调兵山市第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

调兵山市第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． “1＜m ＜3”是“方程+
=1表示椭圆”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2． 在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长概率为
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 实数x ，y 满足不等式组，则下列点中不能使u=2x+y 取得最大值的是（ ）
A ．（1，1）
B ．（0，3）
C ．（，2）
D ．（，0）
4． 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是，，，已知85b c =，2C B =，则cos C =（ ） A ．
725
B ．725- C. 725± D ．2425
5． 函数y=2|x|的定义域为[a ，b]，值域为[1，16]，当a 变动时，函数b=g （a ）的图象可以是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 若函数f （x ）=ka x ﹣a ﹣x ，（a ＞0，a ≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则g （x ）=log a （x+k ）的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 函数y=a x +1（a ＞0且a ≠1）图象恒过定点（ ）
A ．（0，1）
B ．（2，1）
C ．（2，0）
D ．（0，2）
8． 已知向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，）平行，则λ=（ ）
A ．
B ．
C ．﹣
D ．﹣
9． 已知数列{a n }是等比数列前n 项和是S n ，若a 2=2，a 3=﹣4，则S 5等于（ ） A ．8
B ．﹣8
C ．11
D ．﹣11
10．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的a=（ ）
A ．2
B ．
C ．﹣1
D ．以上都不正确
11．已知2->a ，若圆1O ：01582222=---++a ay x y x ，圆2O ：0
44222
22=--+-++a a ay ax y x 恒有公共点，则a 的取值范围为（ ）.
A ．),3[]1,2(+∞--
B ．),3()1,35
(+∞-- C ．),3[]1,3
5[+∞-- D ．),3()1,2(+∞--
12．如图，在△ABC 中，AB=6，AC=4，A=45°，O 为△ABC 的外心，则•等于（ ）
A ．﹣2
B ．﹣1
C ．1
D ．2
二、填空题
13．已知三棱锥ABC D -的四个顶点均在球O 的球面上，ABC ∆和DBC ∆所在的平面互相垂直，3=AB ，
3=AC ，32===BD CD BC ，则球O 的表面积为 .
14．甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，则至少有一
个红球的概率为．
15．将一个半径为3和两个半径为1的球完全装入底面边长为6的正四棱柱容器中，则正四棱柱容器的高的最小值为．
16
．设函数，若用表示不超过实数m
的最大整数，则函数
的值域为．
17．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（﹣
2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是．
18．幂函数1
2
22
)3
3
)
(+
-
+
-
=m
m
x
m
m
x
f（在区间()
+∞
,0上是增函数，则=
m．
三、解答题
19．（本小题满分12分）
在等比数列{}n a中，33
39
,
22
a S
==．
（1）求数列{}n a的通项公式；
（2）设
2
21
6
log
n
n
b
a
+
=，且{}n b为递增数列，若
1
1
n
n n
c
b b
+
=，求证：
123
1
4
n
c c c c
++++<．20．【南师附中2017届高三模拟二】已知函数()()
32
3
131,0
2
f x x a x ax a
=+--+>．
（1）试讨论()()0
f x x≥的单调性；
（2）证明：对于正数a，存在正数p，使得当[]
0,
x p
∈时，有()
11
f x
-≤≤；
（3）设（1）中的p的最大值为()
g a，求()
g a得最大值．
21．某农户建造一座占地面积为36m2的背面靠墙的矩形简易鸡舍，由于地理位置的限制，鸡舍侧面的长度x 不得超过7m，墙高为2m，鸡舍正面的造价为40元/m2，鸡舍侧面的造价为20元/m2，地面及其他费用合计为1800元．
（1）把鸡舍总造价y表示成x的函数，并写出该函数的定义域．
（2）当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？
22．设函数，若对于任意x∈[﹣1，2]都有f（x）＜m成立，求实数m的取值范围．
23．已知m≥0，函数f（x）=2|x﹣1|﹣|2x+m|的最大值为3．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若实数a，b，c满足a﹣2b+c=m，求a2+b2+c2的最小值．
24．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况的统计图如下：
（Ⅰ）估计该校男生的人数；
（Ⅱ）估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；
（Ⅲ）从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm之间的概率．
调兵山市第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：若方程+=1表示椭圆，
则满足，即，
即1＜m＜3且m≠2，此时1＜m＜3成立，即必要性成立，
当m=2时，满足1＜m＜3，但此时方程+=1等价为为圆，不是椭圆，不满足条件．即充分性不成立
故“1＜m＜3”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件，
故选：B
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键．
2．【答案】C
【解析】解：如图所示，△BCD是圆内接等边三角形，
过直径BE上任一点作垂直于直径的弦，设大圆的半径为2，则等边三角形BCD的内切圆的半径为1，
显然当弦为CD时就是△BCD的边长，
要使弦长大于CD的长，就必须使圆心O到弦的距离小于|OF|，
记事件A={弦长超过圆内接等边三角形的边长}={弦中点在内切圆内}，
由几何概型概率公式得P（A）=，
即弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是．
故选C．
【点评】本题考查了几何概型的运用；关键是找到事件A对应的集合，利用几何概型公式解答．
3．【答案】D
【解析】解：由题意作出其平面区域，
将u=2x+y化为y=﹣2x+u，u相当于直线y=﹣2x+u的纵截距，
故由图象可知，
使u=2x+y取得最大值的点在直线y=3﹣2x上且在阴影区域内，
故（1，1），（0，3），（，2）成立，
而点（，0）在直线y=3﹣2x上但不在阴影区域内，
故不成立；
故选D．
【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，注意点在阴影区域内；属于中档题．4．【答案】A
考
点：正弦定理及二倍角公式.
【思路点晴】本题中用到了正弦定理实现三角形中边与角的互化，同角三角函数间的基本关系及二倍角公式，如θθθθθ2222
sin cos 2cos ,1cos sin -==+,这要求学生对基本公式要熟练掌握解三角形时常借助于正弦定
理
R C
c
B b A 2sin sin sin a ===，余弦定理A bc c b a cos 2222-+=， 实现边与角的互相转化. 5． 【答案】B
【解析】解：根据选项可知a ≤0
a 变动时，函数y=2|x|的定义域为[a ，b]，值域为[1，16]，
∴2|b|
=16，b=4
故选B ．
【点评】本题主要考查了指数函数的定义域和值域，同时考查了函数图象，属于基础题．
6． 【答案】C
【解析】解：∵函数f （x ）=ka x ﹣a ﹣x
，（a ＞0，a ≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数 则f （﹣x ）+f （x ）=0
即（k ﹣1）（a x ﹣a ﹣x
）=0
又∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函数
则a＞1
则g（x）=log a（x+k）=log a（x+1）
函数图象必过原点，且为增函数
故选C
【点评】若函数在其定义域为为奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，若函数在其定义域为为偶函数，则f（﹣x）﹣f（x）=0，这是函数奇偶性定义的变形使用，另外函数单调性的性质，在公共单调区间上：增函数﹣减函数=增函数也是解决本题的关键．
7．【答案】D
【解析】解：令x=0，则函数f（0）=a0+3=1+1=2．
∴函数f（x）=a x+1的图象必过定点（0，2）．
故选：D．
【点评】本题考查了指数函数的性质和a0=1（a＞0且a≠1），属于基础题．
8．【答案】C
【解析】解：∵向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，）平行，
∴==，
∴λ=﹣．
故选：C．
【点评】本题考查了空间向量平行（共线）的问题，解题时根据两向量平行，对应坐标成比例，即可得出答案．
9．【答案】D
【解析】解：设{a n}是等比数列的公比为q，
因为a2=2，a3=﹣4，
所以q===﹣2，
所以a1=﹣1，
根据S5==﹣11．
故选：D ．
【点评】本题主要考查学生运用等比数列的前n 项的求和公式的能力，本题较易，属于基础题．
10．【答案】 B
【解析】解：模拟执行程序，可得 a=2，n=1
执行循环体，a=，n=3
满足条件n ≤2016，执行循环体，a=﹣1，n=5 满足条件n ≤2016，执行循环体，a=2，n=7
满足条件n ≤2016，执行循环体，a=，n=9 …
由于2015=3×671+2，可得：
n=2015，满足条件n ≤2016，执行循环体，a=，n=2017
不满足条件n ≤2016，退出循环，输出a 的值为． 故选：B ．
11．【答案】C
【解析】由已知，圆1O 的标准方程为222
(1)()(4)x y a a ++-=+，圆2O 的标准方程为 222
()()(2)x a y a a ++-=+，∵
2->a ，要使两圆恒有公共点，则122||26O O a ≤≤+，即 62|1|2+≤-≤a a ，解得3≥a 或1
35
-≤≤-a ，故答案选C
12．【答案】A
【解析】解：结合向量数量积的几何意义及点O 在线段AB ，AC 上的射影为相应线段的中点，
可得，
，则
•
=
=16﹣18=
﹣2； 故选A ．
【点评】本题考查了向量数量积的几何意义和三角形外心的性质、向量的三角形法则，属于中档题
二、填空题
13．【答案】
16π
【解析】如图所示，∵222AB AC BC +=，∴CAB ∠为直角，即过△ABC 的小圆面的圆心为BC 的中点O '，ABC △和DBC △所在的平面互相垂直，则球心O 在过DBC △的圆面上，即DBC △的外接圆为球大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球半径为2R =，球的表面积为24π16πS R ==
14．【答案】9
8
【
解析
】
【易错点睛】古典概型的两种破题方法：（1）树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求．另外在确定基本事件时，),(y x 可以看成是有序的，如()1,2与()2,1不同；有
时也可以看成是无序的，如)1,2)(2,1(相同．（2）含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，考虑其反面，即对立事件，应用)(1)(A P A P -=求解较好． 15．【答案】
4+ ．
【解析】解：作出正四棱柱的对角面如图， ∵底面边长为6，∴
BC=，
球O 的半径为3，球O 1 的半径为1，
则，
在Rt △OMO 1中，OO 1=4
，
，
∴
=
，
∴正四棱柱容器的高的最小值为
4+
．
故答案为：4+．
【点评】本题考查球的体积和表面积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．16．【答案】{0，1}．
【解析】解：
=[﹣]+[+]
=[﹣]+[+]，
∵0＜＜1，
∴﹣＜﹣＜，＜+＜，
①当0＜＜时，
0＜﹣＜，＜+＜1，
故y=0；
②当=时，
﹣=0，+=1，
故y=1；
③＜＜1时，
﹣＜﹣＜0，1＜+＜，
故y=﹣1+1=0；
故函数的值域为{0，1}．
故答案为：{0，1}．
【点评】本题考查了学生的化简运算能力及分类讨论的思想应用．
17．【答案】
．
【解析】
解：已知
∴
∴为所求；
故答案为： 【点评】本题主要考查椭圆的标准方程．属基础题．
18．【答案】 【解析】
【方法点睛】本题主要考查幂函数的定义与性质,属于中档题.幂函数定义与性质应用的三个关注点：（1）若幂函数()y x
R α
α=∈是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断；（2）若幂函
数()y x R α
α=∈在()0,+∞上单调递增，则α0>，若在()0,+∞上单调递减，则0α<；（3）在比较幂值
的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 1
三、解答题
19．【答案】（1）1
31622n n n a a -⎛⎫
==- ⎪
⎝⎭
或；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）将3339,22a S ==化为1,a q ，联立方程组，求出1,a q ，可得1
31622n n n a a -⎛⎫
==- ⎪
⎝⎭
或；（2）
由于{}n b 为递增数列，所以取1
162n n a -⎛⎫
=⋅- ⎪
⎝⎭
，化简得2n b n =，()1111114141n n n c b b n n n n +⎛⎫
=
==- ⎪++⎝⎭
，
其前项和为()111
4414
n -
<+.
考点：数列与裂项求和法．1 20．【答案】（1）证明过程如解析；（2）对于正数a ，存在正数p ，使得当[]
0,x p ∈时，有()11f x -≤≤；
（3）()g a 【解析】【试题分析】（1）先对函数()()3
23
131,02
f x x a x ax a =+
--+>进行求导，再对导函数的值的 符号进行分析，进而做出判断；（2）先求出函数值
()01,f =()3213122f a a a =--+=
()()2
11212
a a -+-，进而分()1f a ≥-和()1f a <-两种情形进行 分析讨论，推断出存在()0,p a ∈使得()10f p +=，从而证得当[]
0,x p ∈时，有()11f x -≤≤成立；（3） 借助（2）的结论()f x ：在[
)0,+∞上有最小值为()f a ，然后分011a a ≤，两种情形探求()g a 的解析表达式和最大值。

证明：（1）由于()()2
3313f x x a x a =+--'()()31x x a =+-，且0a >，
故()f x 在[]0,a 上单调递减，在[
),a +∞上单调递增．
（3）由（2）知()f x 在[
)0,+∞上的最小值为()f a ．
当01a <≤时，()1f a ≥-，则()g a 是方程()1f p =满足p a >的实根，
即()2
23160p a p a +--=满足p a >的实根，
所以()()314
a g a -=
．
又()g a 在(]
0,1上单调递增，故()()max 1g a g == 当1a >时，()1f a <-，由于()()()9
01,11112
f f a ==--<-， 故][0,0,1p ⎡⎤⊂⎣⎦．此时，()1
g a ≤．
综上所述，()g a 21．【答案】
【解析】解：（1）…
=
…
定义域是（0，7]…
（2）∵，…
当且仅当
即x=6时取=…
∴y ≥80×12+1800=2760…
答：当侧面长度x=6时，总造价最低为2760元．…
22．【答案】
【解析】解：∵，
∴f′（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），
∴当x∈[﹣1，﹣），（1，2]时，f′（x）＞0；
当x∈（﹣，1）时，f′（x）＜0；
∴f（x）在[﹣1，﹣），（1，2]上单调递增，在（﹣，1）上单调递减；
且f（﹣）=﹣﹣×+2×+5=5+，f（2）=8﹣×4﹣2×2+5=7；
故f max（x）=f（2）=7；
故对于任意x∈[﹣1，2]都有f（x）＜m成立可化为7＜m；
故实数m的取值范围为（7，+∞）．
【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于中档题．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f（x）=2|x﹣1|﹣|2x+m|=|2x﹣2|﹣|2x+m|≤|（2x﹣2）﹣（2x+m）|=|m+2| ∵m≥0，∴f（x）≤|m+2|=m+2，当x=1时取等号，
∴f（x）max=m+2，又f（x）的最大值为3，∴m+2=3，即m=1．
（Ⅱ）根据柯西不等式得：（a2+b2+c2）[12+（﹣2）2+12]≥（a﹣2b+c）2，
∵a﹣2b+c=m=1，∴，
当，即时取等号，∴a2+b2+c2的最小值为．
【点评】本题考查绝对值不等式、柯西不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）样本中男生人数为2+5+13+14+2+4=40，
由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为=400；
（Ⅱ）∵样本中身高在170～185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，
样本容量为70，
∴样本中学生身高在170～185cm之间的频率，
故可估计该校学生身高在170～180cm之间的概率p=0.5；
（Ⅲ）样本中身高在180～185cm之间的男生有4人，设其编号为①，②，③，④，
样本中身高在185～190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤，⑥，
从上述6人中任取2人的树状图为：
∴从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，
求至少有1人身高在185～190cm之间的可能结果数为9，
∴所求概率p2=．
【点评】抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决一部分抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以知二求一．这是一个统计综合题，可以作为一个解答题出在文科的试卷中．。