Mealy型模糊有限自动机的最小化算法

2007年7月系统工程理论与实践第7期 文章编号:1000 6788(2007)07 0122 05
Mealy型模糊有限自动机的最小化算法
洪晓蕾1,万美凯2,3,蒋 毅3,莫智文3
(1 成都市树德中学,成都610031;2 西南交通大学峨嵋校区基础课部,峨嵋614202;
3 四川师范大学数学与软件科学学院,成都610066)
摘要: 提出了Mealy型模糊有限自动机的扩张概念并讨论了Mealy型模糊有限自动机的一些性质,进
而得到了它与原Mealy型模糊有限自动机在模糊转移函数上的关系,在此基础上讨论了它的最小化算
法.
关键词: M ealy型模糊有限自动机;模糊字符串;最小化
中图分类号: TP301 1 文献标志码: A
Minimization Algorithm of Mealy Fuzzy Finite Automata
HONG Xiao lei1,WAN Mei kai2,3,JIANG Yi3,MO Zhi wen3
(1 Shude High School,Chengdu610031,China;2 Sou th west Joatong University,Emei614202,China;3 College of Mathematics and Software Science,Sichuan Normal Uni versity,Chengdu610066,China)
Abstract: Expansion of Mealy fuzzy finite au tomata is defined,and properties of Mealy fuzzy fini te automata are
discussed.It is worth noting that we obtain the relation between this automata and general Mealy fuzzy fini te automata
on fuzzy transition function.We describe its minimization algorithm on the basis of foregoing analysis being shown
above.
Key words: Mealy fuzzy finite automata;fuzzy words;minimization
1 引言
在有限自动机理论中,输入的仅仅是离散的字符或有限的字符串.而当Zadeh在1965年提出了模糊集理论[1],随之,模糊集理论率先由Wee[2]应用于自动机领域,D.S.Malik、J.N.Mordeson与M.Ksen在文[3]引入了一种模糊自动机.模糊有限自动机是有限自动机的一个推广,它的系统中的下一个状态是不确定的.模糊有限自动机在其应用过程中,常以设计工具的形式出现.作为一个设计工具,对于其价值的判别关键在于是否可以提供一种设计指引使设计者可以得到最佳的设计方案.而其中最重要的一个判断标准既是设计的最简化,即状态的最小化.
前人在模糊有限自动机的工作中几乎都只考虑的是输入单个字符或字符串.从知识系统中来看,输入字母表中的字符可以看作是待处理的信息.因此,我们可以考虑这样一种模糊自动机,不仅它的下一个状态是不确定的,而且能识别不确定的字符或字符串.2002年,应明生率先把输入字符串扩张到了输入模糊字符串[4].按照程伟、莫智文提出的模糊有限自动机的分类思想[5],文[4]只扩张到了其中的一类,即有初始状态无输出字符的模糊有限自动机.
本文在文[4]的基础上,讨论另一类模糊有限自动机,即无初始状态有输出字符的模糊有限自动机 Mealy型模糊有限自动机.最后还给出了当输入模糊字符串时的状态最小化方法.
2 Mealy型模糊有限自动机
收稿日期:2006 05 16
资助项目:国家自然科学基金(60474022)
作者简介:洪晓蕾(1981-),女,硕士研究生.
定义1 一个经典的Mealy型有限自动机是一个由五元组M=(Q, , ,,!)所表示的系统,其中:Q 为有限状态集, 为有限输入字符集, 为有限输出字符集.:Q !Q为状态转移函数,!:Q ! 为输出函数.
在Zadeh的模糊理论中,设在论域U上给定了一个映射A:U![0,1],u!A(u)则称A为U上的模糊集,A(u)称为A的隶属函数.我们用F(U)表示U的所有模糊子集的全体.
定义2[3] 一个Mealy型模糊有限自动机是一个五元组M:M=(Q, , ,,!),其中:Q为有限状态集, 为有限输入字符集, 为有限输出字符集.:Q !F(Q)为模糊转移函数,!:Q !F( )为模糊输出函数,
满足以下两个条件:
1)q∀Q,x∀ ,!p∀Q,s.t.(q,x)(p)>0∀!y∀ ,s.t.!(q,x)(y)>0;
2)q∀Q,x∀ ,!y∀ ,s.t.!(q,x)(y)>0∀!p∀Q,s.t.(q,x)(p)>0.
我们用 *和 *分别表示 和 上所有有限长度的字符串的集合.∀表示空字符串,对任意x∀ *,y∀ *,|x|和|y|分别为x和y的长度.就输入字符串而言:
#:Q *!F(Q)
#(q#,∀)(q∃)=
1 q#=q∃
0 q#%q∃
,#(q#,xa)(q∃)=&
q∀Q
[#(q#,x)(q)∋(q,a)(q∃)] !#:Q *!F( *)
!#(q#,x)(y)=1 x=y=∀
0 x=∀,y%∀;y=∀,x%∀
,
!#(q#,xa)(xb)=&
q∀Q
[!#(q#,x)(y)∋#(q#,x)(q)∋!(q,a)(b)]
=!#(q#,x)(y)∋{&
q∀Q
[#(q#,x)(q)∋!(q,a)(b)]}
其中q#,q∃∀Q,a∀ ,b∀ ,x∀ *,y∀ *.
3 Mealy型模糊有限自动机的扩张模型
在文[6]中,已经讨论过当输入字符串时,自动机最小化算法的问题,下面我们将利用Zadeh扩张原则定义当输入模糊有限字符串时的模糊转移函数*和模糊输出函数!*.
定义3 M=(Q, , ,,!)是一Mealy型模糊有限自动机,F( )*表示输入字符集 上所有有限长度的模糊字符串的集合.任意W∀F( )*,|W|为模糊字符串W的长度.
将 扩张到F( ),那么
:Q F( )!F(Q),(q#,A)(q∃)=&
a∀
[A(a)∋(q#,a)(q∃)]
!:Q F( )!F( ),!(q#,A)(b)=&
a∀
[A(a)∋!(q#,a)(b)]
又将Q扩张到F(Q),那么
:F(Q)F( )!F(Q),(P,A)(q∃)=&
q#∀Q
[P(q#)∋(q#,A)(q∃)]
!:F(Q)F( )!F( ),!(P,A)(b)=&
q#∀Q
[P(q#)∋!(q#,A)(b)]
当输入模糊字符串时,
*:F(Q)F( )*!F(Q)
*(P,∀)(q∃)=P(q∃),*(P,WA)(q∃)=&
q∀Q
[*(P,W)(q)∋(q,A)(q∃)] !*:F(Q)F( )*!F( *)
!*(P,W)(y)=
1 W=y=∀
0 W=∀,y%∀;y=∀,W%∀
,
!*(P,WA)(y b)=&
q∀Q
[!*(P,W)(y)∋*(P,W)(q)∋!(q,A)(b)]
123
第7期Mealy型模糊有限自动机的最小化算法
=!*(P,W)(y)∋{&
q∀Q
[*(P,W)(q)∋!(q,A)(b)]}
其中q#,q∃∀Q,P∀F(Q),W∀F( )*,A∀F( ),y∀ *,b∀ .
在进行如上扩张以后,我们可以得到如下定理1、2、3.
定理1 M=(Q, , ,,!)是一Mealy型模糊有限自动机,任意q#,q∃∀Q,a∀ ,b∀ ,A∀F( ),则
1)*(q#,a)(q∃)=(q#,a)(q∃),!*(q#,a)(b)=!(q#,a)(b)
2)*(q#,A)(q∃)=(q#,A)(q∃),!*(q#,A)(b)=!(q#,A)(b)
证明 1)*(q#,a)(q∃)=*(q#,∀a)(q∃)=&
q∀Q
[*(q#,∀)(q)∋(q,a)(q∃)]=1∋(q#,a)(q∃)= (q#,a)(q∃)
2)的证明和(1)类似,故略.
定理2 M=(Q, , ,,!)是一Mealy型模糊有限自动机,则任意q#∀Q,y∀ *,W∀F( )*,若| W|%|y|,那么!*(q#,W)(y)=0.
证明 假定|W|>|y|,且设|y|=n,用数学归纳法对|y|作归纳证明.
当n=0时,y=∀且W%∀,由定义2知!*(q#,W)(y)=0结论成立.
当n(1时,假设任意V∀F( )*,z∀ *,|V|>|z|,且|z|=n-1命题成立,又设W=V A,y=zb,其中A∀F( ),b∀ ,|W|>|y|=n,由归纳假设!*(q#,V)(z)=0,而!*(q#,W)(y)=!*(q#,V A)
(zb)=!*(q#,V)(z)∋{&
q∀Q
[*(q#,V)(q)∋!(q,A)(b)]}=0,所以,对于任意q#∀Q,y∀ *,W∀F ( )*,当|W|>|y|时,有!*(q#,W)(y)=0.
同理可证当|W|<|y|时,有!*(q#,W)(y)=0,故定理得证.
定理3 M=(Q, , ,,!)是一Mealy型模糊有限自动机,则1(a)和2(a)等价,1(b)和2(b)等价.
1(a)q∀Q,a∀ ,!p∀Q,s.t.(q,a)(p)>0∀!b∀ ,s.t.!(q,a)(b)>0
1(b)q∀Q,a∀ ,!b∀ ,s.t.!(q,a)(b)>0∀!p∀Q,s.t.(q,a)(p)>0
2(a)q∀Q,W∀F( )*,!p∀Q,s.t.*(q,W)(p)>0∀!y∀ *,s.t.!*(q,W)(y)>0
2(b)q∀Q,W∀F( )*,!y∀ *,s.t.!*(q,W)(y)>0∀!p∀Q,s.t.*(q,W)(p)>0
证明:1∀2
1(a)∀2(a):设|W|=n,对|W|作数学归纳.
当n=0时,W=∀且p=q,取y=∀,则!*(q,∀)(∀)=1>0命题成立.
当n(1时,假设对任意V∀F( )*,|V|=n-1,命题成立.设W=V A,A∀F( ),V∀F( )*且|V| =n-1,由定义2,*(q,W)(p)=*(q,V A)(p)=&
q#∀Q
[*(q,V)(q#)∋(q#,A)(p)]>0,则存在r∀Q,
使*(q,V)(r)>0且(r,A)(p)>0,而(r,A)(p)=&
a∀
[A(a)∋(r,a)(p)],即是存在a#∀ ,使A
(a#)>0,(r,a#)(p)>0,由1(a)知!b∀ ,s.t.!(r,a#)(b)>0,而!(r,A)(b)=&
a∀
[A(a)∋!(r,a) (b)](A(a#)∋!(r,a#)(b)>0,由归纳假设,存在z∀ *,使!*(q,V)(z)>0,设y=zb,那么:!*(q,
W)(y)=!*(q,V A)(zb)=!*(q,V)(z)∋{&
m∀Q
[*(q,V)(m)∋!(m,A)(b)]}(!*(q,V)(z)∋*(q, V)(r)∋!(r,A)(b)>0.命题成立,故得证.
1(b)∀2(b):由定理2知|W|=|y|=n
当n=0时,W=y=∀,则*(q,∀)(q)=1>0,命题成立
当n(1时,假设对任意V∀F( )*,z∀ *,|V|=|z|=n-1,命题成立.设W=V A,y=zb,A∀F
( ),V∀F( )*且|V|=n-1,由定义2知:!*(q,W)(y)=!*(q,V A)(zb)=!*(q,V)(z)∋{&
m∀Q
[*
(q,V)(m)∋!(m,A)(b)]}>0,则存在r∀Q,使!(r,A)(b)>0,*(q,V)(r)>0,而!(r,A)(b)=&
a∀ [A(a)∋!(r,a)(b)]即存在a#∀ ,使A(a#)>0,!(r,a#)(b)>0.由1(b)知,!p∀Q,s.t.(r,a#)(p) >0,(r,A)(p)=&
a∀
[A(a)∋(r,a)(p)](A(a#)∋(r,a#)(p)>0,所以*(q,W)(p)=*(q,V A)
(p)=&
q#∀Q [*(q,V)(q#)∋(q#,A)(p)](*(q,V)(r)∋(r,A)(p)>0命题成立,故得证.
124系统工程理论与实践2007年7月
2∀1易证.
定理4 M =(Q , , , ,!)是一Mealy 型模糊有限自动机,q #,q ∃∀Q ,A 1,A 2,),A n ∀F ( ),则有 *
(q #,A 1,A 2,),A n )(q ∃)=
&
a 1
,a 2
,),a n
∀
∋[ #(q #,a 1,a 2,),a n )(q ∃),A 1(a 1),A 2(a 2),),A n (a n )]
证明 由归纳证明,当k =0时, *
(q #,∀)(q ∃)= #(q #,∀)(q ∃),结论成立.当n (1时,假设k =n 时,结论成立,那么k =n +1时,
*(q #,A 1A 2)A n A n +1)(q ∃)=&q ∀Q
[ *(q #,A 1A 2)A n )(q )∋ (q ,A n +1)(q ∃)],由归纳假设, *
(q #,A 1A 2)A n A n +1)(q ∃)=&q ∀Q
&
a 1
,a 2
,),a n
∀
∋[ #(q #,a 1a 2)a n )(q ),A 1(a 1),A 2(a 2),),A n (a n )]∋&a n +1
∀
[A n +1(a n +1)∋ (q ,a n +1)(q ∃)]=&
a 1
,a 2
,),a n
,a
n +1
∀ &q ∀Q
∋[ #(q #,a 1a 2)a n )(q ), (q ,a n +1)(q ∃),A 1(a 1),A 2(a 2),),A n (a n ),A n +1(a n +1)]=
&
a 1
,a 2
,),a n
,a
n +1
∀
∋
&q ∀Q
∋[ #(q #,a 1a 2)a n )(q ), (q ,a n +1)(q ∃)],A 1
(a 1),A 2(a 2),),A n (a n ),A n +1(a n +1)=
&
a 1
,a 2
,),a n
,a
n +1
∀
∋[ #(q #,a 1a 2)a n a n +1)(q ∃),A 1(a 1),A 2(a 2),
),A n (a n ),A n +1(a n +1)],结论成立,故命题得证.
至此,我们可以看出,在输入字符串和输入模糊字符串,这两种情形下的模糊转移函数通过定理4联系起来了.
4 Mealy 型模糊有限自动机的最小化方法
我们把等价∗和k 等价∗k 也作了相应的扩张.
定义4 设M i =(Q i , , , i ,!i )是Mealy 型模糊有限自动机,i =1,2,q i ∀Q i ,则:1)q 1和q 2等价(q 1∗q 2)# W ∀F ( )*,y ∀ *,!*1(q 1,W )(y )=!*
2(q 2,W )(y )
2)对每一个正整数k ,q 1和q 2k 等价(q 1∗k q 2)# W ∀F ( )*,|W |+k ,y ∀ *,!*
1(q 1,W )(y )=!*
2(q 2,W )(y ).
那么称M 是一个状态最小化自动机,当且仅当q ∗p ∀q =p , p ,q ∀Q .
定义5 M =(Q , , , ,!)是一Mealy 型模糊有限自动机,M m =(Q ∗, , , m ,!m ), [q ],[p ]∀Q ∗,x ∀ ,y ∀ ,定义:
m ([q ],x )([p ])=&{ (s ,x )(t )|s ,t ∀Q ,s ∗q ,t ∗p },!m ([q ],x )(y )=&{!(s ,x )(y )|s ∀Q ,s ∗q }.
能够验证M m 是一状态最小化的Mealy 型模糊有限状态自动机,且与M 等价.
定理5 M =(Q , , , ,!)是一Mealy 型模糊有限自动机,|Q |=n ,设|F ( )|=m ,则{ *
(W )|W ∀F ( )*}中存在至多(mn 2)n
2
个不同的模糊矩阵.
证明 因为模糊矩阵中出现的所有不同的元素至多有(mn 2)个,所以{ *(W )|W ∀F ( )*
}中存在至多(mn 2
)
n
2
个不同的模糊矩阵.
故能够证明:任意两个可分的状态能够被某个长度至多为(mn 2
)n
2
+1的模糊字符串所区分.至此,我们可以获得一个与已知Mealy 型模糊有限自动机等价的状态最小化的M m =(Q ∗, , , m ,!m ),设模糊字符有A 1,A 2,),A m ,其中Q ∗可由如下算法得到:
1)根据模糊字符计算 *(A 1),), *(A m )和!*(A 1),),!*(A m ),由!*(A 1),),!*
(A m )可以获得∗1的等价类Q ∗1,令k =1.
2)令k =k +1,由定义2计算!*
(A i 1A i 2)A i k -1A i k ),i 1,i 2,),i k ∀{1,2,),m },i ∀{1,2,),m },由等价类Q ∗k -1求得Q ∗k .
3)判断|Q ∗k |=n 或者k =(mn 2
)
n
2
+1,若满足,则转入4;不满足,则转入2.
125
第7期Mealy 型模糊有限自动机的最小化算法
4)输出Q ∗k=Q ∗.
例 设一个Mealy型模糊有限自动机M=(Q, , ,,!),其中 = ={0,1},Q={q1,q2,q3},其模糊转移函数和模糊输出函数!如下:
(0)=
q1q2q3
q10 50 60
q2100 4
q3010 5
,(1)=
q1q2q3
q110 20 9
q200 60
q30 410 6
,
!(0)=
01
q110 2
q210 2
q30 40 1
,!(1)=
01
q10 70 1
q20 70 1
q310 4
,令A1=
0 4
0+
1
1,A2=
1
0+
0 5
1.
第1步:计算出!*(A1)=
01
q10 70 2
q20 70 2
q310 4
,!*(A2)=
01
q110 2
q210 2
q30 50 4
,可以得到Q ∗1={{q1,q2},{q3}},
*(A
1)=
q1q2q3
q110 40 9
q20 40 60 4
q30 410 6
,*(A2)=
q1q2q3
q10 50 60 5
q210 50 4
q30 410 5
第2步:计算!*(A1A1),!*(A1A2),!*(A2A1),!*(A2A2)
!*(A1A1)=
00011011
q10 70 40 20 2
q20 60 40 20 2
q30 70 40 40 4
,由!*(A1A1)就可以得到Q ∗2={{q1},{q2},{q3}}.
第3步;|Q ∗2|=3=|Q|.
第4步:输出Q ∗=Q ∗2.
5 结论
众所周知,经典的自动机理论在文字识别、语言识别以及人工智能等领域起着重要作用,它还是描述许多重要硬件和软件的有用模型.近些年来,随着模糊技术的飞速发展,由模糊理论和自动机结合构成的模糊有限状态自动机和模糊语言,在其应用及进一步发展中,不仅合理地拓展了分明有限自动机和语言理论,而且已经用来模拟一些动态或者不确定系统,如车辆公路系统.模糊自动机识别输入模糊字串时的一个有为的应用在于将描述和分析动态控制系统,其行为和控制规则来源于专家的经验或者自然语言.
参考文献:
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126系统工程理论与实践2007年7月。