上海市宝山区2012届高三上学期期末质量监测数学试题

上海市宝山区2012届高三上学期期末质量监测数学试题
本试卷共有23题，满分150分，考试时间120分钟
一．填空题
（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1、已知等差数列{}n a ，22a =-，64a =，则4a = ．
2、方程2
250x x -+=的复数根为 ． 3、不等式
2032
x x
x +<-的解集是 ．
4、已知集合
{}4|1|2,lg(1)A x x B x y x ⎧⎫
=-≤==-⎨⎬⎩⎭
，
则A
B = ． 5、已知复数z 满足2
1z z i
=++，则_________z =.
6、如右图，若执行程序框图，则输出的结果是 .
7、方程组125112x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的解是
⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.
8、某科技小组有6名同学，现从中选出3人参观 展览，至少有1名女生入选的概率为4
5
，则小组中 女生人数为 ． 9、用数学归纳法证明“22
1
11(1)1n n a a a a
a a
++-++++=≠-”，在验证1n =成立时，等号左边的式子是_________.
10、过抛物线2
2y x =的焦点F ，倾斜角为4π
的直线l 交抛物线于,A B （A B x x >），则
AF BF
的值⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.
11、若奇函数()y f x =的定义域为
开始
1,1
n A ==1n n =+ 1000
A <
是
否 21
A A =+ 输出n
结束
[4,4]-，其部分图像如图所示，则不
等式()ln(21)0x
f x -<的解集是 ．
12、已知ABC ∆三条边分别为,,a b c ，,,A B C 成等差数列，若2b =，则a c +的最大值为
⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽．
13、两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为1∶2，则它们的体积比是 ．
14、设()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()3f x f x +=，()()23
11,21
m f f m ->=+，则实数m 的取值范围是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.
二．选择题
（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．
15、已知,,l m n 是空间三条直线，则下列命题正确的是………………………（ ） (A)若//l m ，//l n ，则//m n ； (B)若l m ⊥，l n ⊥，则//m n ；
(C)若点A 、B 不在直线l 上，且到l 的距离相等，则直线//AB l ； (D)若三条直线,,l m n 两两相交，则直线,,l m n 共面.
16、已知12120121()20122
n n n n a n -- , <⎧⎪
=⎨- , ≥⎪⎩，n S 是数列{}n a 的前n 项和………………（ ）
(A ）lim n n a →∞
和lim n n S →∞
都存在 (B) lim n n a →∞
和lim n n S →∞
都不存在
(C) lim n n a →∞
存在，lim n n S →∞
不存在 (D) lim n n a →∞
不存在，lim n n S →∞
存在
17、设()()2,3,4,7a b ==-,则a 在b 上的投影为………………………… （ ） （A
（B
）
5 （C
）5
（D
18、一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知1F ，
2F 成060角，且1F ，2F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为………………()（A ）6 （B ） 2 （C
）（D ）
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置．
19、（本题满分12分）已知函数2
()2sin 23sin cos 13f x x x x =--+的定义域为
0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，求函数()y f x =的值域和零点． 20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,E F 分别是1,BB CD 的中点． （1）求三棱锥1E AA F -的体积；
（2）求异面直线EF 与AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知函数13()3x x a f x b
+-+=+．
（1）当1a b ==时，求满足()3x
f x ≥的x 的取值范围；
（2）若()y f x =的定义域为R ，又是奇函数，求()y f x =的解析式，判断其在R 上
的单调性并加以证明．
22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分．
已知椭圆的焦点()()121,0,1,0F F -，过10,2P ⎛
⎫
⎪⎝⎭
作垂直于y 轴的直线被椭圆所截线段
1F 作直线l 与椭圆交于A 、B 两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若A 是椭圆与y 轴负半轴的交点，求PAB ∆的面积；
（3）是否存在实数t 使1PA PB tPF +=，若存在，求t 的值和直线l 的方程；若不存在，说明理由．
23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知函数x x f 2log )(=,若),(),(,221a f a f ),(,),(3n a f a f )(,42*
N n n ∈+ 成等差数列.
(1)求数列)}({*N n a n ∈的通项公式；
(2)设)(k g 是不等式)(32)3(log log *
22N k k x a x k ∈+≥-+整数解的个数，求
)(k g ；
(3)记数列12n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n S ，是否存在正数λ，对任意正整数,n k ，使2n S λ-<恒成立？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.
参考答案
2012.1.6
一．填空题
1. 1
2. 12i ±
3. ()1,6-
4. (0,3]
5.i
6. 11
7. 31
x y =⎧⎨=⎩ 8. 2 9. 2
1a a ++ 10. 223+
11. (1,2)
12. 4 13. 21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭
二．选择题（本大题满分20分） 15. A 16.A 17.C 18. D
三．解答题（本大题满分74分）
19.
解：化简2
2sin cos 1y x x x =--
1cos 2212sin 26x x x π=---⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭……………………（4分）
因为72,666x π
ππ⎡⎤+
∈⎢⎥⎣⎦
， 所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤
+
∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
……………………（6分）
即2y ⎡∈-+⎣……………………（8分）
由2sin 206x π⎛⎫
-++= ⎪⎝
⎭
得……………………（9分） 零点为12
x π
=或4
x π=
……………………（12分）
20. 解：（1）11
1
3E AA F A AE V S BC -∆=
⋅……………………………………（3分） 1E AA F V -14
2233
=⋅⋅=……………………………………………（6分）
（2）连结EC
可知EFC ∠为异面直线EF 与AB 所成角，…………………（9分）
在Rt FEC ∆中，EC =1FC =，……………………（10分）
所以tan EFC ∠=，………………………………………（13分）
即EFC ∠=14分）
21. 解：（1）由题意，1
31331
x x x +-+≥+，化简得()2
332310x x ⋅+⋅-≤……………（2分） 解得1
133
x
-≤≤
…………………………………………………………（4分） 所以1x ≤-……………………………………（6分，如果是其它答案得5分） （2）已知定义域为R ，所以()10=
013a
f a b
-+=⇒=+，…………………（7分） 又()()1103f f b +-=⇒=，……………………………………………………（8分）
所以()11333
x
x f x +-=+；…………………………………………………………（9分）
()11311312133331331x x x x x f x +⎛⎫--⎛⎫
===-+ ⎪ ⎪+++⎝⎭
⎝⎭
对任意1212,,x x R x x ∈<
可知()()()()21
1
2
12121222333313133131x x x x x x f x f x ⎛⎫-⎛⎫ ⎪-=-= ⎪ ⎪
++++⎝⎭⎝⎭
…………（12分） 因为12x x <，所以21330x x
->，所以()()12f x f x <
因此()f x 在R 上递减．……………………………………………………………（14分）
22.解：(1) 设椭圆方程为22
221x y a b
+=，
由题意点12⎫⎪⎪
⎝⎭在椭圆上，22
1a b =+………………………………………（2分） 所以22
6114(1)b b
+=+，解得22
12x y +=…………………………………………（4分） （2）由题意1y x =-，………………………………………………………………（5分） 所以，()410,0,,33A B ⎛⎫
⎪⎝⎭
， …………………………………………………………（7分） 12
1
=⋅=
∆B ABP x AP S …………………………………………………………………（9分） （3
）当直线斜率不存在时，易求,1,A B ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭
，
所以)2
1
,1(),212,1(),212,
1(1-=+-=-=PF PB PA 由1PA PB tPF +=得2t =，直线l 的方程为1x =．……………………（11分） 当直线斜率存在时， 所以112211,,,22PA x y PB x y ⎛⎫⎛⎫=-
=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111,2PF ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭ 由1PA PB tPF +=得
121211222x x t t y y +=⎧⎪⎨-+-=-⎪⎩即121212
x x t
t y y +=⎧⎪
⎨+=-⎪⎩…………………………………（13分）
因为1212(2)y y k x x +=+-，所以1
2
k =- 此时，直线l 的方程为()1
12
y x =-
-………………………………………（16分） 注：由1PA PB tPF +=得1F 是AB 的中点或P 、A 、B 、1F 共线，不扣分．
23.解：（1）由题可知()222log 22n n f a n a n =+⇒=+………………（2分）
得22
2n n a +=．………………………………………………………………（4分）
（2）原式化简：
()()221221
221221212
log log )23log log (32)23
log (32)23
32220220
2,2k k k k k k k k x x k x x k x x k x x x x x +++++++++≥+⇒+⋅-≥+⎡⎤⇒⋅-≥+⎣⎦⇒-⋅+⋅≤⇒--≤⎡⎤⇒∈⎣⎦
……………………………………（8分）
其中整数个数()121k g k +=+．…………………………………………（10分）
（3）由题意，11111641211414
n n n
S ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦=⨯=--
12k +=…………………（12分）
又2
n S λ-<恒成立，0n S >，0λ>，
所以当n S
取最小值时，n S -14分）
又1n S <
4≥，所以2
14λλ-≤……………………………………（16分）
解得2λ≥-18分）。