二次函数与几何综合运用存在性问题教学设计

二次函数在几何方面的应用——存在性问题
一、教学目标：
知识与技能：通过本节课的专题学习体会二次函数与几何的综合应用，培养学生综合运用知识的技能，提高学生分析问题解决问题的能力。

过程与方法：利用数形结合思想，把“数”与“形”结合起来，互相渗透．同时熟练运用分类讨论的思想、方程的思想等各种数学思想方法。

情感态度与价值观：鼓励学生要知难而上，敢于挑战，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重点、难点
重点：二次函数与三角形、四边形、存在性问题综合应用；利用各种数学思想方法解决问题。

难点：二次函数与三角形、四边形、存在性问题的分析和解决。

教学方法：自主探索、合作交流。

教学手段：运用多媒体教学
三、教学过程：
类型一特殊三角形的存在、探究问题
【方法指导】
1.探究等腰三角形的存在、探究问题时，具体方法如下：
（1）若为存在问题，则先假设存在，再进行下一步；若为探究问题，则直接进行下一步；
（2）当所给条件中没有说明哪条边是等腰三角形的底，哪条边是等腰三角形的腰时，要对其进行分类讨论，假设某两条边相等，得到三种情况；
（3）设未知量，求边长．在每种情况下，直接或间接设出所求点的坐标（若所求的点在抛2+bx+cx，ax)；若所求的点在对称轴上时，该点的坐标可(物线上时，
该点的坐标可以设为b-，)以设为（，并用所设点坐标表示出假设相等的两条边的长或第三边的长；y2a（4）计算求解．根据等腰三角形的性质或利用勾股定理或相似三角形的性质列等量关系式，根据等量关系求解即可.
探究等边三角形的存在、探究问题时，可以先求出该三角形为等腰三角形时的情况，然后求腰和底相等时的情况即可.
2.探究直角三角形的存在、探究问题时,具体方法如下：
）若为存在问题，则先假设存在，再进行下一步；若为探究问题，则直接进行下一步；1（．
（2）当所给的条件不能确定直角顶点时，分情况讨论，分别令三角形的某个角为90°；
（3）设未知量，求边长，在每种情况下，直接或间接设出所求点的坐标（若所求的点在抛2)(；若所求的点在对称轴上时，该点的坐标可物线上时，该点的坐
标可以设为cax++bxx，b，)，利用所设点的坐标分别表示出三边的长，用勾股定理进行验证并求解以设为（. -y2a【范例解析】
2bxcByxAyxxy+两点，抛物线例1(2013铜仁)如图，已知直线+=3、-3分别交=轴、
轴于ABCxA点不重合). 、轴的另一个交点两点，点(是抛物线与经过与(1)求抛物线的解析式；
ABC的面积； (2)求△(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；
若存在，求出点M的坐标.
◆例题分层解析：
ABA及及点（1）根据直线解析式求出点的坐标，然后将点Bbc的值，求出抛物线的坐标代入抛物线解析式，可得出点、解析式.
C的坐标，继而1）求得的抛物线解析式，可求得点（2）由（AC的长度，代入三角形面积公式即可计算求出.
MMmMABA,=)（3）根据点在抛物线对称轴上，可设点，分三种情况讨论：①的坐标为(-1,MBBAMBMAm的值后即可得出答案=②. =，求出，③◆解题方法点析：根据题中要求，抓住形成等腰三角形的条件，采用分类讨论的思想，对三种可能性一一求解，做到不重、不漏。

yx-3=3xyAB两点，、（1）：∵直线轴、轴于分别交：◆解析
AB（0，-3），1（，0），∴可得2cbxyx+=+BA把
得：、两点的坐标分别代入 bbc=2
=0 解得 1+ +
c c=-3， =-3，
2xyx；-3+2=∴抛物线解析式为
xx，，=-3=1解得：21AC，=4（-3，0），C则2xyx，+2=00=-3（2得：）令
点坐标为：11AC·OBS；× = 3=6= ×4故可得ABC△22mxM），：（=-1-1满足题意，分三种情，假设存在存在，理由如下：抛物线的对称轴为况讨论：mMM（-）；∴-1（，）-1，=±，ABMA666解得：时，①当=，2210?m?2212??210?13??m mMm（-1，0）=-6 ，，=0或BAMB∴= 解得：②当时，3M（-1，-6）(不合题意舍去);
42??MBMA
=，时，③当22231m?2??m?m=-1，解得：M（-1，∴-1）.
5MMMM（-1，-1、-1，0）、（-1，）、（-1，-））（66使答：共存在四个点5123ABM 为等腰三角形.
△类型二特殊四边形的存在、探究问题
【方法指导】
平行四边形的存在、探究问题，具体方法如下：
（1）若为存在问题，则先假设存在，再进行下一步；若为探究问题，则直接进行下一步；
（2）设出点坐标，求边长．直接或间接设出所求点的坐标（若所求的点在抛物线上时，该b2c++bxaxx，-，该点的坐标可以设为（点的坐标可以设为(若所求的点在对称轴上时，)；2a ykxbxkxb)，)，若所求的点在已知直线=，并用所设点坐+上时，该点的坐标可以设为（+y标表示出平行四边形某两条边的长（常利用相似三角形性质或勾股定理求解）；
（3）建立关系式，并计算；若四边形的四点位置已经确定，则直接利用四边形的边的性质进行计算；若四边形四点位置不确定，需分情况讨论：①当已知边为平行四边形的某条边时，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形对边相等进行计算；②当已知边为平行边形.
利用平行四边形对角线互相平分的性质进行计算画出所有符合条件的图形后，的对角线时，
对于特殊四边形的存在、探究问题，也会以探究菱形、矩形、正方形来设题，解题方法如下：
（1）若为存在问题，则先假设存在，再进行下一步；若为探究问题，则直接进行下一步；
（2）设出点坐标，求边长．（同上面例1的方法）
（3）若四边形的四点位置已经确定，则直接利用四边形的边的性质进行计算；若四边形的点位置不确定，需分情况讨论：
探究菱形的存在、探究问题时分两类：①已知三个定点去求未知点坐标；②已知两个定点去求未知点坐标.一般会用到菱形的对角线互相垂直平分、四边相等等性质列关系式；
探究矩形：利用矩形对边相等、对角线相等列等量关系式求解；或根据邻边垂直，利用勾股定理列关系式求解.
探究正方形：利用正方形对角线互相平分且相等的性质进行计算，一般是分别计算出两条对角线的长度，令其相等，得到方程再求解．
【范例解析】
12yxbxc+= +xAB（-1,02-1(2014例济宁)如图，抛物线）与、轴交于）两点，（5,04CxACxyA⊥于点轴，交直线过点=2作直线；）求该抛物线的解析式；（1AAyxA并说明理由；的对称点′是否在抛物线上，（2）求点′的坐标，关于直线=2判定点yPP轴的平行线，交线段3）点作是抛物线上一动点，过点
（
PACMMPCA是平行四边形？，是否存在这样的点使四边形′于点，P. 的坐标；
若不存在，请说明理由若存在，求出点◆例题分层分析BA两点坐标代入抛物线
解析式中得到方程组，然后1）将、（.
求解方程组即可AEAExAA′′轴于点′作⊥(2)求点′的坐标，需过点，再求AEAEAAEOEEAOAC. 和和的长，可以通过△，得出点′′和△′的坐标相似，求出PACMCACA坐标可得解析式，点(3)点′、点在线段′的解析式，代入点′上，设
出直线255312PxMMxPxxx）在点，则- ）上方，可求（，，点+ 在
抛物线上可设点（，-4444PxMPMPAC. 点坐标，再由＝求出合适的的
值，则可得◆解题方法点析平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊四边形，
是近年中考的热点问题之一，掌握它．
们的概念，了解它们之间的关系，掌握有关的性质和判定是解决这类问题大关键。

本题就是利用平行四边形的性质，对边相等，然后转化为函数或方程来求解。

12yxbxc+= +xAB（-1,0、析（1）∵）两点，轴交于（5,0）与◆解412
c b b=- 1+0= ×5+5∴451c bc= -
0= -, +，44512x xy- -＝；∴抛物线的解析式为44
DEAAOCAAEx，交于点′′与⊥）过点（2，′作轴于点CCyx在直线10=2）上，∴点，（5∵点，xAyA′关于直线对称，∵点=2和ADADOCAA. ′∴′，⊥＝ACOA=10,
∵=5,
2222OC= . ∴
?555OA??AC10?11SOACOC·ADOA·AC， = ∵＝△22AAAD′＝
4 ，∴=2 , ∴55
AEAOAC中，△和在Rt△Rt′AAEAACACOAACAAEACO. ′∠90°′,=90°，∠+∠∴∠′=∵∠＝′+∠AEAOACAEAOAC, △△∽又∵∠′′Rt=∠°，∴=90Rt
''AAEAAE, 即 , ∴
??'EAE4A5??OCACOA510
55AEAEOEAEOA=8-5=3, ′==4,－=8,∴∴A′的坐标为（-3,4∴点）,
152xy ＝×当(-3)=-3时，+3- =4, 44A′在该抛物线上∴点; CAykxbAC(5，10)，,代入点′.（3）存在理由：设直线(-3,4)′的解析式为=和+3kbk= =4 则 -3+425kbb=
+=10, ， 53254CAyx+ . ′的解析式为= ∴直线441544．
2xxPx- )，, -设点的坐标为(325Mxx, (+ ). 为则点
44ACPM∵，∥ACPACMPM.
是平行四边形,只需∴要使四边形=PM又∵点的上方，在点525132xxx10. - )- ∴（＝+ ）-( 4444xx舍去），5解得（不合题意=2，,＝219y x ，
＝- ∴把=2代入抛物线解析式得，49PACMP. - ）时，四边形∴当点是
平行四边形运动到（2，4
OCAOOCAOCABAOCBAB，，=12013郴州）如图，在四边形，中，=3∥，∠=2=90°，（例2-2PCOAAOOC在线段所在直线为轴建立坐标系．抛物线顶点为．点以，且经
过点为原点，、ODBCDCOQDOCQAOAOOC所在直线向点于点运动，上由上由交向点⊥
运动，点在线段，E. 与抛物线在第一象限交于点 1）求抛物线的解析式；（OEAEQyEE）点运动到何处时，四边形′是′是菱形？关于轴的对称点，点
（2ttPQ秒，当个单位的速度同时出发，运动的时间为、3分别以每秒23（）点
个单位和ODPB∥为何值时，？
◆例题分层分析aAC的1）根据顶点式将、代入解析式求出（值，进而得出
二次函数解析式；EEAO′互相垂直）利用菱形的性质得出与（2BCxE，的值，平分，利用进而得出点纵坐标得出EO再利用两直线交点坐标求法得出直线解析式，
Q点坐标，即可得出答案；mAPDQABQOAPBQDO=3（）首先得出△，求出∽△，进
而得出的值，进而得出答案．◆解题方法点析：利用菱形的性质两条对角线互相
垂直或四边相等关系转化为方程解决，也可以转化为等腰三角形问题解决。

A）
∵为抛物线的顶点，(0,2)1析：◆解（2axy+2,
=∴设
C（3,0）在抛物线上，∵点2a a =- + 2=09 ,
∴解得：,922xy+2;
=- :∴抛物线的解析式为9EEOEAEAO′是菱形，则′互相垂直平分，与
（2）如果四边形AOEE∴的中点，′经过E 1,∴点代入抛物线解析式得：纵坐
标为322xx 1=- =解得：±+2,2 , 29E在第一象限，
∵点
3E，1）为（，∴点22ykxbBCB（1，2=）+，，把设直线的解析式
为
C（3，0），代入得：
kbk=-1 =2 +kb b=3, +=0, 3BCyx+3,
的解析式为:∴=-2xynxEOEOEynxy,
设,解析式为可得出=将,= 点代入的解析式为=32?9227 x=x
y= 由73得6?92y=
x y ,
=-+3, 72927?Q点坐标为：（，，0
∴）7227?9OEAEQ，四边形 ,0′是菱形；∴当）点坐
标为（7
ytm轴，∥DO，又3（）设QD为∥秒时，PB ODQAOEAPB＝∠∠，则有∠=mOQDyx,
在直线上，又∵点=-=3-3+3mDQ,
＝∴3m12?1m = , 因此：解得：，
mm3?3321m = 经检验：是原分式方程的解，2
1ODPBt . 秒时，∴当= ∥2．
课堂同步练习
2+bx+c的顶点坐标为（2,9），与y=axy轴交于点A（0,5），1.如图，在平面直角
坐标系中，抛物线与x轴交于点E、B。

（1）求二次函数的y=ax2+bx+c的表达式。

（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点，（点P
在AC上方），作PD平行于y轴，交AB 于点D，问：当点P在何位置时，四边形
APCD的面积最大？并求出最大面积。

（3）若点M 在抛物线上，点N在对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边
形是平行四边形且AE为其一边，求点M、N的坐标。

y
P
A C
D
E
O
x
B
二：小结．
次函数与几何综合的存在性问题，是近几年来出题的热点，解决这类题的关键就是利用各种图形的性质，先设所求点的坐标，建立函数模型，把问题转化为方程问题最后求解。