国家教师资格证考试数学学科知识与教学能力全真模拟卷-初中

2022 年下半年中小学国家教师资格考试（初级中学）模拟卷1
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1.求极限lim x→0x 3cos 1
x 2=（ ）。

A.0
B.1
C.2
D.∞
2.对于函数f (x )=
x−x 3sinπx ，存在（ ）个可去间断点。

A.1
B.2
C.3
D.∞
3.已知f’(x 0)=A （A 为常数），则lim
ℎ→0f (x 0+ℎ)−f (x 0−ℎ)ℎ=（ ）。

A.A
B.2A
C.3A
D.0
4.已知|a 11
a 12a 13a 21a 22a 23a 31
a 32a 33|=a ，则|2a 112a 122a 13−a 21−a 22−a 23a 11+a 31a 12+a 32a 13+a 33|=（ ）。

A.−a
B.a
C.−2a
D.2a
5.已知平面π经过直线
x−11=y−22=z−33及点Q (2,3,4)，则经过点(3,4,5)与平面π 平行且与直线
x−21=y−3−1=z−4−1垂直的直线方程为（ ）。

A.
x−33=y−4−2=z−51 B.x−33=y−42=z−5−1
C.x−3−3
=y−4−2=z−51 D.x−3−3=y−4−2
=z−5−1
6.级数∑x n−1
(n+2)∙2n ∞n=1的收敛域为（ ）。

A.(−2,2)
B.[−2,2)
C.(−2,2]
D.[−2,2]
7. 下列选项中，与《义务教育数学教学课程标准（2011版）》关于学生评价的表述不符合的是（ ）
A. 学生评价是以全面了解学生的数学学习过程和结果为目的
B.学生评价是以激励学生学习和改进教师教学为目的
C.学生评价是以帮助学生认识自我建立信心为目的
D.学生评价是以提高学生学习成绩满足家长需求为目的
8. （ ）是指利用图形描述和分析问题，把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。

A.空间观念
B.符号意识
C.几何直观
D.模型思想
二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）
9.请利用导数的定义求函数f(x)=sinx 的导数。

10.设f(x)是连续可积函数，且f(x)=x +2∫f(t)dt 1
0，求f(x)。

11.讨论函数f(x)={
3−x2
2
0≤x≤1 1
x 1<x<+∞
在区间[0,2]上是否满足拉格朗日
定理条件。

12.理论联系实际，并结合新课程改革，谈谈你对新课程实施过程中数学教学方法应该如何创新？
13.简述如何处理数学中巩固知识与发展能力的关系。

三、解答题（本大题1小题，10分）
14.设函数f(x)在开区间(a,b)内连续，a<x1<x2<b，试证：在开区间(a,b)内至少存在一点c，使得t1f(x1)+t2f(x2)=(t1+t2)f(c)，(t1>0,t2>0)。

四、论述题（本大题1小题，15分）
15．数学里有很多的思想方法，它们是数学的真谛，是人类思想的结晶．以“求函数的最值”教学为例，说明在数学教学中如何渗透数形结合的数学思想．
16.下面是《勾股定理》一课的教学片段：
【新课引入】听故事，想问题：相传2500 多年前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯去朋友家做客。

宴席上，其他宾客在尽情欢乐，毕达哥拉斯却盯着朋友家的地面砖发呆。

原来，地砖由许多个直角三角形组成的图案铺成，黑白相间，非常美观。

主人正纳闷时，毕达哥拉斯突然恍然大悟，原来，他发现了图案中三个正方形的面积存在某种数量关系，从而通过此关系还发现了直角三角形三边的某种数量关系。

同学们，地砖图案中蕴含着怎样的数量关系呢，让我们一起探索吧。

【后续教学环节】接下来，在教师的引导下，在小组合作中，同学们发现了以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和，等于以斜边为边长的大正方形的面积，及直角三角形三边之间有特殊关系：斜边的平方等于两直角边的平方和。

再接下来，在网格中探索，得到其他的直角三角形也有上述性质，由此猜想出勾股定理。

根据以上材料，请你回答下列问题：
（1）以上教学过程中体现了哪些教学优点？
（2）以上教学过程中还有什么需要改进？说明改进方法。

17. “多边形内角和”作为初中数学图形与几何中的基础知识，是我们一定需要理解并掌握的，针对本节课：
（1）给出“多边形内角和”的教学目标
（2）给出“多边形内角和”的重点、难点；
（3）设计“多边形内角和”的教学过程。

2022 年下半年中小学国家教师资格考试（初级中学）模拟卷2
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1.已知lim
x→2x2+ax+b
x−2
=3，则（）。

A.a=1，b=2
B.a=−1，b=2
C.a=1，b=−2
D.a=−1，b=−2
2.设f(x)=(x−1)(x−2)∙∙∙(x−100)，则f′(2)=（）。

A.97!
B.98!
C.99!
D.100!
3.已知曲线f(x)=2x+1
(x−1)2
，则曲线的渐近线有（）。

A.x=0，y=0
B.x=0，y=1
C.x=1，y=0
D.x=1，y=1
4.已知A=(123
210)，B=(
10
2−1
02
)，则AB=（）。

A.(54
4−1
)
B.(5−4
41
)
C(54
−41
)
D.(−54
41
)
5.点(2,1,0)到平面3x+4y+5z=0距离为（）。

A.1
B.√2
C.√3
D.2
6.级数∑(x+2)n
n∙3n ∞n=1的收敛域为（ ）。

A.(−5,1)
B.[−5,1)
C.(−5,1]
D.[−5,1]
7.以下著作中，（ ）中第一次用小数表示无理根的近似值。

A.《九章算术注》
B.《数书九章》
C.《恒河沙数》
D.《流数简论》
8. 建立符号意识有助于学生理解符号的使用，是（ ）和进行数学思考的重要形式。

A.数学运算
B.数学推理
C.数学表达
D.数学抽象
二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）
9.求曲线tan (x +y +π4)=e y 在点(0,0)处的切线方程.
10.由曲线x 2=4y 与直线y =1及y 轴所围成的平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积。

11.设平面π过直线l1：{x+2y+3z=4
2x−2y+z=2
且与直线l2：x−1
2
=y+1
1
=z
−1
平行，求
平面π的方程。

12.举例说明数学抽象的含义，内容以及具体表现。

13.试结合实际教学说说在数学教学中如何激发学习兴趣，引起学习动机？
三、解答题（本大题1小题，10分）
14.设奇函数f(x)在[−1,1]上具有二阶导数,且f(1)=1，证明：（1）存在ξ∈(0,1)，使得f′(ξ)=1；
（2）存在η∈(−1,1)，使得f′′(η)+f′(η)=1。

四、论述题（本大题1小题，15分）
15.解释解析几何的含义，并说明解析几何的意义。

五、案例分析题（本大题1小题，20分）
16.阅读《反比例函数的图象与性质》的教学片段，然后回答问题。

教师：请同学画一次函数y=2x−3的图象。

,0)，然后画出一条直线。

学生1（走上黑板）：取两点(1,−1)，(3
2
的图象。

教师（接着要求）：画反比例函数y=2
x
学生2（自信地走到黑板前）：类似取两点(1,2)，(2,1)，也画出来了一条直线。

注：此时教室里出现了学生们的窃窃私语，有学生认为画得对，也有学生认为画得不对，有一部分学生傻傻地盯着老师看，想从他这里得到答案。

学生3（大胆地站起来对学生2说）：从解析式上看y不能等于0，即与x轴不会有交点，你怎么有交点了？我想你可能错了。

教师（及时肯定学生3）：能用函数解析式来分析问题，不简单啊!
学生4：若x>0，从解析式上看，无论x取多大，函数值y均是一个正数，而从画出的图象看，此时有些函数值是负数，这不可能啊!
教师：有的同学不光会看解析式，并且还会看图象了，有进步。

教师：函数y=2x−3为什么只要找到两点就可以画出图象？
学生5：因为以前画一次函数的图象前，找到好多点画在坐标系中，发现这些点都在一条线上，所以得出一次函数的图象是一条直线，而两点可以确定一条直线。

教师：好!讲得好!同学们应该知道下面怎么办了吧。

问题：
（1）分析上述教学片段，教学过程中师生的哪些教学行为值得肯定？
（2）分析上述教学过程中存在的问题，并进行改进。

六、教学设计题（本大题1小题，30分）
17.“列表法求概率”是初中统计与概率中常见的求概率的方法，以下为“列表法求概率”部分教材截图。

在此基础上完成下列问题：
（1）写出本节内容的教学目标；
（2）写出本节内容的教学重难点；（3）设计本节内容的教学过程。

2022 年下半年中小学国家教师资格考试（初级中学）模拟卷1
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1.【答案】A
【考点】高等数学——极限与连续——函数的极限
【解析】本题主要考查极限的相关知识。

由题，当x→0时，x3为无穷小，cos1
x2
为有界函数，因此由“无穷小与有界函数的乘积”得该极限仍为无穷小。

故正确答案为A。

2.【答案】C
【考点】高等数学——极限与连续——函数间断点及分类
【解析】本题主要考查函数间断点的相关知识。

由于f(x)=x−x3
sinπx
，则当x取任何整数时，sinπx=0，此时f(x)无意义，因此f(x)有无穷多个间断点，但是可去间断点为极限存在的点，因此该点为x−x3=0的解，解得x=0或±1。

lim x→0x−x3
sinπx
=lim
x→0
1−3x2
πcosπx
=1
π
；
lim x→−1x−x3
sinπx
=lim
x→−1
1−3x2
πcosπx
=2
π
；
lim x→1x−x3
sinπx
=lim
x→1
1−3x2
πcosπx
=2
π
；
故正确答案为C。

3.【答案】B
【考点】高等数学——导数与微分——导数的概念
【解析】本题主要考查导数的相关知识。

由题f’(x0)=A，则
lim ℎ→0f(x0+ℎ)−f(x0−ℎ)
2ℎ
=A，因此lim
ℎ→0
f(x0+ℎ)−f(x0−ℎ)
ℎ
=2lim
ℎ→0
f(x0+ℎ)−f(x0−ℎ)
2ℎ
=2A。

故正确答案为B。

4.【答案】C
【考点】线性代数——行列式——行列式的性质
【解析】本题主要考查行列式的相关知识。

由题|
a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33
|=a，因此
|2a112a122a13−a21−a22−a23
a11+a31a12+a32a13+a33|=2|
a11a12a13
−a21−a22−a23
a11+a31a12+a32a13+a33
|=
−2|a 11
a 12a 13a 21
a 22a 23a 11+a 31a 12+a 32a 13+a 33|=−2|a 11a 12
a 13
a 21a 22a 23a 31a 32a 33
|=−2a 。

故正确答案为C 。

5.【答案】D
【考点】空间与图形——解析几何——空间平面与直线 【解析】本题主要考查直线方程的相关知识。

由题，令直线
x−11
=
y−22
=
z−33
的方向向量为s 1⃗⃗⃗ ，则s 1⃗⃗⃗ =(1,2,3)，并且直线经过点M (1,2,3)。

设平面π的法向量为n ⃗ ，则n ⃗ ⊥s 1⃗⃗⃗ ，n ⃗ ⊥MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1,)，因此n ⃗ =s 1⃗⃗⃗ ×MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|i j k
⃗ 123111
|=−i
+2j −k ⃗ =(−1,2,−1)，设s 2⃗⃗⃗ 为x−21=y−3−1=z−4
−1
的方向向量，则s 2⃗⃗⃗ =(1,−1,−1)，令所求直线的方向向量为s ，则s ⊥n ⃗ ，s ⊥s 2⃗⃗⃗ ，因此s =n ⃗ ×s 2⃗⃗⃗ =|i j k ⃗ −12−11−1−1|=
−3i −2j −k
⃗ =(−3,−2,−1)。

又直线经过点(3,4,5)，则所求直线方程为x−3−3
=y−4−2
=
z−5−1。

故正确答案为D 。

6.【答案】B
【考点】高等数学——级数——幂级数
【解析】本题主要考查级数的相关知识。

令u n =1(n+2)∙2n ，u n+1=1
(n+3)∙2n+1，则R =lim n→∞
|u n
u
n+1
|=lim n→∞
|
1
(n+2)∙2n
1
(n+3)∙2n+1
|=lim n→∞
|
2(n+3)n+2|=2，因此收敛半径为2。

当x =−2时，级数为∑
(−2)n−1(n+2)∙2
n
∞
n=1=∑
(−1)n−1
2(n+2)
∞
n=1，由莱布尼兹判别法可知
级数收敛；当x =2时，级数为∑
2n−1
(n+2)∙2
n
∞
n=1=∑
1
2(n+2)
∞
n=1
=1
2∑1n+2
∞
n=1，由P
级数的性质可知级数发散；因此收敛域为[−2,2)。

故正确答案为B 。

7.【答案】D
【考点】教材教法——数学课程标准——课标内容与理念
【解析】本题考查的是教学知识的相关知识。

学生评价不是为了满足家长需
求为目的的。

故正确答案为D 。

8.【答案】C
【考点】教材教法——数学课程标准——课标内容与理念
【解析】本题主要考查课程标准的相关知识。

《义务教育数学课程标准（2011 年版）》指出：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。

借助几何直观可以把复杂的数学 问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。

故正确答案为C 。

二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分） 9.【参考答案】
【考点】高等数学——导数与微分——导数的概念 f ′(x )=lim ℎ→0
f (x+ℎ)−f (x )
ℎ=lim
ℎ→0
sin (x+ℎ)−sinx
ℎ
=lim ℎ→0
1ℎ∙2cos (x +ℎ2)sin ℎ
2=
lim ℎ→0
cos (x +ℎ
2)∙
sin
ℎ2
ℎ
2=cosx 。

10.【参考答案】
【考点】高等数学——积分——定积分
设∫f(t)dt 1
0=A ，则f(x)=x +2A ，等式两边同时积分得∫(x +2A)dx 1
0=
∫f(t)dt 10。

又∫(x +2A)dx 10=(1
2x 2
+2Ax)|0
1
=12+2A ，故1
2+2A =A ，解得A =
−1
2，所以f (x )=x −1。

11.【参考答案】
【考点】高等数学——导数与微分——微分学基本定理 由题可知分段点为x =1，因为lim x→1
−
3−x 22
=1，lim x→1
+1
x
=1，f (1)=1，所以lim x→1
f(x)=f (1)=1，因此函数在x =1处连续。

函数在[0,2]的非分段点处均为
初等函数，因此函数f(x)在区间[0,2]上连续。

又f −′(1)=lim x→1
−
f (x )−f (1)x−1
=
lim x→1−
3−x 2
2
−1x−1=
lim
x→1−3−x 2−22(x−1)
=−1，f +′(1)=lim x→1
+
f (x )−f (1)x−1
=lim x→1
+1
x
−1x−1
==−1，所以f −′(1)=f +′(1)，函数f(x)在x
=1处可导，则函数f(x)在区间[0,2]上可导。

综上，函数f(x)在区间[0,2]上满足拉格朗日定理条件。

12.【参考答案】
新课程改革是近几年来教育改革不断深入的一个重要方面，而改革后的新课程应具有时代性，生长性和创新性等。

因此，课堂教学方法也要相应紧紧跟随新课程地实施进行不断创新发展。

就数学教学方法的创新而言，应该注意以下几点：第一、时时注意教学活动要与实际问题情境相结合，积极营造良好的教学氛围。

学生乐于学习是确保教学有效性的重要因素，也是教学是否成功的一个标志。

例如学习锐角三角函数时，可以通过呈现测量山高的生活情境，提出问题，引发学生思考。

第二、数学教学方法要在“生活问题数学化”中创新，这样数学教学才能更形象有味。

例如：在学习一元二次方程时，教师应精心设计教学学习情境，通过一些生活中常见的实例，提出问题，学生列出关系式，引出课题。

第三、要注意积极引导学生主动投入学习进行研究性活动。

这样，学生在情境的激励下和问题的互动中才能真正的理解老师所教授的知识。

例如在学习一次函数时，教师通过几何画板展示不同函数图象，引导学生小组讨论图象的性质。

第四、更重视现代化教学技术在课堂教学中的应用，使数学教学通过现代化手段，变静态为动态，变抽象为直观，变复杂为简单。

13.【参考答案】
【考点】教学技能——教学原则——巩固与发展
（1）遵循记忆的规律，巩固所学知识。

①通过加深理解，增强识记和保持。

②通过归纳、类比、联想，促进再认、再现。

（2）掌握遗忘的规律，复习所学知识。

（3）巩固知识要着眼于发展能力。

①基础知识的复习，要注重数学思想的培养和数学方法的训练。

②综合知识的复习，要有计划、有步骤地进行题组训练。

三、解答题（本大题1小题，10分）
14.【参考答案】
【考点】高等数学——极限与连续——函数的连续
证明：因为函数f(x)在开区间(a,b)内连续，a<x1<x2<b，所以f(x)在
[x1,x2]上连续，由闭区间上连续函数的性质可得，f(x)在[x1,x2]上存在最大值M 与最小值m，即在[x1,x2]上，m≤f(x)≤M，所以(t1+t2)m≤t1f(x1)+
≤M，由连续t2f(x2)≤(t1+t2)M，又因为t1+t2>0，所以m≤t1f(x1)+t2f(x2)
t1+t2
=f(c)，即t1f(x1)+函数的介值定理可得，存在c∈[x1,x2]，使得t1f(x1)+t2f(x2)
t1+t2
t2f(x2)=(t1+t2)f(c)，(t1>0,t2>0)。

得证。

四、论述题（本大题1小题，15分）
15．【参考答案】
所谓数形结合思想，就是在研究问题时把数和形结合考虑，把问题的数量关系转化为图形性质，或把图形性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化．解题中的数形结合，是指对问题既进行几何直观的呈现，又进行代数抽象的揭示，两个方面相辅相成，而不是简单地代数问题用几何方法或几何问题用代数方法，两方面有机结合才是完整的数形结合．
求函数最值问题是一个代数问题，如果能画出函数图象便可以将抽象的代数问题转化成直观的几何问题．例如二次函数求值域，需要先引导学生画出二次函数的图象，然后引导学生找到要求最值的区间，将区间与函数图象对应起来，如果正函数自变量取值范围之内函数是单调函数，那么便可以看出来在区间端点处取得最值，如果二次函数的对称轴在自变量区间之内，那么要看函数的开口方向，开口向上，则对称轴处取得最小值，反之对称轴处取得最大值．在解决问题之后要引导学生总结数形结合思想方法的便利之处，并找到数形结合思想方法的限制．最后多利用练习题巩固数形结合的思想方法．
五、案例分析题（本大题1小题，20分）
16.【参考答案】
【考点】教学技能——教学评价——课堂教学评价
（1）教学优点：①新课程标准指出数学教学活动应激发学生的兴趣，调动学生积极性，引发学生思考，以上材料中采用了讲故事的方法引入新课，该教学方法适应学生的认知发展水平和已有的经验，能较好地激发学生学习兴趣。

②丰富的教学方法和与实际结合的内容选取，较好地落实了本节课的教学目标，尤其
对于在探究活动中，培养合作交流意识和探索精神这一情感目标的达成特别到位。

（2）需改进的方面：新课标要求教师不仅要教会学生知识，还要教会学生学习方法，所以在教学过程中要注意使用启发式的教学方法，能更大程度上地拓宽学生的思考范围，增强学生各方面能力的提升。

改进方法：为了达到启发学生的目的，在学生进行探究性活动的时候可以设置一些问题串来引导学生，让所有的学生都能达到较好的学习效果。

六、教学设计题（本大题1小题，30分）
17.【参考答案】
【考点】教学技能——教学设计——教学设计工作
（1）教学目标
知识与技能目标：掌握多边形内角和公式，并能运用公式解决简单问题。

过程与方法目标：通过探究多边形内角和公式，体会化归思想以及从具体到抽象的研究问题的方法。

情感态度与价值观目标：通过公式的猜想、归纳、推断一系列过程，体验数学活动
充满着探索性和创造性，增强学习数学的兴趣和勇于创新的精神。

（2）教学重难点
教学重点：多边形内角和公式的探究过程。

教学难点：获得将多边形分割成三角形来解决问题的思路，确定分割后的三角形的个数。

（3）教学过程
一、导入新课
教师活动：通过复习导入的方式，复习三角形内角和与矩形内角和，提问：任意四边形、五边形、六边形……的内角和是多少？
学生活动：就教师的提问展开独立思考或进行讨论。

教师活动：教师顺势引出课题——多边形的内角和。

二、探索新知
1.任意四边形内角和
教师活动：请学生在纸上画长方形和任意四边形，并提问：长方形和正方形
的内角和都是360°，那么是否任意四边形的内角和都等于360°？能否证明？组织学生同桌之间交流，教师进行巡视指导，找学生回答讨论结果并进行适当的评价。

学生活动：预设学生回答：只需连接一条对角线，将一个四边形分割为两个三角形，即可求出四边形的内角和。

教师活动：给出证明过程，并板书，注意强调两个三角形的内角全部加起来刚好是四边形的内角和。

2.探究多边形内角和
教师活动：教师提问：类似地，你能知道五边形、六边形的内角和是多少度吗？并将得到的结果记录在表格中。

组织学生以四人为一小组进行讨论，讨论结束之后请小组代表分享成果，教师给予积极的评价。

学生活动：预设学生利用分割四边形的方法，探究五边形、六边形的内角和。

前后四人为一组，合作完成表格的前两行。

3.总结归纳，得出结论
教师活动：继续提问：如果是n边形，内角和又是多少呢？怎么利用分割法求n边形的内角和？引导学生观察四边形、五边形、六边形对应的数据，进行归纳猜想。

学生活动：预设学生根据四边形、五边形、六边形的内角和得出规律：n边形从一顶点出发的对角线条数为(n−3)条、分割成的三角形个数为(n−2)个，内角和为180°×(n−2)，完成表格。

三、巩固提高
教师活动：教师通过多媒体出示相关题目，引导学生在练习本上进行练习或找学生代表到黑板进行板演，针对结果进行相应评价。

1.八边形的内角和是多少度？
2.已知一个多边形的内角和是1980°，则这个多边形是几边形？ 学生活动：学生进行相关练习，展示结果。

四、课堂小结
教师活动：教师利用课件展示以下几个问题： （1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）我们是怎样得到多边形内角和公式的？
（3）在探究多边形内角和公式的过程中，连接对角线起到什么作用？ 学生活动：学生畅谈本节课收获。

五、布置作业
你能否想到其他分割方法推导出多边形的内角和公式？
2022 年下半年中小学国家教师资格考试（初级中学）模拟卷2
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1.【答案】D
【考点】高等数学——极限与连续——函数的极限 【解析】本题主要考查极限的相关知识。

由题可得lim
x→2
x 2+ax+b x−2
=3，又因为
lim x→2
(x −2)=0，因此lim x→2
(x 2+ax +b )=0，令x 2+ax +b =(x −2)(x +m )，
则lim x→2
(x +m )=3，因此m =1，x 2+ax +b =(x −2)(x +1)=x 2−x −2，所以a =−1，b =−2。

故正确答案为D 。

2.【答案】B
【考点】高等数学——导数与微分——导数的运算
【解析】本题主要考查导数的相关知识。

由题，f ′(2)=lim
x→2
f (x )−f (2)x−2
=
lim
x→2
(x−1)(x−2)∙∙∙(x−100)
x−2
=1∙(−1)∙(−2)⋯(−98)=98!。

故正确答案为B 。

3.【答案】C
【考点】高等数学——极限与连续——渐近线
【解析】本题主要考查渐近线的相关知识。

由题，因为lim
x→∞2x+1
(x−1)2
=0，所以
y =0是其水平渐近线；又因为lim x→1
2x+1(x−1)2=∞，所以x =1是其垂直渐近线。

故正确答案为C 。

4.【答案】A
【考点】线性代数——矩阵——矩阵的运算
【解析】本题主要考查矩阵的相关知识。

由题A =(123
210
)，B =(1
02
−102
)，则AB =(
54
4−1
)。

故正确答案为A 。

5.【答案】B
【考点】空间与图形——解析几何——空间平面与直线
【解析】本题主要考查点到平面距离公式的相关知识。

由题，利用点到平面的距离公式可得d =
√9+16+25
=√2。

故正确答案为B 。

6.【答案】B
【考点】高等数学——级数——幂级数
【解析】本题主要考查级数的相关知识。

令u n =1n∙3n ，u n+1=1
(n+1)∙3n+1，则R =lim n→∞
|u n
u
n+1
|=lim n→∞
|
1n∙3n 1
(n+1)∙3n+1
|=lim n→∞
|
3(n+1)n
|=3，因此收敛半径为3，所以
|x +2|<3，−5<x <1。

当x =−5时，级数为∑
(−3)n
n∙3
n
∞
n=1=∑
(−1)n n ∞
n=1，由莱布尼兹判别法可知级
数收敛；当x =1时，级数为∑3n
n∙3n
∞
n=1
=∑1
n
∞
n=1，由P 级数的性质可知级数发
散；因此收敛域为[−5,1)。

故正确答案为B 。

7.【答案】B
【考点】课程知识——数学史——中国古代数学
【解析】本题主要考查数学史的相关知识。

《数书九章》论述了自然数、分
数、小数、负数，还第一次用小数表示无理根的近似值。

故正确答案为B 。

8.【答案】C
【考点】教材教法——数学课程标准——课标内容与理念
【解析】本题主要考查课程标准的相关知识。

《义务教育数学课程标准（2011 年版）》指出：符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。

建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。

故正确答案为C 。

二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分） 9.【参考答案】
【考点】高等数学——导数与微分——导数的意义与应用 左右同时对x 求导得
1
[cos(x+y+π
4
)]
2∙(1+y ′)=e y ∙y ′
，
当x =0，y =0时，1
(√22
)2
∙
[1+y ′(0)]=y ′(0)，2[1+y ′(0)]=y ′(0)，解得y ′(0)=−2。

故切线方程为y −0=−2(x −0)，即y =−2x 。

10.【参考答案】
【考点】高等数学——积分——积分的应用
由题意作出平面图形，绕x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积，则V x =V 1−V 2=π×12
×2−
∫π(x 2
4)2
dx
20=2π−
π
16∫x 4dx 20=2π−π
16×
x 55
|20
=8π
5；绕y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积，则V y =∫π(√4y)2dy
1
0=4π∫ydy 1
0=
4π×
y 22
|1
=2π。

11.【参考答案】
【考点】空间与图形——解析几何——空间平面与直线 对于直线l 1，令z =0，则{x +2y =42x −2y =2
，解得{x =2
y =1，因此点(2,1,0)在直线l 1
上，也在平面π上。

令直线l 1的方向向量为s 1⃗⃗⃗ ，则s 1⃗⃗⃗ =|i j k
⃗ 1232−21
|=8i
+5j −6k ⃗ =(8,5,−6)。

又令直线l2的方向向量为s2⃗⃗⃗ ，则s2⃗⃗⃗ =(2,1,−1)，设平面π的法向量为n⃗，则n⃗⊥
s1⃗⃗⃗ ，n⃗⊥s2⃗⃗⃗ ，因此n⃗=s1⃗⃗⃗ ×s2⃗⃗⃗ =|i j k⃗
85−6
21−1
|=i−4j−2k⃗=(1,−4,−2)。

故平面π的方程为(x−2)−4(y−1)−2(z−0)=0，即x−4y−2z+2=0。

12.【参考答案】
【考点】课程知识——高中数学课程知识——课程概述
数学抽象是指通过数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养。

主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征。

数学抽象表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系。

通过高中数学课程的学习，学生能够在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系，积累从具体到抽象的活动经验；养成在日常生活和事件中一般性思考问题的习惯，把握事物的本质，以简驭繁；运用数学抽象的思维方式思考并解决问题。

举例：函数单调性概念的教学中，结合实例，经历从具体的直观描述到形式的符号表达的抽象过程，加深对函数单调性概念的理解，体会用符号表达数学定义的必要性。

13.【参考答案】
【考点】课程知识——高中数学课程知识——课程实施
兴趣是一个人积极探究某种事物或进行活动的意识倾向。

学习兴趣是学生对学习活动或学习对象的一种力求认识或趋近的意识倾向。

兴趣是入门的向导，是感情的体现，能促使动机的产生。

学习兴趣是一种学习动机，是学习积极性中很现实、很活跃的心理成分。

总是积极主动，心情愉快的进行学习，不会产生负担。

例如：在学习一元二次方程时，教师应精心设计教学学习情境，通过一些生活中常见的实例，提出问题，将学生置于该情境之中，激发学习兴趣，千方百计的诱发学生的求知欲，使学生有一种力求认识世界，渴望获得知识，不断追求真理的欲望，产生学习的自觉性，迸发出极大的学习热情。

三、解答题（本大题1小题，10分）
14.【参考答案】
【考点】高等数学——导数与微分——微分学基本定理
证明：（1）由于f(x)在[−1,1]上是奇函数，则f(−x)=−f(x)，且f(0)=0。

令F(x)=f(x)−x，则F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且F(0)=f(0)−0= 0，F(1)=f(1)−1=0，满足罗尔定理，因此存在ξ∈(0,1)，使得F′(ξ)=0，即f′(ξ)−1=0，f′(ξ)=1。

得证。

（2）由于f(x)在[−1,1]上是奇函数，则f′(x)在[−1,1]上是偶函数，因此由（1）可得，存在ξ∈(0,1)，f′(−ξ)=f′(ξ)=1。

令G(x)=e x[f′(x)−1]，则G(x)在[−1,1]上连续，在(−1,1)上可导，且G(ξ)= G(−ξ)=0，由罗尔定理可得，存在η∈(−ξ,ξ)，即存在η∈(−1,1)，使得G′(η)=0，即f′′(η)+f′(η)=1。

得证。

四、论述题（本大题1小题，15分）
15.【参考答案】
【考点】课程知识——高中数学课程知识——课程内容
解析几何是这样一个数学学科，在采用坐标法的同时，运用代数方法来研究几何对象。

（1）解析几何使得数学的研究方向发生了一次重大的转折：以几何为主导的数学转变为以代数和分析为主导的数学；
（2）解析几何使得以常量为主的数学转变为以变量为主的数学为微积分到的诞生奠定了基础；
（3）解析几何使代数与几何融为一体，实现了几何图形的数字化，是数学化时代的先声；
（4）代数的几何化和几何的代数化，使得人们摆脱了现实的束缚，它带来了认识新空间的需要，帮助人们从现实空间进入虚拟空间，从三维空间进入更高维的空间。

五、案例分析题（本大题1小题，20分）
16.【参考答案】
【考点】教学技能——教学评价——课堂教学评价
（1）上述教学片段中，教师的教学行为值得肯定之处有：①教师先让学生画出一次函数y=2x−3的图象，既复习了旧知，又为反比例函数图象的画法打下了基础，符合《义务教育数学课程标准》中提到的数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上；②当学生3和学生4回答出问题后，教师及时给予肯定，并鼓励学生，激发了学生的学习兴趣，符合《义务教育数学课程标准》中提到的全面评价学生在知识技能、数学思考、问题解决和情感态度等方面的表现；③在教学过程中，教师一直充当着组织者、引导者与合作者的角色，充分体现了学生是学习的主体。

学生的学习行为值得肯定之处有：①学生对旧知的掌握非常扎实；②在课堂上，学生积极踊跃进行思考，并回答教师的问题，答案多样化。

（2）存在的问题：①在整个教学过程中，在提问回答的交流中，针对学生出现的错误答案教师没有及时引导，只对回答正确的同学进行了关注，违背了《义务教育数学课程标准》中提到的要全面评价学生在知识技能、数学思考、问题解决和情感态度等方面的表现；②最后的一个问题太过笼统，缺少目的性、启发性。

改进方案：①当学生回答的答案出现错误时，教师应该给予一定的引导，解决学生的疑惑；②在教学过程中，教师应该关注每一位学生，关注学生的学习过程，不仅要评价学生的学习结果，也要评价学生的学习过程；③教师要对学生出现的问题进行总结，并引导、启发学生注意一次函数和反比例函数的区别，以及如何画反比例函数的图象。

六、教学设计题（本大题1小题，30分）
17.【参考答案】
【考点】教学技能——教学设计——教学设计工作
（1）教学目标
知识与技能目标：能用列表法计算概率，并解决实际问题。

过程与方法目标：通过操作、探究等活动，体会用列表法求概率的优点和作用，提高分析问题和解决问题的能力。

情感态度与价值观目标：在求概率的数学活动中，感受数学来源于生活也可解决生活中的实际问题。