |＋|b |，则b ＝0；
(4)已知A 、B 、C 为平面上任意三点，则AB →＋BC →＋CA →
＝0. A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
A [(1)(3)(4)正确，只有(2)不正确．]
2．如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，AC 的中点，则下面结论正确的是( )
A.AE →＝AD →＋F A →
B.DE →＋AF →＝0
C.AB →＋BC →＋CA →
≠0
D.AB →＋BC →＋AC →≠0
D [容易判断AB →＋BC →＋AC →＝2AC →
≠0.故选D.]
3．在静水中划船的速度是20 m/min ，水流速度是10 m/min ，如果船从岸边出发，径直沿垂直于水流的方向到达对岸，则船行进的方向与对岸水平线夹角的正切值为________，
3 [如图，设AB →为水流的速度，AD →为划船的速度，则AC →
＝AB →＋AD →，其中AC →
为船垂直到达对岸的速度，即为船速与
水速的和速度，在Rt △ABC 中，|AB →|＝10，|BC →
|＝20，
∴tan ∠ABC ＝|AC →|
|AB →|＝
|BC →|2－|AB →|2
|AB →|
＝
202－102
10
＝3， ∴tan ∠ADC ＝tan ∠ABC ＝ 3.]
4.如图所示，△ABC 中，AD DB ＝AE EC ＝12，且BC ＝3，则|BC →＋ED →
|＝________.
2 [∵AD DB ＝AE EC ＝12，
∴DE ∥BC ，且DE ＝1
3BC ＝1. 如图所示，作CF →＝ED →
，连接DF ， 则BC →＋ED →＝BC →＋CF →＝BF →， ∴|BC →＋ED →|＝|BF →|＝|BC →|－|CF →
|＝2.]
5．如图所示，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
[解] 设AB →，BC →
分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km ，从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km ，则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|；
两次飞行的位移的和指的是AB→＋BC→＝AC→.
依题意，有|AB→|＋|BC→|＝800＋800＝1 600(km)，
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
所以|AC→|＝|AB→|2＋|BC→|2＝8002＋8002
＝8002(km)．
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.
从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 2 km，方向为北偏东80°.。