陕西省子洲中学2024届数学高一第二学期期末达标检测试题含解析

陕西省子洲中学2024届数学高一第二学期期末达标检测试题
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知在三角形ABC 中，2AB BC AC ===，、、A B C 点都在同一个球面上，此球面球心O 到平面ABC 的距离为26
3
，点E 是线段OB 的中点，则点O 到平面AEC 的距离是（ ） A ．
33
B ．
63
C ．
12
D ．1
2．在ABC △中，3AB =，1AC =，π
6
B =，则AB
C △的面积是（ ）
． A ．
32
B ．
34
C ．
32
或3
4 D ．
3
2
或3 3．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ） A ．
3
10
B ．
15
C ．
110
D ．
120
4．已知{}n a 为递增等比数列47565,6a a a a +==，则110a a +=（） A ．
152
B ．5
C ．6
D ．
356
5．已知函数，且实数
，满足
，若实数是函
数的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为11A D ，1A A 的中点，则异面直线
EF 和1BD 所成角的余弦值为（ ）
A ．
6 B 3 C 2D 67．在ABC 中，1
2
AN AC =
，点P 是直线BN 上一点，若AP mAB AC =+，则实
数m 的值是（ ） A ．2
B ．1-
C ．14
-
D ．
54
8．函数ln x
y x
=
的图象大致为（ ） A ． B ． C ．
D ．
9．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为(2,0)B -，若将军从山脚下的点(2,0)A 处出发，河岸线所在直线方程为3x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A ．4
B ．5
C 26
D ．3210．函数()cos 2f x x x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
是（ ） A ．奇函数 B ．非奇非偶函数
C ．偶函数
D ．既是奇函数又
是偶函数
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．在ABC ∆中，若3cos 3cos 2a B b A b +=，点E ，F 分别是AC ，AB 的中点，则
BE
CF
的取值范围为___________. 12．设集合{
}
2016,n
A n n N =≤≤∈，它共有136个二元子集，如{
}01
2,2、{
}12
2,2、
等等．记这136个二元子集为1B 、2B 、3B 、
、136B ，设
{}()*,1136,i B x y i i N =≤≤∈，定义()1S B x y =-，则
()()()()123136S B S B S B S B ++⋅⋅⋅+=_____．（结果用数字作答）
13．角α的终边经过点()()340P a a a ->，
，则sin α=___________________． 14．α终边经过点(3,4)P ，则sin α=_____________ 15．如果数据1,x 2,x 3,x ,⋅⋅⋅n x 的平均数是1x =，则
132,x +232,x +332,x +,⋅⋅⋅32n x +的平均数是________.
16．5人排成一行合影，甲和乙不相邻的排法有______种．（用数字回答）
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。

17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，
c .且满足3
cos sin 3
a b C c B =+. （Ⅰ)求角B ；
（Ⅱ)若ABC 的面积为
53
4
，33a c +=，求边b . 18．如图，矩形ABCD 所在平面与以BC 为直径的圆所在平面垂直，O 为BC 中点，M 是圆周上一点，且30CBM ∠=，1AB =，2BC =．
（1）求异面直线AO 与CM 所成角的余弦值；
（2）设点P 是线段AM 上的点，且满足AP PM λ=，若直线//CM 平面BPD ，求实数λ的值． 19．已知函数()2
82f x x x
=
--，求其定义域.
20．求经过直线12:3450,:2380l x y l x y +-=-+=的交点M ，且满足下列条件的直线方程：
（1）与直线2350x y ++=平行； （2）与直线2350x y ++=垂直.
21．如图，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，面ABCD 是等腰梯形，
//AB CD ，面ABFE 是矩形，平面ABFE ⊥平面ABCD ，BC CD AE a ===，
60DAB ∠=.
（1）求证：平面⊥BDF 平面ADE ；
（2）若三棱锥B DCF -的体积为
3
12
，求a 的值. 参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、D 【解题分析】
利用数形结合，计算球的半径，可得半径为2，进一步可得该几何体为正四面体，可得结果. 【题目详解】 如图
据题意可知：、、A B C 点都在同一个球面上 可知'O 为ABC 的外心，故球心O 必在过'O
且垂直平面ABC 的垂线上 因为2AB BC AC ===，
所以2'23O C =
⨯=
球心O 到平面ABC 的距离为
3
即'3OO =
，又2'2323
O C =⨯⨯=
所以2OC =
=
同理可知：2OA OB == 所以该几何体为正四面体， 由点E 是线段OB 的中点 所以,OE AE OE CE ⊥⊥，AE
CE E =
且,AE CE ⊂平面AEC ，故OE ⊥平面AEC 所以点O 到平面AEC 的距离是1OE = 故选：D 【题目点拨】
本题考查空间几何体的应用，以及点到面的距离，本题难点在于得到该几何体为正四面体，属中档题. 2、C 【解题分析】
sin sin AB AC C B
=，
∴sin sin 2AB B C AC ⋅=
=
，π3C =或2π3． （1）当π3C =
时，π
π()2
A B C =-+=．
∴1sin 22
ABC
S
AB AC A =
⋅⋅=
． （2）当2π3C =
时，π
π()6
A B C =-+=．
∴1sin 24
ABC
S
AB AC A =
⋅⋅=
．
故选C ． 3、C 【解题分析】
试题分析：从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为1
10
，故选C. 考点：古典概型 4、D 【解题分析】
设数列{}n a 的公比为q ，根据等比数列的性质，得476a a =，又由475a a +=，求得3q ，
进而可求解110a a +的值，得到答案. 【题目详解】
根据题意，等比数列{}n a 中，设其公比为q ，
因为566a a =，则有476a a =，又由475a a +=，且47a a <， 解得472,3a a ==，所以3
7432
a q a =
=， 所以
3
41107
3233533262
a a a a q q +=
+=+⨯=， 故选D. 【题目点拨】
本题主要考查了等比数列的通项公式和等比数列的性质的应用，其中解答中熟练应用等比数列的性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5、D 【解题分析】
由函数的单调性可得：当
时，函数的单调性可得：（a ）
，（b ）
，（c ）
，即不满足（a ）（b ）（c ），得解．
【题目详解】 因为函数， 则函数在
为增函数，
又实数
，满足（a ）（b ）（c ），
则（a ），（b ），（c ）为负数的个数为奇数， 对于选项，，选项可能成立， 对于选项， 当
时，
函数的单调性可得：（a ），（b ），（c ）
，
即不满足（a ）（b ）（c ），
故选项不可能成立， 故选：． 【题目点拨】
本题考查了函数的单调性，属于中档题． 6、A 【解题分析】
连接1AD , 则1AD EF ，所以1AD B ∠为所求的角． 【题目详解】
连结1BD ，1AD ，因为E 、F 分别为11A D ，1A A 的中点，所以1AD EF ，则1AD B ∠为所求的角，设正方体棱长为1，则12AD =1AB =，13BD =，三角形AD 1B
为直角三角形，126
cos 33
AD B ∠==,选择A 【题目点拨】
本题主要考查了异面直线所成的夹角;求异面直线的夹角，通常把其中一条直线平移到和另外一条直线相交即得异面直线所成的角．属于中等题． 7、B 【解题分析】
根据向量的加减运算法则，通过1
2
AN AC =，把AP 用AB 和AN 表示出来，即可得到m 的值. 【题目详解】 在ABC ∆中，1
2
AN AC =
，点P 是直线BN 上一点， 所以2AP mAB AC mAB AN =+=+， 又,,P N B 三点共线，所以21+=m ，即1m =-. 故选：B.
【题目点拨】
本题考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用，属于基础题. 8、C 【解题分析】
利用函数的性质逐个排除即可求解. 【题目详解】 函数ln x
y x
=
的定义域为{}0x R x ∈≠，故排除A 、B. 令()ln x
y f x x
==
又()()ln ln x x
f x f x x x
--=
=-=--，即函数为奇函数， 所以函数的图像关于原点对称，排除D 故选：C 【题目点拨】
本题考查了函数图像的识别，同时考查了函数的性质，属于基础题. 9、C 【解题分析】
求出点A 关于直线的对称点，再求解该对称点与B 点的距离，即为所求. 【题目详解】 根据题意，作图如下：
因为点()2,0A ，设其关于直线3x y +=的对称点为()100,A x y
故可得00
00112232
2y x x y ⎧-⨯=-⎪-⎪⎨+⎪+=⎪⎩，解得003,1x y ==，即()13,1A
故“将军饮马”的最短总路程为
1A B ==故选：C. 【题目点拨】
本题考查点关于直线的对称点的坐标的求解，以及两点之间的距离公式，属基础题. 10、C 【解题分析】
利用诱导公式将函数()y f x =的解析式化简，然后利用定义判断出函数()y f x =的奇偶性. 【题目详解】
由诱导公式得()cos sin 2f x x x x x π⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
，该函数的定义域为R ，关于原点对称，
且()()()()()sin sin sin f x x x x x x x f x -=--=-⋅-==， 因此，函数()y f x =为偶函数，故选C. 【题目点拨】
本题考查函数奇偶性的判断，解题时要将函数解析式进行简化，然后利用奇偶性的定义进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、17,48⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解题分析】
记AB c =，AC b =，BC a =，根据正弦定理得到32=c b ，再由题意，得到
1=
BE ，1=CF
，推出==BE CF a c 的范围，即可得出结果. 【题目详解】
记AB c =，AC b =，BC a =，
由3cos 3cos 2a B b A b +=得3sin cos 3sin cos 2sin +=A B B A B ， 所以()3sin 2sin +=A B B ，即3sin 2sin =C B ，因此32=c b ， 因为E ，F 分别是AC ，AB 的中点，
所以
112=+==
BE BA BC
=
， 同理：1=
=CF
，
所以====BE CF ， 因为a b c <+且a c b +>，
所以1522<<c a c ，则1522<<a c ，所以2
125
44⎛⎫<< ⎪⎝⎭a c ，
则2
742
162⎛⎫<+< ⎪⎝⎭a c ，所以1748<<. 即
BE CF 的取值范围为17,48⎛⎫
⎪⎝⎭
. 故答案为17,48⎛⎫ ⎪⎝⎭
【题目点拨】
本题主要考查解三角形，熟记正弦定理，以及两角和的正弦公式即可，属于常考题型. 12、1835028 【解题分析】
分别分析中二元子集中较大元素分别为12、22、
、162时，对应的二元子集中较小
的元素，再利用题中的定义结合数列求和思想求出结果. 【题目详解】
当二元子集较大的数为12，则较小的数为02；
当二元子集较大的数为22，则较小的数为02、12； 当二元子集较大的数为32，则较小的数为02、12 、22；
当二元子集较大的数为162，则较小的数为02、12、22、、152.
由题意可得
()()()()()()10201123136222222S B S B S B S B ++⋅⋅⋅+=-+⨯--+
()()3
01216011532
222162222⨯---+
+⨯----
()23161
23
16
121212222232162121212⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-+⨯-+⨯-+
+⨯- ⎪ ⎪ ⎪
---⎝⎭⎝⎭
⎝
⎭()()()()
11223316162212221322116221=-++⨯-++⨯-+++⨯-+()2316122215216=⨯+⨯+
+⨯+， 令23161222152S =⨯+⨯++⨯，
得31617212142152S =⨯++⨯+⨯，
上式-下式得
()21523161717217212222152152214212
S --=+++-⨯=
-⨯=--⨯-，
化简得2172142S =+⨯，
因此，()()()()2
17
1231362142161835028S B S B S B S B ++⋅⋅⋅+=+⨯+=，
故答案为：1835028. 【题目点拨】
本题考查新定义，同时也考查了数列求和，解题的关键就是找出相应的规律，列出代数式进行计算，考查运算求解能力，属于难题. 13、4
5
-
【解题分析】
先求出P 到原点的距离r ,再利用正弦函数定义sin y
r
α=求解. 【题目详解】
因为0a >,所以P 到原点距离5r a ==,故44
sin 55
a a α-==-. 故答案为：4
5
-
.
【题目点拨】
设α始边为x 的非负半轴,终边经过任意一点(,),P x y OP r =,则：
sin ,cos ,tan y x y r r x
ααα=
== 14、
45
【解题分析】
根据正弦值的定义，求得正弦值. 【题目详解】 依题意
4sin 5
α=
=
. 故答案为：
45
【题目点拨】
本小题主要考查根据角的终边上一点的坐标求正弦值，属于基础题. 15、5 【解题分析】
根据平均数的定义计算． 【题目详解】 由题意
1212(32)(32)(32)
32323125
n n
x x x x x x x n
n
++++
++++
+=⨯
+=+=⨯+=，
故答案为：5. 【题目点拨】
本题考查求新数据的均值．掌握均值定义是解题关键．实际上如果数据1,x 2,x 3,x ,⋅⋅⋅n x 的平均数是x ，则新数据1,ax b +2,ax b +,⋅⋅⋅n ax b +的平均数是ax b +． 16、72 【解题分析】
先对其中3个人进行全排列有33A 种，再对甲和乙进行插空有2
4A 种，利用乘法原理得到
排法总数为3
3A 24A .
【题目详解】
先对其中3个人进行全排列有336A =种，再对甲和乙进行插空有2
412A =种，
利用乘法原理得到排法总数为61272⨯=种，故答案为72 【题目点拨】
本题考查排列、组合计数原理的应用，考查基本运算能力.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（Ⅰ)3
B π
=
；（Ⅱ)b =【解题分析】
（Ⅰ）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可
得tan B =(0,)B π∈，可得3
B π
=
．（Ⅱ）由已知利用三角形的面积公
式可得：5ac =，进而根据余弦定理可得b 的值． 【题目详解】
（Ⅰ)由cos sin a b C B =+
得：sin sin cos sin A B C C B =
∴sin()sin cos cos sin sin cos sin sin 3
B C B C B C B C C B +=+=+
∴cos sin sin 3
B C C B =
又sin 0C >
∴cos B B =
，即tan B =又()0,B π∈，∴3B π=
（Ⅱ)∵ABC ，∴11sin sin 223ac B ac π===
5ac =
又22222
()2cos 22a c b a c ac b B ac ac +-+--==
，a c +=
∴227101
102
b --=，即b =【题目点拨】
本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想．
18、（1）
4
；（2）1 【解题分析】
（1）取AD 中点N ，连接CN ，即NCM ∠为所求角。

在MCN ∆中，易得MC ，NC 的长，MN 可在直角三角形MON ∆中求得。

再用余弦定理易求得夹角。

（2）连接
,PB PD ，连接BD 和AC 交于点Q ，连接PQ
，易得//CM PQ ，所以PQ 为AMC ∆的中位线，所以P 为AM 中点，所以λ的值为1。

【题目详解】
（1）取AD 中点N ，连接,,,CN MN OM ON
因为ABCD 为矩形，,O N 分别为,BC AD 中点，所以//AO CN 所以异面直线AO 与CM 所成角就是CN 与CM 所成的锐角或直角 因为平面ABCD ⊥平面BCM ，平面ABCD
平面BCM BC =
矩形ABCD 中，NO BC ⊥，NO ⊂平面ABCD 所以NO ⊥平面BCM
又OM ⊂平面BCM ，所以NO OM ⊥
MON ∆中，90,1MON OM NO ∠===，所以MN =又M 是圆周上点，且30CBM ∠=，所以1CM =
MCN ∆中，CN =cos
4MCN ∠=
=
所以异面直线AO 与CM 所成角的余弦值为
4
（2）连接,PB PD ，连接BD 和AC 交于点Q ，连接PQ 因为直线//CM 平面BPD ，直线CM ⊂平面ACM ，平面BPD 平面ACM PQ =
所以//CM PQ
矩形ABCD 的对角线交点Q 为AC 中点 所以PQ 为AMC ∆的中位线，所以P 为AM 中点 又AP PM λ=，所以λ的值为1 【题目点拨】
（1）异面直线所成夹角一般是要平移到一个平面。

（2）通过几何关系确定未知点的位置，再求解线段长即可。

19、()4,2- 【解题分析】
由使得分式和偶次根式有意义的要求可得到一元二次不等式，解不等式求得结果. 【题目详解】
由题意得：2820x x -->，即()()2
28420x x x x +-=+-<，解得：42x -<<
()f x ∴定义域为()4,2-
【题目点拨】
本题考查具体函数定义域的求解问题，关键是明确使得分式和偶次根式有意义的基本要求，由此构造不等式求得结果.
20、（1）2340x y +-=；（2）3270x y -+=. 【解题分析】
（1）先求出M ，再设所求的直线为230x y c ++=，代入M 求出c 后可得所求的直线方程.
（2）设所求的直线为320x y b -+=，代入M 求出b 后可得所求的直线方程. 【题目详解】
（1）由题意知：联立方程组34502380
x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得交点2()1,M -，
因为所求直线与直线2350x y ++=平行， 故设所求直线的方程为230x y c ++=，
代入(1,2)-，解得4c =-，即所求直线方程为2340x y +-= （2）设与2350x y ++=垂直的直线方程为320x y b -+= 因为过点(1,2)-，代入得7b =， 故所求直线方程为3270x y -+= 【题目点拨】
本题考查直线方程的求法，注意根据平行或垂直关系合理假设直线方程，本题属于容易题.
21、（1）证明见解析；（2）1. 【解题分析】
（1）由面面垂直的性质定理得出AE ⊥平面ABCD ，可得出BD AE ⊥，再推导出
BD AD ⊥，利用线面垂直的判定定理得出BD ⊥平面ADE ，然后利用面面垂直的判
定定理可得出平面⊥BDF
平面ADE ；
（2）推导出BF ⊥平面ABCD ，计算出BCD 的面积，然后利用锥体体积公式可求得三棱锥F BCD -的体积，进而得解. 【题目详解】
（1）因为四边形ABFE 是矩形，故EA AB ⊥， 又平面ABFE ⊥平面ABCD ，平面ABFE
平面ABCD AB =，AE ⊂平面ABFE ，
所以AE ⊥平面ABCD ，又BD ⊂面ABCD ，所以AE BD ⊥，
在等腰梯形ABCD 中，60DAB ∠=，120ADC BCD ︒∴∠=∠=， 因BC CD =，故30BDC ∠=，1203090ADB ∠=-=，即AD BD ⊥， 又AE
AD A =，故BD ⊥平面ADE ，
BD ⊂平面BDF ，所以平面⊥BDF 平面ADE ；
（2）BCD 的面积为22
13sin12024
BCD
S
a a =
=， //AE FB ，AE ⊥平面ABCD ，所以，BF ⊥平面ABCD ，
231333
3D BCF F BCD V V a --∴==⋅==
，故1a =. 【题目点拨】
本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用三棱锥体积求参数，考查推理能力与计算能力，属于中等题.。