北师大版九年级数学上册学案：第四章图形的相似

第四章 九年级数学 图形的相似
1 成比例线段
专题 综合运用比例性质
1. 若32a +＝4b ＝6
5c +，且2a －b ＋3c ＝21，求4a －3b ＋c 的值．
2．如图，已知BE AB ＝ME AM ＝CE AC ，求证：BC CA BC AB ++＝ME
AE ．
【知识要点】
1．成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，我们就把这四条线段叫做成比例线段． 2．比例的基本性质
(1)如果a b ＝c
d ，那么ad ＝bc ，
(2)如果a b ＝b
c ，那么b 2＝ac ，
(3)如果a b ＝c
d ，那么a ±b b ＝c ±d d
.
【温馨提示】
四条线段的长度单位不统一时，要化成统一的长度单位后，再计算判断是否成比例，防止出错． 【方法技巧】
1．比例式是等式，故可利用等式性质将比例式变形．
2．遇到比例式时，可设辅助未知数k ，即设这些比的比值为k ，这种借助另一个未知数的解题方法叫辅助未知数法．
3．利用比例的基本性质可求长度，通常是“知三求一”，有时也可以设适当未知数列方程求解．
参考答案：
1．解：设
32a +＝4b ＝6
5
c +＝k ，则a ＋2＝3k ，b ＝4k ，c ＋5＝6k ， 即a ＝3k －2，b ＝4k ，c ＝6k －5．
∵2a －b ＋3c ＝21，∴2（3k －2）－4k ＋3（6k －5）＝21， ∴k ＝2．∴a ＝4，b ＝8，c ＝7． ∴4a －3b ＋c ＝4×4－3×8＋7＝－1． 2．证明：∵BE AB ＝ME AM ＝CE AC ，∴ CE BE AC AB ++＝EM
AM ，
即
BC AC AB +＝ME AM ，∴BC CA BC AB ++＝ME
ME AM +，
即BC
CA BC AB ++＝ME AE ．
2 平行线分线段成比例
专题 平行线分线段成比例定理的灵活运用
如图，AB ∥CD 、AD ∥CE ，F 、G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB 、AD 、CD 、CE 于点M 、N 、P 、Q ，求证：MN ＋PQ ＝2PN ．
【知识要点】
1．两条直线被一组平行线所截，所得的应对线段成比例。

2．平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。

【方法技巧】
1．当题目中出现三条以上平行线，且求线段的长度或比值时常利用平行线获得比例线段． 2．证明比例式（或等积式）的常用方法是利用平行线分线段成比例定理，或者通过判定三角形相似，有时要通过两次相似的判定，等量代换，寻找中间比等才能得到待证的比例式．
参考答案：
3 相似多边形
专题与相似多角形的性质与判定有关的题
1．相似多边形指的是（）
A．各角都相等的多边形
B．各边都相等的多边形
C．各边对应成比例的多边形
D．边数相同，对应角相等，对应边成比例的多边形2.如图，若两个多边形相似，求x的值.
3.图中的两个多边形相似吗？说说你判断的理由．
【知识要点】
1.各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
2.相似多边形的对应边的比叫做相似比.
【温馨提示】
相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．
【方法技巧】
找准对应角、对应边是解决本题的关键．
参考答案
1.D
2.解：∵相似多边形的对应边成比例，
∴12：18=21：x，
解得：x=31.5．
3.解：不相似．
理由：∵∠D=360°-135°-95°-72°=58°，∠E=360°-135°-95°-59°=71°，
∴两个四边形中不可能有“对应角相等”，
又∵没法判定对应边成比例，
∴不相似．
4 探索三角形相似的条件
专题一与相似三角形判定有关的题
1．如图，P是Rt△ABC斜边AB上任意一点(A，B两点除外)，过P点作一直线，使截得的三角形与Rt△ABC相似，这样的直线可以作()
A．1条B．2条C．3条D．4条
2．如图所示，正方形ABCD边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的端点M、N分别在CD、AD上滑动，当DM＝________时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．
3．(2012·怀化)如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝4，∠OBC＝30°，点C是弦AB上任意一点(不与点A、B重合)，连结CO并延长交⊙O于点D，连结AD、DB.
(1)当∠ADC＝18°时，求∠DOB的度数；
(2)若AC＝23，求证：△ACD∽△OCB.
专题二黄金分割在实际中的应用
4．美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在自然界里，物体形状的比例却提供了在匀称与协调上的一种美感的参考，在数学上，这个比例称为黄金分割．在人体躯干(由脚底至肚脐的长度)与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，也就是说，若此比值越接近0.618，就越给别人一种美的感觉．如果某女士身高为1.65 m，躯干与身高的比为0.60，为了追求美，她想利用高跟鞋达到这一效果，那么她选的高跟鞋的高度约为()
A．2.5 cm B．5.3 cm
C．7.8 cm D．8.5 cm
5．(2012·宿迁)如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且P A＞PB，若S1表示P A为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，则S1________S2.(填“＞”“＝”
或“＜”)
6．宽与长之比为5－1
2∶1的矩形叫黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、
匀称的美感，如图，如果在一个黄金矩形里画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论．
【知识要点】
1．相似三角形的定义
三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 2．相似三角形的条件
(1)两角分别相等的两个三角形相似．
(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． (3)三边成比例的两个三角形相似． 3．黄金分割
一般的，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝BC
AC ，那么称线段AB 被点C
黄金分割.点C 叫做线段AB 的黄金分割点．
【温馨提示】
1．运用相似三角形的关键是找准对应边和对应角． 2．全等三角形是特殊的相似三角形．
3．两边对应成比例，必须是夹角对应相等，这两个三角形才相似． 4. 黄金比即AC ∶AB ＝
5－1
2
∶1≈0.618. 【方法技巧】
识别两个三角形相似的几种思路：
(1)若有一对等角，可找另一对等角，或找夹它的两边对应成比例； (2)若有两边对应成比例，可找其夹角相等；
(3)若有等腰三角形，则可找顶角相等，或找一对底角相等，或找底和腰对应成比例； (4)若有平行线，则可直接得相似三角形相似；
(5)若所证成比例的四条线段不在两个相似三角形中，可用中间比转换．
答案
1．C 解析：有三条：①过点P 作AB 边上的垂线，可得出一条符合要求的直线； ②另外两条分别是AC 、BC 两边的平行线． 故选 C. 2．
55或255
解析：∵正方形ABCD 的边长是2， ∴BE ＝CE ＝1，∠B ＝∠D ＝90°，
∴在Rt △ABE 中，AE ＝22＋12＝ 5.
第一种情况：当△ABE ∽△MDN 时，AE ∶MN ＝AB ∶DM ， 即5∶1＝2∶DM ，∴DM ＝25
5
；
第二种情况：当△ABE ∽△NDM 时，AE ∶MN ＝BE ∶DM ， 即5∶1＝1∶DM ，∴DM ＝55
. ∴DM ＝255或5
5
.
3．解：(1)连接AO ，则∠OAC ＝∠OBC ＝30°，∠OAD ＝∠ADC ＝18°， ∴∠DAC ＝30°＋18°＝48°， ∴∠DOB ＝2∠DAC ＝96°.
(2)证明：过点O 作AB 的垂线，垂足为G ，在Rt △OGB 中，OB ＝4，∠OBC ＝30°， ∴OG ＝2，GB ＝2 3.
∵AC ＝23，∴点C 与点G 重合，∴∠ACD ＝∠BCO ＝90°. 又AC OC ＝3＝CD
CB
，∴△ACD ∽△OCB . 4．C 解析：根据已知条件得下半身长是165×0.6＝99(cm)，
设选的高跟鞋的高度是x cm ，则根据黄金分割的定义得：99＋x 165＋x ＝0.618，
解得：x ≈7.8 (cm)． 故选 C.
5．＝ 解析：∵P 是线段AB 的黄金分割点，且P A ＞PB ， ∴P A 2＝PB ·AB .
又∵S 1表示P A 为一边的正方形的面积，S 2表示长是AB ，宽是PB 的矩形的面积， ∴S 1＝P A 2，S 2＝PB ·AB ， ∴S 1＝S 2. 故答案为＝.
6．解：留下的矩形CDFE 是黄金矩形． 证明：∵四边形ABEF 是正方形， ∴AB ＝DC ＝AF . 又∵AB
AD ＝5－12，
∴AF AD ＝5－12
， 即点F 是线段AD 的黄金分割， ∴FD AF ＝AF AD ＝5－12， 即
FD DC ＝5－12
， ∴矩形CDFE 是黄金矩形．
5 相似三角形判定定理的证明
专题 相似三角形判定定理的证明
“两边对应成比例且夹角对应相等的两个三角形相似”，如图，已知
（AB ＞DE ），
∠A=∠D ，求证：△ABC ∽△DEF.请利用转化的数学思想，通过添设辅助线，将未知的判定方法转化为前面已经学过的方法（即已知两组角对应相等推得相似或已知平行推得相似）．请利用上述方法完成这个定理的证明．
【方法技巧】
解题的关键是正确作出辅助线构造平行线或全等三角形．
答案：
证明：在AB上截取AG=DE，作GH∥BC，
∴△AGH∽△ABC，
AG=DE，
∴AH=DF，
∵∠A=∠D，
∴△AGH≌△DEF，
∴△ABC∽△DEF．
6 利用相似三角形测高
专题利用相似三角形的性质求树或建筑物的高
1．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE ＝40 cm，EF＝20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，则树高AB＝________m.
2．如图，为测量学校围墙外直立电线杆AB 的高度，小亮在操场上点C 处直立高3 m 的竹竿CD ，然后退到点E 处，此时恰好看到竹竿顶端D 与电线杆顶端B 重合；小亮又在点C 1处直立高3 m 的竹竿C 1D 1，然后退到点E 1处，此时恰好看到竹竿顶端D 1与电线杆顶端B 重合．小亮的眼睛离地面高度EF ＝1.5 m ，量得CE ＝2 m ，EC 1＝6 m ，C 1E 1＝3 m.. (1)△FDM ∽△________，△F 1D 1N ∽△________； (2)求电线杆AB 的高度．
【知识要点】
1．利用相似三角形求物高或影长． 2．构建相似三角形测量河宽． 【温馨提示】
利用影长计算或测量时，注意在同一时刻，物体的实际高度/影长＝被测物体的实际高度/被测物体的影长． 【方法技巧】
1．牢记相似三角形的性质和条件．
2．在测量无法到达顶部的物体的高度或测量不能直接到达的两点间的距离时，常构造相似三角形求解．
答案
1．5.5 解析：利用Rt △DEF 和Rt △BCD 相似求得BC 的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB . ∵∠DEF ＝∠BCD ＝90°，∠D ＝∠D ，∴△DEF ∽△DCB ，∴BC EF ＝DC
DE .
∵DE ＝40 cm ＝0.4 m ，EF ＝20 cm ＝0.2 m ，AC ＝1.5 m ，CD ＝8 m ，
∴BC 0.2＝8
0.4，∴BC ＝4(m)， ∴AB ＝AC ＋BC ＝1.5＋4＝5.5(m)． 2．解：(1)FBG F 1BG
(2)根据题意，∵D 1C 1∥BA ，∴△F 1D 1N ∽△F 1BG ，∴D 1N BG ＝F 1N
F 1G
. ∵DC ∥BA ，∴△FDM ∽△FBG ，∴DM BG ＝FM
FG
，
∵D 1N ＝DM ，∴F 1N F 1G ＝FM FG ，即3GM ＋11＝2
GM ＋2，∴GM ＝16.
∵D 1N BG ＝F 1N F 1G ，∴1.5BG ＝3
27，∴BG =13.5， ∴AB ＝BG ＋GA ＝15(m)． 答：电线杆AB 的高度为15 m.
7 相似三角形的性质
专题一 相似三角形性质的综合运用
1．已知两个相似三角形对应高的比为3∶10，且这两个三角形的周长差为560 cm ，求它们的周长．
2．如图，Rt △ABC 到Rt △DEF 是一个相似变换，AC 与DF 的长度之比是3∶2． （1）DE 与AB 的长度之比是多少？
（2）已知Rt △ABC 的周长是12 cm ，面积是6 cm 2，求Rt △DEF 的周长与面积．
3．如图所示，已知平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上一点，DE 交BC 于点F ，BE ∶AB ＝2∶3，S △BEF ＝4，求S △CDF ．
专题二相似多边形的性质
4．如图，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么AB∶AD等于．
5．已知两个相似多边形的周长比为1∶2，它们的面积和为25，则较大多边形的面积是．6．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB上的一点，EF∥BC，并且EF将梯形ABCD 分成的两个梯形AEFD、EBCF相似，若AD＝4，BC＝9，求AE∶EB．
【知识要点】
1．相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比，都等于相似比．
2．相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
3．相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
【温馨提示】
1．应用性质时，抓住关键词“对应”，找准对应边．
2．不要误认为相似三角形面积的比等于相似比．
3．由线段的比求面积的比，或由面积的比求线段的比时，应分两种情况：
（1）两个图形是否相似，若是相似图形，则面积比等于相似比的平方；
（2）两个图形不相似时，常会出现底在同一条直线上，有同一条高，那么两个三角形面积比等于对应底的比．
【方法技巧】
1．利用相似三角形性质是求线段长度，角的度数，周长，面积及线段的比等问题的依据．2．等底等高的两三角形面积相等，这个规律在求三角形面积中经常用到．
3．应用相似三角形（多边形）的性质，常与三角形（多边形）相似的判定相结合．
4．相似多边形的定义是判定多边形相似的主要依据，也是多边形相似的重要性质．
参考答案：
1．解：设一个三角形周长为C cm，
则另一个三角形周长为（C＋560）cm，
则C∶（C＋560）＝3∶10，∴C＝240，C＋560＝800，即它们的周长分别为240 cm，800 cm．2．解：（1）由相似变换可得：DE∶AB＝DF∶AC＝2∶3；
（2）∵AC ∶DF ＝3∶2，∴△DEF 的周长∶△ABC 的周长＝2∶3，S △DEF ：S △ABC ＝4∶9． ∵直角三角形ABC 的周长是12 cm ，面积是6 cm 2，
∴△DEF 的周长为8 cm ，S △DEF ＝3
8 cm 2． 3．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AE ∥DC ，
∴△BEF ∽△CDF ．∵AB ＝DC ，BE ∶AB ＝2∶3， ∴BE ∶DC ＝2∶3，∴S △DCF ＝（23）2•S △BEF ＝49×4＝9． 4．22
[解析] ∵矩形ABCD ∽矩形BFEA ，
∴AB ∶BF ＝AD ∶AB ，∴AD•BF ＝AB•AB ．
又∵BF ＝21AD ，∴21AD 2＝AB 2，则AD AB ＝2
1＝22． 5．20 [解析] 根据相似多边形周长的比等于相似比，而面积的比等于相似比的平方，即可求得面积的比值，依据面积和为25，就可求得两个多边形的面积．设两个多边形中较小的多边形的面积是x ，则较大的面积是4x ．
根据题意得：x ＋4x ＝25，
解得x ＝5
6．解：∵梯形AEFD 又∵AD ＝4，BC ＝9∵EF ＞0，∴EF ＝6 8 图形的位似
专题一 位似作图
1．如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC 与△A'B'C'是以点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似中心点O ；
（2）直接写出△ABC 与△A′B′C′的位似比；
（3）以位似中心O 为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A′B′C′关于点O 中心对称的△A″B″C″，并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标．
2．如图，在4×5网格图中，其中每个小正方形边长均为1，梯形ABCD和五边形EFGHK 的顶点均为小正方形的顶点．
（1）以B为位似中心，在网格图中作四边形A′BC′D′，使四边形A′BC′D′和梯形ABCD位似，且位似比为2：1；
（2）求（1）中四边形A′BC′D′与五边形EFGHK重叠部分的周长．（结果保留根号）
3．如图，在给定的锐角ABC
，
，落在BC上，F G
△中，求作一个正方形DEFG，使D E
，边上，要求写出画法．
分别落在AC AB Array
专题二坐标系下的位似变换
4．如图，△ABC三个顶点坐标分别为A （1，2），B （3，1），C （2，3），以原点O
为位似中心，在图中第一象限内，将△ABC放大为原来的2倍得△A′B′C′．（不要求写画法）
5．如图，对Rt△OAB依次进行位似、轴对称和平移变换后得到△O′A′B′．
（1）在坐标纸上画出这几次变换相应的图形；
（2）设P（x，y）为△OAB边上任一点，依次写出这几次变换后点P对应点的坐标．
6．如图，△ABC中，A、B两点在x轴的上方，点C的坐标是（－1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B'的横坐标是2，求点B的横坐标．
【知识要点】
1．位似图形的性质：（1）两个图形相似；（2）每组对应点所在的直线交于一点；（3）对应边平行或在同一条直线上；（4）对应点到位似中心的距离之比等于相似比．
2．位似图形的画法：（1）作图时首先连接顶点和位似中心并延长；（2）按照比例确定对应点位置；（3）连接结对应点即可作出相应的位似图形．
3．（1）同向位似图形：
若以点O为位似中心在y轴的右侧将图形放大到n倍，则对应点坐标为原坐标的n倍．（2）反向位似图形：
若以点O为位似中心在y轴的左侧将图形放大到n倍，则对应点坐标为原坐标的－n倍．【温馨提示】
1．相似只强调图形的形状相同，与位置无关，而位似是特殊位置的相似图形，具有相似的所有性质．
2．两个位似图形一定相似，但相似图形不一定位似．
3．直角坐标系下的位似变换通常考虑两个方面：（1）位似图形的点的坐标的变化规律；（2）利用这种坐标变化的特点，画出平面直角坐标系下的位似图形．
4．在画位似图形或求点的坐标时，一定要注意位似图形的位置关系，以防漏解．
5．在画位似图形时，要分清位似比是新图形与原图形的比，还是原图形与新图形的比．6．在画位似图形时，关键的顶点与位似中心要准确定位．
【方法技巧】
1．判定位似，一般应先证明相似．位似图形的前提一定是相似图形，且任意两对应点的连线交于一点．
2．利用作位似图形的方法可将一个图形放大或缩小．
3．画位似图形的关键是确定位似中心，位似中心可根据要求选择适当位置，所画图形的位置并不唯一．
参考答案：
1．解：（1）图中点O为所求；
（2）△ABC与△A′B′C′的位似比等于2：1；
（3）△A″B″C″为所求．
A″（6，0），B″（3，－2），C″（4，－4）．
2．解：（1）如图所示：四边形A′BC′D′就是所要求作的梯形；
（2）四边形A′BC′D′与五边形EFGHK 重叠部分是平行四边形EFGD′，ED′＝FG ＝1， 在Rt △EDF 中，ED ＝DF ＝1，
由勾股定理得EF 2，∴D′G ＝EF ＝2，
3．如图．
画法：第一步：画一个有三个顶点落在ABC △两边上的正方形D E F G ''''（如图）； 第二步：连接BF '并延长交AC 于点F ；
第三步：过F 点作FE BC ⊥，垂足为点E ；
第四步：过F 作FG BC ∥交AB 于点G ；
第五步：过G 作GD BC ⊥，垂足为点D ．
四边形DEFG 即为所求的正方形．
4．解：如下图所示．
5．解：（1）如图．先把△ABO 作位似变换，扩大2倍，再作关于y 轴对称的三角形，然后向右平移4个单位，再向上平移5个单位．
（2）设方格边长为单位1，则P（x，y）以O为位似中心放大为原来的2倍的对应点为（2x，2y），经y轴翻折得到的对应点为（－2x，2y），再向右平移4个单位得到的对应点为（－2x＋4，2y），再向上平移5个单位得到的对应点为（－2x＋4，2y＋5）．
6．解：过点B、B'分别作BD⊥x轴于D，B'E⊥x轴于E，∴∠BDC＝∠B'EC＝90°．。