海南省海口市2012届高三数学下学期第五次模拟考试 文 新人教A版

海南省海口市2012届高三第五次模拟考试文科
数 学（文史类）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、设集合{}260M x x x =+-≤， 103x N x x -⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则M N = A ．()2,1 B ．[)2,1 C ．(]2,1 D ．[)3,3-
2、a 为正实数，i 为虚数单位，2=+i
i a ，则=a A. 2 B. 3 C. 2 D. 1
3、某学校从高三全体500名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查，现将500名学生从l 到500进行编号，求得间隔数5001050
k ==，即每10人抽取一个人，在1~10中随机抽取一个数，如果抽到的是6，则从125~140的数中应取的数是
A ．126
B ．136
C ．126或136
D ．126和136
4、已知a b a ,2||,1||==与b 的夹角为600
,若b k a +与b 垂直,则k 的值为 A ．41- B ．41 C ．43-
D ．43 5、在等差数列{}n a 中，237110a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77
b a = 则8262log log b b + 等于
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
6、设实数x 、y 满足：3501020x y x y x ++≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩
，则24x y z =+的最小值是
A ．14
B ．12
C ．1
D ．8 7、如图为某个几何体的三视图，
则该几何体的侧面积为
A.π416+
B. π412+
C.π816+
D.π812+
8、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为-4，
则输出y 的值为
A ．0．5
B ．1
C ．2
D ．4
9、直线3230x y 与圆22:4O x y 交于A 、B 两点，则OA OB （ ）
A 、2
B 、-2
C 、4
D 、-4
10、双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为
A. 2
B. 3
C. 2
D. 3
11、已知函数y=2sin()(0)x ωθθπ+<<为偶函数，其图象与直线y=2的两个交点的横坐标分别为12,,x x 若21||x x -的最小值为π，则该函数的一个递增区间可以是
A ．3(,)44ππ
B ．(,)44ππ-
C ．(0,)2π
D ．(,)24
ππ-- 12、已知函数()x f 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2＞x 1＞1时，()()[]()1212x x x f x f --＜0恒成立，设()()3,2,21f c f b f a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-
=，则a 、b 、c 的大小关系为 A.c ＞a ＞b
B.c ＞b ＞a
C.a ＞c ＞b
D.b ＞a ＞c
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13、设sin 1+=43πθ（），则sin 2θ= 。

14、△ABC 中，若∠A、∠B、∠C 所对的边a ，b ，c 成等差数列，∠B=,3π
△ABC 的面积为43那么b= 。

15、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且这个
球的体积为
3
4π，已知该六棱柱的高为3，则这个六棱柱的体积为 。

16、对任意实数b a ,，函数()()b a b a b a F --+=21,，如果函数()322++-=x x x f ，()1+=x x g ，那么函数()()()()x g x f F x H ,=的最大值等于 。

.
三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．
17、（本小题满分12分）
已知数列{}n a ，{}n b ，满足条件12(0)n n a a k k +=+≠，10n n n b a a +=-≠.
（1）求证：数列{}n b 是等比数列；
（2）若11k a ==，求数列{}n a ，{}n b 的通项公式．
18、（本小题满分12分）
如图，点C 是以AB 为直径的圆上一点，直角梯形BCDE 所在平面与圆O 所在平面垂直，且DE//BC ，DC ⊥BC ，DE=2
1BC=2，AC=CD=3. （1）证明：EO//平面ACD ；
（2）证明：平面ACD ⊥平面BCDE ；
（3）求三棱锥E —ABD 的体积.
19、（本小题满分12分）
如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩（均为整数．．．．
）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：
（1）80~90这一组的频数、频率分别是多少？
(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数，众数、中位数。

(3) 从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，
求他们在同一分数段的概率.
20、（本小题满分12分）
已知对称中心为坐标原点的椭圆1C 与抛物线22:4C x y =有一个相同的焦点1F ，
直线:2l y x m =+与抛物线2C 只有一个公共点.
（1）求直线l 的方程；
（2）若椭圆1C 经过直线l 上的点P ，当椭圆1C 的长轴长取得最小值时，求椭圆1C 的方
程及点P 的坐标.
21、（本小题满分12分）
设函数()x b ax x x f ln 2
+-=，曲线()x f y =在()()1,1f M 处的切线方程为022=--y x 。

（1）试求b a ,的值及函数()x f y =的单调区间；
（2）证明：()22-≤x x f
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．
22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，已知O M 和相交于A 、B 两点，AD 为M 的直径，直线BD 交O 于点C ，点G 为弧BD 的中
点，连结AG 分别交O 、BD 于点E 、F ，连结CE 。

（1）求证：AG ·EF=CE ·GD ；
（2）求证：22.GF EF AG CE = 23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知某圆的极坐标方程是06)4cos(242=+-
-πθρρ，
求：（1）求圆的普通方程和一个参数方程；
（2）圆上所有点),(y x 中xy 的最大值和最小值.
24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()|2||1|.f x x x =+--
（1）试求()f x 的值域； （2）设233()(0),(0,),(,)ax x g x a s t x
-+=>∀∈+∞∀∈-∞+∞若对恒有g （s ）≥f （t ）成立，试求实数a 的取值范围，
湖南师大附中海口中学2012届高三
第五次模拟考试数学（文史类）参考答案
一、选择题
1～4 C B D A 5～8 B B A C 9～12 A D D D
二、填空题： 13、9
7- 14、4 15、 89 16、3 三、解答题17、解：（Ⅰ）当2n ≥时，
1111
1112()(2)(2)2n n n n n n n n n n n n n n a a b a a a k a k b a a a a a a ----+----+-+====---，……………….4分
所以数列{}n b 是以2为公比的等比数列．………………………………….6分
（Ⅱ）由11k a ==，则21213a a =+=，
则有1212b a a =-=,
所以1222n n n b -=⋅= .……………………8分
解法1：由121n n a a +=+得112(1)n n a a ++=+，又1120a +=≠,
所以数列{1}n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，……………………10分
所以11222n n n a -+=⋅=.
所以21n n a =-. …………………………………….12分
解法2：由已知得12n n n a a +-=,
则212a a -=；
2322a a -=；
3432a a -=；
112n n n a a ---=(2)n ≥.
累加得23112222n n a a --=++++. 即2311222221n n n a -=+++++=-.
当1n =时，11a =也成立，所以数列{}n a 的通项公式21n n a =-．………..12分
18、证明：（1）取线段AC 的中点F ,连接DF OF ,。

O 为线段AB 中点
∴BC OF BC OF 2
1//=且， 在直角梯形BCDE 中DE//BC ，DE=
21BC ∴DE OF DE OF =且//
∴四边形OEDF 为平行四边形
∴DF OE //，又ACD DF ACD OE 面，面⊂⊄
∴ACD OE 面//。

（2）依题意BC DC BC ABC BCDE ABC BCDE ⊥=⊥且面面面面,,
∴ ABC AC ABC DC 面面⊂⊥,
∴C BC DC BC AC AC DC =⊥⊥ ,,又
∴ACD AC BCDE AC 面又面⊂⊥,
∴.BCDE ACD 面面⊥
（3）由（1）、（2）及条件可知3322
121=⨯⨯=⨯⨯=∆DC DE S BDE 3=AC 为点A 到平面BDE 的距离。

∴3333
131=⨯⨯=⨯⨯==∆--AC S V V BDE BDE A ABD E 19、（1）依题意，80~90间的频率为：
()1-0.015+0.025+0.035+0.00510=0.12
⨯…2分 频数为: 40×0.1=4………4分
（2）这次环保知识竞赛成绩的
平均数5.6805.0951.08535.07525.06515.0551.045=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x
由频率分布直方图得752
8070=+为众数； 其中()5.010025.0015.001.0=⨯++所以中位数为70。

（3）因为80~90有4人，设为a,b,c,d ， 90～100有2人，设为A ，B ，从中任选2人，
共有如下15个基本事件（a,b ）,(a,c),(a,d),(a,A),(a,B),(b,c),(b,d),(b,A),(b,B),(c,d),(c,A), (c,B ），（d,A ），（d,B ）,(A,B)……10分
设分在同组记为事件M ，分在同一组的有（a,b ）,(a,c),(a,d), (b,c),(b,d), (c,d), (A,B)共7个，……11分
所以 ()M P =15
7……12分 20、解：（1）解法一：由⎩⎨⎧=+=y
x m x y 422，消去y 得0482=--m x x 。

直线l 与抛物线2C 只有一个公共点
∴04482=⨯+=∆m 解得4-=m
∴直线l 的方程为42-=x y
解法二：设直线l 与抛物线2C 的公共点坐标为()00,y x
由24
1x y =得x y 21=' ∴直线的斜率0210x y k x x =
'== 依题意得22
10=x 解得40=x 把40=x 代入抛物线2C 的方程得40=y
点()00,y x 在直线l 上
∴m +⨯=424解得4-=m
∴直线l 的方程为42-=x y
（2）解法一：抛物线2C 的焦点为()1,01F
依题意知椭圆1C 的两个焦点坐标为()()1,0,1,021-F F ，
设椭圆1C 的方程为11
22
22=-+a x a y ()1>a 由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=114222
22a x a
y x y 消去y 得()()()()01611164522222=--+---a
a x a x a ()* 由()[]()()()01614541
1622222≥-----=∆a a a a 得020524≥-a a 解得42≥a
∴2≥a
∴当2=a 时椭圆的长轴长取得最小值其值为4
此时椭圆1C 的方程为13
42
2=+x y 把2=a 代入方程()*得23=
x ，从而1-=y ∴点P 的坐标为⎪⎭
⎫ ⎝⎛-1,23
解法二： 抛物线2C 的焦点为()1,01F
依题意知椭圆1C 的两个焦点坐标为()()1,0,1,021-F F ，
设点()1,01F 关于直线l 的对称点为()001,y x F '
则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⨯=+-=⨯-4222
11210000x y x y 解得⎩⎨⎧-==1400y x ∴点()1,41-'F
∴直线l :42-=x y 与直线1F '2F ：1-=y 的交点为⎪⎭
⎫
⎝⎛-1,230P 由椭圆定义及平面几何知识得 椭圆1C 的长轴长42212121='≥+'=+=F F PF F P PF PF a
其中当点P 与0P 重合时，上面不等式取等号。

∴当2=a 时椭圆的长轴长取得最小值其值为4
此时椭圆1C 方程为13422=+x y ，点P 的坐标为⎪⎭
⎫ ⎝⎛-1,23。

21、解：（I ） ()x b ax x x f ln 2
+-= ∴()12.b f x ax x
'=-+ …………1分 又曲线()x f y =在()()1,1f M 处的切线方程为022=--y x 。

∴2(1)20,10,(1) 2.12 2.
f a f a b --=-=⎧⎧⎨⎨'=-+=⎩⎩即 …………2分 解得1, 3.a b == ………………3分
∴()x x x x f ln 32
+-=其定义域为()+∞,0 ∴()()()1233()12,0,x x f x x x x x +-'=-+
=-∈+∞ ………………4分 当2
30<<x 时，()0>'x f ； 当23>x 时，()0<'x f ()x f y =∴的单调递增区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛
23,0，单调递减区间为⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,23。

………………6分
（2）设()2()()(22)23ln ,0,g x f x x x x x x =--=--+∈+∞ ………………7分
则3(1)(23)()12.x x g x x x x
-+'=--+=- ………………8分 当10<<x 时，()0>'x g ； 当1>x 时，()0<'x g
()x g y =∴在()1,0上单调递增，在()+∞,1上单调递减， ………………10分 而()01=g ，故当0>x 时()0≤x g ，即()22-≤x x f ………………12分
22、证明（1）连接BG AB ,.则BCE BAG BDG ∠=∠=∠
点G 为弧BD 的中点
∴GAD BAG ∠=∠从而GAD BCE ∠=∠
又 AD 为M 的直径
∴0090,90=∠+∠=∠+∠ADG GAD CFE BAG
∴ADG CFE ∠=∠
∴CEF ∆∽AGD ∆ ∴GD
EF AG CE = 即AG ·EF=CE ·GD （2）由（1）GDF ECF ∠=∠而GFD EFC ∠=∠
∴CEF ∆∽DGF ∆
∴EF
GF EC GD = 即EC GF EF GD ⋅=⋅ ① 而AG ·EF=CE ·GD ②
由①②得GD CE EC GF EF AG EF GD ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅
即2
2
.GF EF AG CE =
23、解：（1）普通方程：224460x y x y +--+=┈┈2分；
参数方程：2
2x y θθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩ （θ为参数）┈┈4分
（2）(2)(2)4cos )2sin cos xy θθθθθθ==+++┈┈5分
令
2sin cos ,2sin cos 1t t θθθθ⎡+=∈=-⎣，则23xy t =++┈┈6分
当t =1；┈┈8分
当t =
9；┈┈10分
24、解：（1）函数可化为()()()()⎪⎩
⎪⎨⎧>≤≤-+-<-=1,312,122,3x x x x x f ，
∴()33≤≤-x f ，即()f x 的值域为[]3,3-。

】
（2）若0>x ，则()33233332-≥-+=+-=a x
ax x x ax x g ， 当且仅当x ax 3=即a
x 3=时()332min -=a x g ， 又由（1）知()3max =x f
(0,),(,)s t ∀∈+∞∀∈-∞+∞若对，恒有g （s ）≥f （t ）成立， 即()()max min x f x g ≥
3332≥-∴a
解得3≥a
∴实数a 的取值范围为[)+∞,3。