湖南省衡阳八中2018届高三(实验班)第一次模拟数学(理)试卷(含答案)

衡阳八中2018届高三年级实验班第一次模拟考试试卷
理科数学
注意事项：
1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第一次模拟考试试卷，分两卷。

其中共23题，满分150分，考试时间为120分钟。

2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。

开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。

3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B 铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm 签字笔书写。

考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。

★预祝考生考试顺利★
第I 卷 选择题（每题5分，共60分）
本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。

1.已知集合2{40}A x x x =-<，{}B x x a =<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围（ ） A ．(0,4] B ．(8,4)- C ．[4,)+∞ D ．(4,)+∞ 2.已知i 是虚数单位，（1+2i ）z 1=﹣1+3i ，，z 1、z 2在复平面上对应的点分别为A 、B ，
则|AB|=（ ）
A ．31
B ．33
C ．
D ．
3.已知实数b a ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≥+-≥-+0
63020
23b a a b b a ，则当]4,0[πθ∈时，2cos cos sin 2b b a -+θθθ的最大值是
A. 5
B. 2
C.
210 D. 2
2 4.已知定义在[0，+∞）上的函数f （x ）满足f （x ）=3f （x+2），当x ∈[0，2）时，f （x ）=﹣x 2
+2x ．设f （x ）在[2n ﹣2，2n ）上的最大值为a n （n ∈N *）
，且{a n }的前n 项和为S n ，则S n 的取值范围是（ ） A ．[1，） B ．[1，] C ．[，2） D ．[，2]
5.定义运算：
1214233
4
a a a a a a a a =-，将函数()()3sin 01cos x
f x x
ωωω=
>的图象向左平移23π个单
位，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是 （ ） A ．
14 B ．34 C. 74 D ．5
4
6.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10=，则a5+a6=（）A．B．12 C．6 D．
7.如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（）
A．34+6B．6+6+4C．6+6+4 D．17+6
8.若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=﹣f（x），且当x∈[﹣1，0）时，，则函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点的个数是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
9.执行右边的程序框图，若p=0.8，则输出的n=（）
A．3 B．4 C．5 D．6
10.已知函数f （x ）=⎩
⎨
⎧>≤+0x |,x log |0
x |,1x |2，若方程f （x ）=a 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜
x 3＜x 4，则x 3（x 1+x 2）+
4
2
3x x 1
的取值范围是（ ） A ．（﹣1，+∞） B ．（﹣1，1] C ．（﹣∞，1）
D ．[﹣1，1）
11.已知F 1、F 2是椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、
B 两点，若△ABF 1是锐角三角形，则该椭圆离心率e 的取值范围是（ ） A ．e ＞
﹣1 B ．0＜e ＜
﹣1 C ．
﹣1＜e ＜1 D ．
﹣1＜e ＜
+1
12.如果函数满足：对于任意的x 1，x 2∈[0，1]，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤1恒成
立，则a 的取值范围是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
第II 卷 非选择题（共90分）
二.填空题（每题5分，共20分）
13.
9
19x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项的值为______． 14.平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与抛物线C 2：x 2
=2py （p
＞0）交于点O ，A ，B ，若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为 ．
15.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为
．若a 2
sinC=4sinA ，（a+c ）2
=12+b 2
，则用“三斜求积”公式求得
△ABC 的面积为 ． 16.体积为
的正三棱锥A ﹣BCD 的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，球心O 在此三棱锥内
部，且R ：BC=2：3，E 为线段BD 上一点，且DE=2EB ，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 .
三.解答题（共8题，共70分） 17.（本题满分12分）
△ABC 的内角为A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
cos sin sin cos a b c
C B B C
=+
． （1）求()()sin sin cos cos A B A A A B +++-的最大值； （2）若2b =ABC 的面积最大时，△ABC 的周长；
18.（本题满分12分）
交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：
交强险浮动因素和浮动费率比率表 浮动因素
浮动比率 A 1 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮10% A 2 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮20% A 3 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮30% A 4 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 0% A 5 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮10% A 6
上一个年度发生有责任道路交通死亡事故
上浮30%
某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了80辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：
类型 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 数量
20
10
10
20
15
5
以这80辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：
（1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，950 a .某同学家里有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记X 为该品牌车在第四年续保时的费用，求的分布列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字）
（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故车盈利8000元：
①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率； ②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值.
19.（本题满分12分）
在如图所示的五面体中，面ABCD 为直角梯形， 2
BAD ADC π
∠=∠=
，平面平面ABCD ，
244EF DC AB ===， ADE ∆是边长为2的正三角形．
（1）证明： BE ⊥平面ACF ； （2）求二面角A BC F --的余弦值．
20.（本题满分12分）
如图，椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12F F 、，离心率为3
2；过抛物线
22:4C x by =焦点F 的直线交抛物线于M N 、两点，当7
4
MF =
时，M 点在x 轴上的射影为1F ，连结,NO MO 并延长分别交1C 于A B 、两点，连接AB ；OMN ∆与OAB ∆的面积分别记为
,OMN OAB S S ∆∆，设OMN
OAB
S S λ∆∆=
.
（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程； （2）求λ的取值范围.
21.（本题满分12分）
已知函数2
g(x)=(2a)lnx,h(x)=lnx+ax (a R)∈－,令f(x)=g(x)h (x)'+，其中h (x)'是函数h(x)的导函数.
(Ⅰ)当a=0时，求f(x)的极值；
(Ⅱ)当8<a<2－－时，若存在12x ,x [1,3] ,使得122
|f(x )f(x )|>(m+ln3)a 2ln3+ln(a)3
－－－恒成立，求m 的取值范围.
选做题：考生从22、23题中任选一题作答，共10分。

22.（选修4-4.坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是2x =，曲线C 的参数方程
为cos 1sin x y α
α=⎧⎨
=+⎩
（α为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求直线l 和曲线C 的极坐标方程； （Ⅱ）射线:OM θβ=（其中02
π
β<<）与曲线C 交于O ，P 两点，与直线l 交于点M ，求
OP
OM
的取值范围.
23.（选修4-5.不等式选讲）已知函数．
（1）当
时，求不等式
的解集；
（2）若的解集包含，求m 的取值范围．
衡阳八中2018届高三年级实验班第一次高考模拟考试参考答案理
科数学
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C
A
C
A
D
D
A
C
B
B
C
A
13.-84 14. 15.
16.[8π, 16π]
17. （1）由
cos sin sin cos a b c C B B C
=+
得：cos sin cos sin sin cos a b C c B
C B B C +=， cos sin a b C c B =+，即sin sin cos sin sin A B C C B =+，cos sin B B =，4
B π
=
；
由()()()sin sin cos cos 2sin cos sin cos A B A A A B A A A A +++-=++，
令sin cos t A A =+，原式211
222
t t =+-， 当且仅当4
A π=时，上式的最大值为5
2．（6分）
（2）22212
sin ,b 2cos 2S ac B ac a c ac B =
==+-，即()
222222,22a c ac ac ac =+-≥-≤+，当且仅当22a c ==+等号成立；21
MAX S +=
， 周长2222L a b c =++=++．（12分） 18.
（1）由题意可知的可能取值为，
，
，a ，
，
.
由统计数据可知：
161
)3.1(,163)1.1(,41)(,81)7.0(,81)8.0(,41)9.0(=
==========
=a X p a X p a X p a X p a X p a X p
所以的分布列为： X 0.9a
0.8a
0.7a
a
1.1a
1.3a
P 41 81 81 41 163 161
所以903161
3.11631.141817.0818.0419.0≈⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
=a a a a a a EX ……6分
（2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为41
，三辆车中至多
有一辆事故车的概率为
3227)43(41)411(2
133=
+-=C P ………………9分
②设为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，的可能取值为-4000,8000. 所以的分布列为：
-4000
8000
41
43
所以.
500043
8000414000)(=⨯+⨯
-=Y E
所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望为万
元. ………………12分 19.
（1）取AD 的中点N ，依题意易知NE AD ⊥， 平面ADE ⊥平面ABCD,分
分别以直线,NA NE 为x 轴和z 轴， N 点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 依题意有： A (1,0,0),()1,1,0B ， ()1,2,0C -， (3F ，E(0,0,
)
,
分
设平面ACF 的法向量为
,
，得到
分
,所以BE ⊥平面ACF …………………5分
（2）设平面BCF 的一个法向量()1,,n x y z =u r ，由1n BC ⊥u r u u u r
，得2y x =，…………………6分
由1n BF ⊥u r u u u r
，得330x y z -+=，………………….7分
令1x =-，可得1531,n ⎛=-- ⎝⎭
u r .………………….8分
又平面ABC 的一个法向量()20,0,1n =u u r
，………………….10分
所以2253
103cos ,230
n n =
=u u r u u r .………………….11分
所以二面角A BC F --的余弦值为 .………………….12分
20.
（1）由抛物线定义可得7,
4M c b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
， ∵点M 在抛物线2
4x by =上， ∴2
744c b b ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
，即2274c b b =-①
又由
c a =223c b =，将上式代入①，得277b b =，解得1b =，
∴c =2a =，
所以曲线1C 的方程为2
214
x y +=，曲线2C 的方程为24x y =（4分） （2）设直线MN 的方程为1y kx =+，
由2
1
4y kx x y
=+⎧⎨
=⎩消去y 整理得2440x kx --=，
设()11,M x y ，()22,N x y ，则124x x =-， 设ON k m =，OM k m '=，则21122111164
y y mm x x x x '=⋅==-， 所以1
4m m
'=-
，②（6分） 设直线ON 的方程为()0y mx m =>，
由24y mx x y =⎧⎨=⎩
，解得4N x m =，
所以4N ON ==（8分）
由②可知，用14m -代替m
，可得N OM == 由221
4
y mx
x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩
，解得A x =
，所以A OA ==，（8分）
用1
4m
-
代替m
，可得B OB ==（9分）
所以OMN OAB
ON OM S S OA OB λ∆∆⋅=
==
⋅
=
=1222m m
=+≥，（11分） 当且仅当1m =时等号成立.
所以λ的取值范围为[)2,+∞.（12分） 21.
(Ⅰ)依题意1h (x)=
+2ax x '，则1
f(x)=(2a)lnx++2ax,x (0,+)x
∈∞－ 当a=0时，22
1212x 1
f(x)=2lnx+,f (x)==x x x x '－－
令f (x)=0'解得1
x=2
；
当10<x<2
时，f (x)<0'，当1
x>2时，f (x)>0'
所以f(x)的单调递减区间为(0,12)，单调递增区间为(1
2
,+∞)
所以1x=2时f(x)取得极小值1
f()=22ln22
－，无极大值.（5分）
(Ⅱ)22
1
a(2x 1)(x+)
2a 1a f (x)=+2a=,x [1,3]x x x '∈－－－ 当8<a<2－－即111
<<8a 2
－时，恒有f (x)<0'成立，
所以f(x)在[1,3]上是单调递减.
所以max min 1
f(x)=f(1)=1+2a,f(x)=f(3)=(2a)ln3++6a 3
－ 所以1max |f(x )f(x )|=f(1)f(3)=4a+(a 2)ln33
２２－－－－，（7分） 因为存在12x ,x [1,3]∈,使得122
|f(x )f(x )|>(m+ln3)a 2ln3+ln(a)3
－－－恒成立， 所以2
4a+(a 2)ln3>(m+ln3)a 2ln3+
ln(a)33
２－－－－整理得
2
ma<4a ln(a)33
２－－－
又a <0，所以2ln(a)
m>43a 3a
２－－－（9分）
令t =－a ，则t ∈(2,8)，构造函数2lnt
F(t)=+43t 3t
２－－,
所以2
2(2lnt)
F (t)=3t
'－， 当F (t)='0时，2t=e ，当F (t)>'0时，22<t<e ，此时函数单调递增， 当F (t)<'0时，2e <t<8，此时函数单调递减，
所以2max 2F(t)=F(e )=43e ２
－， 所以m 的取值范围为(243e
２
－,+∞). （12分）
22. （Ⅰ）∵cos sin x y ρθ
ρθ
=⎧⎨
=⎩，∴直线:2l x =的极坐标方程是cos 2ρθ=
由cos 1sin x y αα
=⎧⎨=+⎩消参数得22(1)1x y +-= ∴曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=（5分）
（Ⅱ）将θβ=分别带入2sin ρθ=，cos 2ρθ=得2sin OP β=，2
cos OM β
=
∴
1
sin cos sin 22
OP OM βββ== ∵02
π
β<<，∴02βπ<< ∴11
0sin 222
β<
≤ ∴
OP OM
的取值范围是1
(0]2，（10分）
23.
（1）当时，，（1分）
①时，，解得；（2分）
②当时，，解得；（3分）
③当时，，解得；（4分）
综合①②③可知，原不等式的解集为．（5分）
（2）
由题意可知在上恒成立，
当时，，从而可得，（7分）
即，且，，因此．（10分）。