高中数学 3.1.1+1.2 不等关系 不等关系与不等式课件

a＋
b)＝(
a－ b
b)＋(
b－ a
a)
＝a－b＋b－a＝（a－b）（ a－ b）
ba
ab
（ ＝
a＋
b）（ ab
a－
b）2 .
∵a、b 为正实数，
∴ a＋ b>0， ab>0，( a－ b)2≥0.
（ 于是有
a＋
b）（ ab
a－
b）2≥0，当且仅当 a＝b 时
等号成立，
∴a＋b≥ ba
a＋
b，当且仅当 a＝b 时取等号．
1.了解现实世界和日常生活中的不 等关系. 课标解读 2.了解不等式(组)的实际背景(难 点). 3.能用作差法比较大小(重点).
不等式中的数学符号
【问题导思】 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 f 应不 少于 2.5%，蛋白质的含量 p 应不少于 2.3%.如何用不等式表 示对脂肪含量的规定？如何用不等式表示酸奶质量的规定？
1．本题解答的关键是对 x 的讨论． 2．数(式)大小的比较问题常用“作差法”，其过程可分三 步：①作差；②变形；③判断差的符号．其中关键一步是变 形，手段可以有通分、因式分解、配方等，变形的目的是有 利于判断符号．
已知
a、b
为正实数，试比较
a＋ b
b与 a
a＋
b的大小．
【解】
(
a＋ b
ba)－(
如果__a_－__b_＝__0___，那么 a＝b.
确定任意两个实数 a，b 的大小关
结论 系，只需确定它们的差__a_－__b__与
___0__的大小关系.
不等式的性质
【问题导思】 1．如果 a>b，c>d，那么 a＋c>b＋d，ac>bd 成立吗？ 【提示】 a＋c>b＋d 成立，ac>bd 不一定成立． 2．如果 a>b，那么 a2>b2 成立吗？ 【提示】 不一定成立． (1)如果 a＞b，c＞d，那么 a＋c＞b＋d； (2)如果 a＞b＞0，c＞d＞0，那么 ac＞bd； (3)如果 a＞b＞0，那么 an＞bn(n∈N＋)；
【思路探究】 解答本题需首先分析题中的不等关系， 利用销售收入＝销售量×单价表示出销售总收入，最后列出 不等式．
【自主解答】 ∵提价后杂志的定价为 x 元， ∴销量减少x－0.12.5×0.2＝2x－5(万本)， ∴销售总收入为[8－(2x－5)]·x＝(13－2x)·x(万元)． 则销售总收入不低于 20 万元，用不等式表示为： (13－2x)·x≥20.
＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)， ∵x2－x＋1＝(x－12)2＋43≥43>0， ∴当 x>1 时，(x－1)(x2－x＋1)>0， 即 x3－1>2x2－2x； 当 x＝1 时，(x－1)(x2－x＋1)＝0， 即 x3－1＝2x2－2x； 当 x<1 时，(x－1)(x2－x＋1)<0， 即 x3－1<2x2－2x.
实际应用
某单位组织职工去某地参观学习需包车前 往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受 7.5 折优 惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的 8 折优惠”．这两 车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较 两车队的收费哪家更优惠．
【思路探究】 解答本题可先建立函数模型，然后用作 差法加以比较即可．
●教学建议 课本例 1～例 4 让学生感受到不等关系反映在日常生活 的方方面面．这几个例题分别把数之间、一组变量之间．从 中体会不等式是研究不等关系的数学工具，从而理解不等式 (组)对于刻画不等关系的意义和价值．
●教学流程
演示结束
(4)如果 a＞b＞0，那么n a＞n b(n∈N＋)．
用不等式(组)表示不等关系
某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售，可以售出 8 万本．据市场调查，若单价每提高 0.1 元，则销售量就可能 相应减少 2 000 本．若把提价后杂志的单价设为 x 元，怎样 用不等式表示销售的总收入不低于 20 万元呢？
1．解决本题的关键是由“若单价每提高 0.1 元，则销售 量就可能相应减少 2 000 本．”得到单价为 x 元时的销售总收 入的表达式．
2．用不等式表示不等关系时，要注意以下两点：一是要 恰当地进行语言转换，即自然语言、符号语言、图形语言之 间的转换；二是要准确地使用不等号，同时要注意实际情境 对表示各量的字母取值范围的限制．
§1 不等关系
1．1 不等关系 1．2 不等关系与不等式
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 了解现实世界和日常生活中的不等关系．了解不等式(组) 的实际背景，能用作差法比较大小．
2．过程与方法 通过一系列具体问题情境，使学生感受到现实世界和日 常生活中存在着大量的不等关系． 3．情感、态度与价值观 让学生体会数学源于生活，唤起学生的学习热情． ●重点难点 重点：用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．理解不 等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值． 难点：用不等式(组)正确表示出不等关系．
b 克糖水中有 a 克糖(b>a>0)，若再加入 m 克糖(m>0)，则 糖水更甜了，试根据这个事实写出一个不等式．
【答案】
a＋m a b＋m>b.
比较两个数(式)的大小 已知 x∈R，比较 x3－1 与 2x2－2x 的大小． 【思路探究】 利用作差法比较两个数的大小．
【自主解答】 (x3－1)－(2x2－2x)＝(x3－x2)－(x2－2x＋ 1)
【提示】 f≥2.5%，pf≥≥22..53%%
文字语言 数学符号 文字语言 数学符号
大于
__>_
至多
_≤__
小于
< ___
至少
≥ ___
大于等于
_≥__
不少于
_≥__
小于等于
_≤__
不多于
_≤__
作差法比较两实数大小
依据
如果__a_－__b_＞__0__，那么 a＞b. 如果__a_－__b_＜__0__，那么 a＜b.
【自主解答】 设该单位职工有 n 人(n∈N＋)，全票价为 x 元，坐甲车需花 y1 元，坐乙车需花 y2 元，
则 y1＝x＋43x·(n－1) ＝14x＋43xn， y2＝45nx，
因为 y1－y2＝41x＋34xn－54nx ＝14x－210nx＝41x(1－5n)， 当 n＝5 时，y1＝y2； 当 n＞5 时，y1＜y2； 当 n＜5 时，y1＞y2.因此当单位去的人数为 5 人时，两车 队收费相同；多于 5 人时，选甲车队更优惠；少于 5 人时， 选乙车队更优惠．