2019-2020学年四川省凉山州高二上学期期末模拟(二)数学试题 解析版

2019-2020学年四川省凉山州高二上学期期末模拟（二）数学
题号 一 二 三 总分 得分
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 以点为圆心，且与y 轴相切的圆的标准方程为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆相切的性质，求出圆的半径，是解题的关键，属于基础题．
由条件求得圆的半径，即可求得圆的标准方程． 【解答】 解：以点为圆心且与y 轴相切的圆的半径为3， 故圆的标准方程是， 故选C ．
2. 直线和直线的距离是
A. B. C.
D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了两平行直线间的距离，属于基础题． 直线和直线，代入两平行线间的距离公式，即可得到答案．
先把两平行直线的对应变量的系数化为相同的，再利用两平行线间的距离公式求出两平行线间的距离． 【解答】
解：由题意可得：和直线， 即直线和直线， 结合两平行线间的距离公式得： 两条直线的距离是，
故选：B ．
3. 命题p ：
，；命题q ：
，
，下列选项真命题的是
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查命题的真假的判断与复合命题的真假，是基础题． 判断命题p ，q 的真假，然后求解结果即可． 【解答】 解：因为时不成立，故命题p ：，是假命题；
命题q：，，当时，命题成立，所以是真命题．
所以是真命题；
是假命题；
是假命题；
是假命题；
故选A．
4.有两个问题：有1000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有
200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；从20名学生中选出3人参加座谈会．则下列说法中正确的是
A.
随机抽样法系统抽样法 B. 分层抽样法随机抽样法
C.
系统抽样法分层抽样法 D. 分层抽样法系统抽样法
【答案】B
【解析】解：1000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，总体的个体差异较大，可采用分层抽样；从20名学生中选出3名参加座谈会，总体个数较少，可采用抽签法．
故选B．
简单随机抽样是从总体中逐个抽取；系统抽样是事先按照一定规则分成几部分；分层抽样是将总体分成几层，再抽取．
抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样．
5.“若或，则”的否命题为
A. 若或，则
B. 若，则或
C. 若或，则
D. 若且，则
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查否命题与原命题的关系，是基础题．
利用原命题与否命题的定义写出结果即可．
【解答】
解：“若或，则”的否命题为：若且，则．
故选D．
6.下列说法中正确的是
A. 表示过点，且斜率为k的直线方程
B.
直线与y轴交于一点，其中截距
C. 在x轴和y轴上的截距分别为a与b的直线方程是
D. 方程表示过点，的直线
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查命题的真假判断与应用，考查了直线方程的几种形式，关键是对直线方程形式的理解，属于基础题．
分别由直线的点斜式方程、直线在y轴上的截距、直线的截距式方程、两点式方程的变形式逐一核对四个选项进行分析判断，即可得答案．
【解答】
解：对于A，点不在直线上，故A不正确；
对于B，截距不是距离，是B点的纵坐标，其值可正可负．故B不正确；
对于C，经过原点的直线在两坐标轴上的截距都是0，不能表示为，故C不正确；
对于D，此方程即直线的两点式方程变形，即，故D正确．
故选：D．
7.已知命题p：若为钝角三角形，则；命题q：，，若，则或，
则下列命题为真命题的是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查命题的逆否命题，及复合命题的真假判断，考查三角形内角的函数值大小比较、考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
命题p：由为钝角三角形，当B为钝角时，可得，，即可判断出真假；命题q：判断其逆否命题的真假即可得出结论．
【解答】
解：命题p：若为钝角三角形，当B为钝角时，可得，，，可知命题p是假命题；
命题q的逆否命题为：若且，则，是真命题，因此命题q是真命题，
则选项中命题为真命题的是．
故选B．
某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量单位：万人的数据，绘制了下面的折线图．
8.
根据该折线图，下列结论错误的是
A. 月接待游客逐月增加
B. 年接待游客量逐年增加
C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的知识点是数据的分析，难度不大，属于基础题．
根据已知中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案．
【解答】
解：由已知中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量单位：万人的数据可得：
月接待游客量逐月有增有减，故A错误；
年接待游客量逐年增加，故B正确；
各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；
各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确；
故选A．
9.过双曲线的右顶点A作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线
的交点分别为B、若，则双曲线的离心率是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．
分别表示出直线l和两个渐近线的交点，进而表示出和，进而根据求得a和b的关系，进
而根据，求得a和c的关系，则离心率可得．
【解答】
解：直线l：与渐近线：交于，
l 与渐近线：交于，又，
，，
，
，，
，
，，
故选：C．
10.执行如图所示的程序框图，输出的S值为
A.
1 B. C. D.
【答案】D
【解析】解：由于，
则，；，；
，；
，；
，，此时不再循环，
则输出．
故选：D．
分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S 值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．
本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法．
11.已知点A，B是抛物线上的两点，点是线段AB的中点，则的值为
A.
4 B. C. 8 D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．
利用中点坐标公式及作差法，求得直线AB的斜率公式，求得直线直线AB的方程，代入抛物线方程，利用弦长公式及韦达定理，即可求得的值．
【解答】
解：设，，
则，，
由中点坐标公式可知：，
两式相减可得，，
则直线AB的斜率k，，
直线AB的方程为即，
联立方程
消去y，得，
，
，，
．
故选C．
12.若x、y满足，则的最小值是
A. B. C. D.
无法确定
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查圆的一般方程与圆的标准方程，考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和圆的半径r，设圆上一点的坐标为，原点坐标为，则表示圆上一点和原点之间的距离的平方，根据图象可知此距离的最小值为圆的半径r减去圆心到原点的距离，利用两点间的距离公式求出圆心到原点的距离，利用半径减去求出的距离，然后平方即为的最小值．
【解答】
解：把圆的方程化为标准方程得：，
设圆心为点A，
则圆心坐标为，圆的半径，
设圆上一点的坐标为，原点O坐标为，
如图所示：
则，，
所以，
则的最小值为，
故选C．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知双曲线的渐近线方程为，且过点，则此双曲线的方程为______．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，设出双曲线的方程是解题的关键，属于中档题．设出双曲线方程，利用双曲线经过的点，求解即可．
【解答】
解：双曲线的渐近线方程为，
可设双曲线方程为：，
双曲线经过点，
可得：，解得，
所求双曲线方程为：．
故答案为．
14.98与63的最大公约数为a，二进制数110011化为十进制数为b，则____________．
【答案】58
【解析】【分析】
利用辗转相除法，用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当整除时，就得到要求的最大公约数，可求a；根据二进制转化为十进制的方法，我们分别用每位数字乘以权重，累加后即可得到b的值，求和即可得解．
【解答】
解：由题意，，
，
，
，
与63的最大公约数为7，可得：；
又，可得：，
．
故答案为58．
15.某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5
号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是______．
【答案】18
【解析】解：某班有学生52人，现将所有学生随机编号，
用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，
则抽样间隔为，
号、31号、44号学生在样本中，
样本中还有一个学生的编号是：．
故答案为：18．
用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，则抽样间隔为，由此能求出样本中还有一个学生的
编号．
本题考查样本编号的求法，考查系统抽样的性质等基础知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
16.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B
两点，直线与椭圆的另一个交点为C，若，则椭圆的离心率为______．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线和椭圆的位置关系，离心率的求法，属于中档题．
由题意画出图形，求出A的坐标，结合向量加法的坐标运算，求得C的坐标，代入椭圆方程可解e的值．
【解答】
解：不妨设点A在x轴下方，如图，
由题意，，，，
，，
，，
，代入椭圆，
得，由，
整理得：，解得，
椭圆的离心率．
故答案为．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
17.已知p：，q：．
若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】解：：，q：．
故p：，q：，
若p是q的充分条件，
则，
故
解得：；
若“”是“”的充分条件，
即q是p的充分条件，
则，
，
解得：．
【解析】本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及充分而不必要条件的应用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．
解出关于p，q的不等式，根据若p是q的充分条件，得到，求出m的范围即可；
根据q是p的充分条件，得到，求出m的范围即可．
18.已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上
求圆C的方程；
动直线l：过定点M，斜率为1的直线m过点M，直线m和圆C相交于P，Q两点，求PQ的长度．
【答案】解：设圆C的方程为，
则，
解得，，，
圆C的方程：，即为：
动直线l的方程为．
则，得，
动直线l过定点，
直线m：，
圆心到m的距离为，
的长为．
【解析】本题考查圆的方程、线段长的求法，考查直线、圆、弦长公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
设圆C 的方程为，利用待定系数法能求出圆C 的方程；
动直线l 的方程为，列出方程组求出动直线l 过定点
，从而求出直线m
：
，由此能求出圆心
到m 的距离．
19. 随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．
设某地区城乡居民人民币储蓄存款年底余额如下表：
年份
2010 2011 2012 2013 2014
时间代号t 1 2 3 4 5 储蓄存款千亿元
5
6
7
8
10
Ⅰ求y 关于t 的回归方程
．Ⅱ用所求回归方程预测该地区2015年
的人民币储蓄存款．
附：回归方程中：
．
【答案】解：Ⅰ由题中数据可计算得到下表： i
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
5 6 7 8 10 1 4 9 16 25
5 12 21 32 50
15 36 55
120
，
，
，，
，
，
关于t 的回归方程．Ⅱ时，千亿元，
所以该地区2015年
的人民币储蓄存款为
千亿元．
【解析】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于中档题．Ⅰ利用公式求出，，即得到y 关于t的回归方程；Ⅱ，代入回归方程，即可预测该地区2015年的人民币储蓄存款．
20.对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度单位：的数据
如下表：
甲273830373531
乙332938342836
画出茎叶图；
分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度单位：数据的平均数、方差，并判断选谁参加比赛更合适？
【答案】解：画茎叶图如图所示，中间数为数据的十位数．
由茎叶图把甲、乙两名选手的6次成绩按从小到大的顺序依次排列为
甲：27，30，31，35，37，38；
乙：28，29，33，34，36，38．
所以甲组数据的平均值为：
乙组数据的平均值为：
甲组数据的方差为：
乙组数据的方差为：
因为平均值相等，乙的方差更小，所以乙的成绩更稳定，故乙参加比赛更合适．
【解析】以十位数为茎，个位数为叶，能画出茎叶图．
由茎叶图把甲、乙两名选手的6次成绩按从小到大的顺序依次排列，能求出甲、乙两名自行车赛手最大速度单位：数据的平均数、方差，因为平均值相等，乙的方差更小，所以乙的成绩更稳定，故乙参加比赛更合适
本题考查茎叶图、平均数、方差等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，是基础题．
21.已知椭圆的左焦点为，且椭圆上的点到点F的距离最小值为1．
求椭圆的方程；
已知经过点F的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且，求直线l的方程．
【答案】解：由题意可得，
椭圆上的点到点F的距离最小值为1，即为，
解得，，
即有椭圆方程为；
当直线的斜率不存在时，可得方程为，
代入椭圆方程，解得，则不成立；
设直线AB的方程为，
代入椭圆方程，可得，，
设，，
即有，，
则
，
即为，解得，
带入验证可得都有成立．
则直线l的方程为．
【解析】本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆上的点与焦点的距离的最值，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
由题意可得，，由a，c，b的关系，可得b，进而得到椭圆方程；
讨论直线l的斜率不存在和存在，设直线的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得斜率k，进而得到直线l的方程．
22.已知椭圆，斜率为的动直线l与椭圆C交于不同的两点A、B．
设M为弦AB的中点，求动点M的轨迹方程；
设、为椭圆C在左、右焦点，P是椭圆在第一象限上一点，满足，求面积的最大值．
【答案】解：设，，，
则，；
得：，
即，
即．
又由中点在椭圆内部得，
所以M点的轨迹方程为，．
由，
得P点坐标为，
设直线l的方程为，
代入椭圆方程中整理得：，
由得，
则，，
，，
所以．
，
当时，．
即面积的最大值为1．
【解析】本题考查了椭圆的性质及几何意义，曲线的轨迹方程及最值问题，属于中档题．
设，，，代入椭圆方程作差，利用点差法求得轨迹方程又由中点在椭圆内部得，从而可得M点的轨迹方程．
由，得P点坐标为，设直线l的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定
理结合弦长公式将三角形的面积表示出，再利用基本不等式求面积的最大值．。