2018-2019甘肃省高二下学期期中考试数学（理）试题

甘肃省临夏中学2018—2019学年第二学期期中考试卷
年级：高二 科目： 数学（理科） 座位号
一．选择题（共计10小题，每小题4分，计40分） 1. 已知函数=-==m m f x x f 则,2
1)(,2)(' （ ）
A ．4-
B ．4
C ． 2±
D ．2
2.“复数z ＝3－ai
i
在复平面内对应的点在第三象限”是“a ≥0”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3．若函数()ln f x x ax =-在点()1,P b 处的切线与320x y +-=垂直,则
2a b +=( )
A ．2
B ．0
C ． 1
D ．2 4.dx x x ))1(1(210---⎰= （ ） A.
22π+
B.1
2
+π
C.212
-
π
D.1
42π-
5．将3张不同的演唱会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是( )
A ．2160
B ．720
C ．240
D ．120
6.若直线x a ＋y
b
＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
7. 若等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列}{n
S n 为等差数列，公差为d
2
.类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q ，
前n 项的积为T n ，则等比数列}{n n T 的公比为( )
A.q 2 B ．q 2
C.q
D.n q 8.在不等边三角形中，a 为最大边，想要得到A ∠为钝角的结论，三边
c b a ,,应满足的条件是（ ）
A ． 222c b a +<
B ．222c b a +=
C ．222c b a +>
D ．222c b a +≤ 9.用反证法证明命题：“若ab N b a ,,∈能被3整除，那么b a ,中至少有一个能被3整除”时，假设应为（ ）
A ．b a ,都能被3整除
B ．b a ,都不能被3整除 C.b a ,不都能被3整除 D ．a 都能被3整除
10.设f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，
0)()()()(''>+x g x f x g x f 且g (－3)＝0，则不等式0)()(<x g x f 的解是
（ ）．
A.(-3,3)
B.(0,3)
C.(－∞，－3)
D.(－∞，－3)∪(0,3)． 二．填空题（共计4小题，每小题4分，计16分） 11．若复数z ＝
2i
1－i
，则|z ＋3i|＝________. 12.曲线2)(+=
x x x f ，则2
)(+=x x x f 的导函数=)('
x f ________ 13．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋121
-n <n(n ∈N ，且n>1)，第一步
要证的不等式是_________．
14.如图为y ＝f (x )的导函数的图象，则下列判断正确的是________．(填序号)
①f (x )在(－3,1)内是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；
③f (x )在(2,4)内是减函数，在(－1,2)内是增函数； ④x ＝1是f (x )的极大值点．
三．解答题（共计5小题，计44分，每小题必须写出必要的推理过程和解答步
骤）
15.（本小题计8分，每问4分）
1）若z y x ,,均为实数，且6
2,3
2,2
2222π
ππ+-=+-=+-=a c z c b y b a x ，
求证：z y x ,,中至少有一个大于0. 2）计算i
i
i i +++
-+14311
16.（本小题计8分，每问4分）
1）设 a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1
ab
≥8.
2）已知函数x e x f =)(，1)(+=x x g ，且0≠x ，比较)(x f 和)(x g 的大小
17．(本小题满分8分)若函数1)1(2
13
1
)(23+-+-=x a ax x x f 在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．
18.（本小题计10分） 已知数列}{n a ，4111⨯=a ，7412⨯=a ，10
713⨯=a ，...，且n s 为该数列的前n 项和
1）写出数列}{n a 的通项公式
2）计算1s ，2s ，3s ，猜想n s 的表达式，并用数学归纳法证明. 3）求数列}{n a 的n s 的取值范围.
19.（本小题计10分）
设函数x x b
ax x f ln 2)(+-=，若)(x f 在x ＝1，x ＝12处取得极值.
1）求a ，b 的值；
2）若]1,4
1
[0∈x 存在，使得不等式0)(0≤-c x f 成立，求c 的取值范围.
甘肃省临夏中学2018—2019学年高二第二学期期中数学考试卷
1.已知函数=-==m m f x x f 则,2
1
)(,2)(' （C ）
A ．4-
B ．4
C ． 2±
D ．2 2.“复数z ＝3－ai
i
在复平面内对应的点在第三象限”是“a ≥0”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 解析：选A.z ＝
3－ai i ＝3
i
－a ＝－a －3i 在复平面内对应的点在第三象限，则a>0，可以判断“a>0”是“a ≥0”的充分不必要条件.
3．若函数()ln f x x ax =-在点()1,P b 处的切线与320x y +-=垂直,则2a b +等于(D)
A ．2
B ．0
C ． 1
D ．2 4.dx x x ))1(1(210---⎰= （ D ）
（A ）
22π+
（B ）1
2
+π
（C ）212
-
π
（D ）1
42π-
5．将3张不同的演唱会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是()
A ．2160
B ．720
C ．240
D ．120
解析 分步来完成此事．第1张有10种分法；第2张有9种分法；第3张有8种分法，共有10×9×8＝720种分法．
6.若直线x a ＋y
b
＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
∵a ＋b ＝(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫
1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．∴a ＋b 的最
小值为4，选C.
7. 若等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为
S n ，则数列⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫Sn n 为等差数列，
公差为d
2.类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q ，前n 项的积为T n ，
则等比数列{n
Tn}的公比为( )
A.q
2
B ．q 2 C.q D.n q
[解析] 由题设有，Tn ＝b1·b2·b3·…·bn ＝b1·b1q ·b1q2·…·b1qn －1＝bn 1q1＋2＋…＋(n －1)＝bn 1q .∴n
Tn ＝b1q
，∴等比数列{n
Tn}的公
比为q ，故选C.
8.在不等边三角形中，a 为最大边，想要得到A ∠为钝角的结论，三边c b a ,,应满足的条件是（ C ）
A ． 222c b a +<
B ．222c b a +=
C ．222c b a +>
D ．222c b a +≤
9．用反证法证明命题：“若ab N b a ,,∈能被3整除，那么b a ,中至少有一个能被3整除”时，假设应为（ B ）
A ．b a ,都能被3整除
B ．b a ,都不能被3整除 C.b a ,不都能被3整除 D ．a 都能被3整除.
10．设f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，
f ′(x )
g (x )＋f (x )g ′(x )＞0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )＜0的解是（ ）．
A.(-3,3)
B.(0,3)
C.(－∞，－3)
D.(－∞，－3)∪(0,3)． 解析 设F (x )＝f (x )g (x )，由已知得，F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． 当x ＜0时，F ′(x )＞0，∴F (x )在(－∞，0)上为增函数． 又∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．∴F (－x )＝f (－x )·g (－x ) ＝－f (x )·g (x )＝－F (x )，∴F (x )为奇函数．
∴F (x )在(0，＋∞)上也为增函数．又g (－3)＝0，∴F (－3)＝0，F (3)＝0. ∴f (x )g (x )＜0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．答案 (－∞，－3)∪(0,3) 11．若复数z ＝2i 1－i
，则|z ＋3i|＝________.
∵z ＝2i 1－i
＝
2i
1＋i 2
＝－1＋i.∴z ＝－1－i ，∴|z ＋3i|＝|－1＋2i|
＝ 5. 答案
5
12.曲线2)(+=
x x x f ，则2
)(+=x x x f 的导函数=)('x f ________ 解析：选A.因为y ′＝x ′（x ＋2）－x （x ＋2）′（x ＋2）2＝2
（x ＋2）2
，
13．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋121
-n <n(n ∈N ，且n>1)，第一步要证的不
等式是__．
解析 当n ＝2时，左边为1＋12＋122－1＝1＋12＋13，右边为2.故应填1＋12＋
1
3<2
14.如图为y ＝f (x )的导函数的图象，则下列判断正确的是_答案 ②③．(填序号)
①f (x )在(－3,1)内是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；
③f (x )在(2,4)内是减函数，在(－1,2)内是增函数； ④x ＝1是f (x )的极大值点．解析 ①错，因在(－3，－1)上f ′(x )＜0，
在(－1,1)上f ′(x )＞0，故f (x )在(－3，－1)内是减函数，在(－1,1)内是增函数；
②正确，因f ′(x )在(－3，－1)上为负，f ′(－1)＝0，f ′(x )在(－1,2)上为正；
③正确，因在(2,4)内f ′(x )＜0，故f (x )在(2,4)内是减函数； 在(－1,2)内f ′(x )＞0，故f (x )在(－1,2)内为增函数， ④错，f ′(1)≠0，故x ＝1不是极值点．答案 ②③ 15.1）若z y x ,,均为实数，且6
2,3
2,2
2222π
π
π
+
-=+
-=+
-=a c z c b y b a x ，求证：
z y x ,,中至少有一个大于0.（配套教师p79） 2）计算
2
3714311i
i i i i +=
+++-+（配套教师p99）
16. 1）设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1
ab
≥8.
【证明】 法一：（综合法）因为a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，
所以1＝a ＋b ≥2ab .所以ab ≤12，ab ≤14，所以1ab ≥4.又1a ＋1b ＝（a ＋b ）
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥4，所以1a ＋1b ＋1ab ≥8（当且仅当a ＝b ＝1
2
时等号成立）.
法二：（分析法）因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，要证1a ＋1b ＋1ab
≥8，
只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋a ＋b ab ≥8，只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1a ≥8，即证1a ＋1b ≥4.
也就是证
a ＋
b a ＋a ＋b b ≥4.即证b a ＋a b
≥2，由基本不等式可知， 当a >0，b >0时，b a ＋a
b
≥2成立，所以原不等式成立.
2）已知函数x e x f =)(，1)(+=x x g ，且0≠x ，比较)(x f 和)(x g 的大小
17．(本小题满分14分)若函数f (x )＝13x 3－1
2ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)上为减
函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围． 解 f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，由题意知f ′(x )≤0在(1,4)上恒成立， 且f ′(x )≥0在(6，＋∞)上恒成立．由f ′(x )≤0得x 2－ax ＋a －1≤0.
∵x ∈(1,4)，∴x －1∈(0,3)，∴a ≥x 2－1
x －1＝x ＋1.又∵x ＋1∈(2,5)，∴a ≥5，
①
由f ′(x )≥0得：x 2－ax ＋a －1≥0.∵x ∈(6，＋∞)，∴x －1＞0，
∴a ≤x 2－1x －1
＝x ＋1.又∵x ＋1∈(7，＋∞)，∴a ≤7，
②
∵①②同时成立，∴5≤a ≤7.经检验a ＝5或a ＝7都符合题意．∴所求a 的取值范围为5≤a ≤7. 18.已知数列}{n a ，4111⨯=a ，7412⨯=a ，10
713⨯=a ，...，且n s 为该数列的前n 项和
1）写出数列}{n a 的通项公式
2）计算1s ，2s ，3s ，猜想n s 的表达式，并用数学归纳法证明。

（课本p94）
3）求n s 的取值范围。

（3
141<≤n s ）
19.设函数f （x ）＝2ax －b x ＋ln x ，若f （x ）在x ＝1，x ＝1
2
处取得极值.
（1）求a ，b 的值；
（2）若]1,4
1
[0∈x 存在，使得不等式f （x 0）－c ≤0成立，求c 的取值范围.
解：（1）因为f （x ）＝2ax －b x
＋ln x ，所以f ′（x ）＝2a ＋b x
2＋1
x
.
因为f （x ）在x ＝1，x ＝12处取得极值，所以f ′（1）＝0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫
12＝0.即
⎩⎨⎧2a ＋b ＋1＝0，2a ＋4b ＋2＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1
3，b ＝－13，
所以所求a ，b 的值分别为－13，－1
3.
（2）在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
14，1上存在x 0使得不等式f （x 0）－c ≤0成立，只需c ≥f （x ）min ，
由f ′（x ）＝－23－13x 2＋1x ＝－2x 2－3x ＋13x 2
＝－（2x －1）（x －1）
3x 2. 所以当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
14，12时，f ′（x ）<0，f （x ）是减函数；
当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，f ′（x ）>0，f （x ）是增函数；所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12是f （x ）在⎣⎢⎡⎦⎥
⎤14，1上的最小值.而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1
3
＋ln 12＝13－ln 2，所以c ≥13－ln 2.
所以c 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫
13－ln 2，＋∞.。