九年级上册(北师大版)数学课时练习：菱形的性质与判定(有答案)

九年级上册（北师大版）数学课时练习：菱形的性质与判定（有答案）
菱形的性质与判定
一．填空题（共10小题）
1．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，对角线AC平分角∠BAD，点P是△ABC内一点，连接PA、PB、PC，若PA=6，PB=8，PC=10，则菱形ABCD的面积等于．
2．如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，则= ．
3．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，AF、DE 交于点G，BF、CE交于点H．当▱ABCD满足，四边形EHFG是菱形．
4．已知，如图，△ABC中，E为AB的中点，DC∥AB，且DC=AB，请对△ABC添加一个条件：，使得四边形BCDE成为菱形．
5．如图，A、B两点的坐标分别为（5，0）、（1，3），点C 是平面直角坐标系内一点．若以O、A、B、C四点为顶点的四边形是菱形，则点C的坐标为．
6．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF，给出下列条件：①BE⊥EC；
②AB=AC；③BF∥EC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是（只填写序号）．
7．如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD 的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形
OE的长为（）
A．6 B．5 C．2
D．4
15．如图，在菱形ABCD中，∠A=100°，E，F分别是边AB 和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（）
A．35° B．45° C．50°D．55°
16．如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，NM=AN，ME⊥AD，NF⊥AB；若NF=2，则ME=（）
A．2 B．3 C．4 D．5 17．如图，在菱形ABCD中，点E，点F为对角线BD的三等分点，过点E，点F与BD垂直的直线分别交AB，BC，AD，DC 于点M，N，P，Q，MF与PE交于点R，NF与EQ交于点S，已知四边形RESF的面积为5cm2，则菱形ABCD的面积是（）A．35cm2 B．40cm2 C．45cm2
D．50cm2
18．如图，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE的度数为（）
A．20° B．25° C．30°
D．35°
19．如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，cosA=，则下列结论中正确的个数为（）
①DE=3cm；②EB=1cm；③S菱形ABCD=15cm2
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个20．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=8cm，BD=6cm，则菱形的高为（）
A． cm B． cm C． cm D． cm 三．解答题（共4小题）
21．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=40cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．22．如图，在▱ABCD中，BD是对角线，且DB⊥BC，E、F分别为边AB、CD的中点．求证：四边形DEBF是菱形．
23．如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG 平分∠CAB，连接GE，GD．
（1）求证：△ECG≌△GHD；
（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．
（3）若∠B=30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．
24．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边AC上，AD=BD=DE，联结BE，∠ABC=∠DBE=72°；
（1）联结CE，求证：CE=BE；
（2）分别延长CE、AB交于点F，求证：四边形DBFE是菱形．
参考答案
一．填空题
1．50+72．
2．．
3．AB⊥BC．
4．AB=2BC．
5．（﹣4，3）．
6．②．
7．AC⊥EF．
8．AB=BC，或AC⊥BD．
9．此题答案不唯一，如AC⊥BD或AB=AD等．10．AD=AB．
二．选择题
11．D．
12．A．
13．D．
14．D．
15．C．
16．C．
17．C．
18．C．
19．A．
20．B．
三．解答题
21．（1）证明：能．
理由如下：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=4t，∴DF=2t，
又∵AE=2t，
∴AE=DF，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
又∵AE=DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
当AE=AD时，四边形AEFD为菱形，
即40﹣4t=2t，解得t=．
∴当t=秒时，四边形AEFD为菱形．
（2）①当∠DEF=90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形，
∴EF∥AD，
∴∠ADE=∠DEF=90°，
∵∠A=60°，
∴∠AED=30°，
∴AD=AE=t，
又AD=40﹣4t，即40﹣4t=t，解得t=8；
②当∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A=60°，则∠ADE=30°，
∴AD=2AE，即40﹣4t=4t，解得t=5．
③若∠EF D=90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．
综上所述，当t=8或5秒时，△DEF为直角三角形．22．证明：∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴DF=DC，BE=AB，
又∵在▱ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∴DF∥BE，DF=BE，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∵DB⊥BC，
∴∠DBC=90°，
∴△DBC为直角三角形，
又∵F为边DC的中点，
∴BF=DC=DF，
又∵四边形DEBF为平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形．
23．解：（1）∵AF=FG，
∴∠FAG=∠FGA，
∵AG平分∠CAB，
∴∠CAG=∠FGA，
∴∠CAG=∠FGA，
∴AC∥FG，
∵DE⊥AC，
∴FG⊥DE，
∵FG⊥BC，
∴DE∥BC，
∴AC⊥BC，
∴∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，∵F是AD的中点，FG∥AE，
∴H是ED的中点，
∴FG是线段ED的垂直平分线，
∴GE=GD，∠GDE=∠GED，
∴∠CGE=∠GDE，
∴△ECG≌△GHD；
（2）证明：过点G作GP⊥AB于P，∴GC=GP，而AG=AG，
∴△CAG≌△PAG，
∴AC=AP，
由（1）可得EG=DG，
∴Rt△ECG≌Rt△GPD，
∴EC=PD，
∴AD=AP+PD=AC+EC；
（3）四边形AEGF是菱形，
证明：∵∠B=30°，
∴∠ADE=30°，
∴AE=AD，
∴AE=AF=FG，
由（1）得AE∥FG，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AEGF是菱形．
24．证明：（1）∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=72°，
∴∠A=180°﹣72°﹣72°=36°，∵AD=BD，
∴∠1=∠A=36°，
∴∠2=36°，
∵∠DBE=72°，
∴∠3=36°，
∵BD=DE，
∴∠DEB=∠DBE=72°，
∴∠BOE=180°﹣∠3﹣∠DEB=72°，∴∠4=∠BOE﹣∠2=36°，
∴∠2=∠4，
∴DO=BO，
∵∠2=36°，∠ACB=72°，
∴∠BDC=180°﹣∠2﹣∠DCB=72°，∴BC=BD，
∵BD=DE，
∴BC=DE，
∴DE﹣DO=BC﹣BO，
∴CO=EO，
∵∠7=∠8，
∴∠5=∠==∠4=36°，∴∠5=∠3=36°，
∴CE=BE；
（2）∵∠4=∠1=36°，
∴DE∥BF，
∵∠2=∠5=36°，
∴EF∥DB，
∴四边形DEFB是平行四边形，
∵DE=DB，
∴四边形DBFE是菱形．。