滨海新区高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

滨海新区高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知幂函数y=f （x ）的图象过点（，），则f （2）的值为（ ）
A ．
B ．﹣
C ．2
D ．﹣2
2． 若函数f （x ）=3﹣|x ﹣1|+m 的图象与x 轴没有交点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≥0或m ＜﹣1
B ．m ＞0或m ＜﹣1
C ．m ＞1或m ≤0
D ．m ＞1或m ＜0
3． 设集合{}|||2A x R x =∈≤，{}|10B x Z x =∈-≥，则A B = （ ） A.{}|12x x <≤ B.{}|21x x -≤≤ C. {}2,1,1,2-- D. {}1,2
【命题意图】本题考查集合的概念，集合的运算等基础知识，属送分题．
4． 下列说法中正确的是（ ） A ．三点确定一个平面 B ．两条直线确定一个平面
C ．两两相交的三条直线一定在同一平面内
D ．过同一点的三条直线不一定在同一平面内 5． 抛物线y=4x 2的焦点坐标是（ ）
A ．（0，1）
B ．（1，0）
C ．
D ．
6． 已知f （x ）在R 上是奇函数，且满足f （x+4）=f （x ），当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x 2，则f （2015）=
（ ） A ．2
B ．﹣2
C ．8
D ．﹣8 7． 空间直角坐标系中，点A （﹣2，1，3）关于点B （1，﹣1，2）的对称点C 的坐标为（ ） A ．（4，1，1） B ．（﹣1，0，5）
C ．（4，﹣3，1）
D ．（﹣5，3，4）
8． 三个数60.5，0.56，log 0.56的大小顺序为（ ） A ．log 0.56＜0.56＜60.5 B ．log 0.56＜60.5＜0.56
C ．0.56＜60.5＜log 0.56
D ．0.56＜log 0.56＜60.5
9． 已知集合A={x|x ≥0}，且A ∩B=B ，则集合B 可能是（ ）
A ．{x|x ≥0}
B ．{x|x ≤1}
C ．{﹣1，0，1}
D ．R
10．对于函数f （x ），若∀a ，b ，c ∈R ，f （a ），f （b ），f （c ）为某一三角形的三边长，则称f （x ）为“可
构造三角形函数”，已知函数f （x ）=
是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是（ ）
A ． C ． D ．
11．过抛物线y 2=﹣4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若x 1+x 2=﹣6，则|AB|为（ ） A ．8
B ．10
C ．6
D ．4
12．已知四个函数f （x ）=sin （sinx ），g （x ）=sin （cosx ），h （x ）=cos （sinx ），φ（x ）=cos （cosx ）在x ∈[﹣π，π]上的图象如图，则函数与序号匹配正确的是（ ）
A ．f （x ）﹣①，g （x ）﹣②，h （x ）﹣③，φ（x ）﹣④
B ．f （x ）﹣①，φ（x ）﹣②，g （x ）﹣③，
h （x ）﹣④
C ．g （x ）﹣①，h （x ）﹣②，f （x ）﹣③，φ（x ）﹣④
D ．f （x ）﹣①，h （x ）﹣②，g （x ）﹣③，φ（x ）﹣④
二、填空题
13．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y=（
）t ﹣a （a 为常数），
如图所示，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．
14．函数f （x ）=a x +4的图象恒过定点P ，则P 点坐标是 ．
15．已知关于的不等式2
0x ax b ++<的解集为(1,2)，则关于的不等式2
10bx ax ++>的解集 为___________.
16．若6
()mx y +展开式中3
3
x y 的系数为160-，则m =__________．
【命题意图】本题考查二项式定理的应用，意在考查逆向思维能力、方程思想．
17．已知x 是400和1600的等差中项，则x= ．
18．已知1,3x x ==是函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>两个相邻的两个极值点，且()f x 在32
x = 处的导数302f ⎛⎫
'<
⎪⎝⎭，则13f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
___________． 三、解答题
19．设椭圆C ：
+
=1（a ＞b ＞0）过点（0，4），离心率为．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．
20．已知数列{a n }满足a 1=3，a n+1=a n +p •3n （n ∈N *，p 为常数），a 1，a 2+6，a 3成等差数列． （1）求p 的值及数列{a n }的通项公式；
（2）设数列{b n }满足b n =，证明b n ≤．
21．已知函数
，且
． （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）若对于任意，都有，求
的最小值；
（Ⅲ）证明：函数
的图象在直线
的下方．
22．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，f（1）=1，且若∀a、b∈[﹣1，1]，a+b≠0，恒有＞
0，
（1）证明：函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数；
（2）解不等式；
（3）若对∀x∈[﹣1，1]及∀a∈[﹣1，1]，不等式f（x）≤m2﹣2am+1恒成立，求实数m的取值范围．
23．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，．
求证：PC⊥BC；
（Ⅱ）求三棱锥C﹣DEG的体积；
（Ⅲ）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG．若存在，求AM的长；否则，说明理由．
24．如图，在三棱锥 P ABC -中，,,,E F G H 分别是,,,AB AC PC BC 的中点，且
,PA PB AC BC ==.
（1）证明： AB PC ⊥； （2）证明：平面 PAB 平面 FGH .
滨海新区高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：设幂函数y=f （x ）=x α
，把点（，
）代入可得=
α
，
∴α=，即f （x ）=，
故f （2）=
=
，
故选：A ．
2． 【答案】A
【解析】解：∵函数f （x ）=3﹣|x ﹣1|
+m 的图象与x 轴没有交点， ∴﹣m=3﹣|x ﹣1|
无解，
∵﹣|x ﹣1|≤0，
∴0＜3﹣
|x ﹣1|
≤1，
∴﹣m ≤0或﹣m ＞1， 解得m ≥0或m ＞﹣1 故选：A ．
3． 【答案】D 【解析】由绝对值的定义及||2x ≤，得22x -≤≤，则{}|22A x x =-≤≤，所以{}1,2A B = ，故选D.
4． 【答案】D
【解析】解：对A ，当三点共线时，平面不确定，故A 错误； 对B ，当两条直线是异面直线时，不能确定一个平面；故B 错误；
对C ，∵两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，∴当三条直线两两相交且共点时，不一定在同一个平面，如墙角的三条棱；故C 错误； 对D ，由C 可知D 正确． 故选：D ．
5． 【答案】C
【解析】解：抛物线y=4x 2的标准方程为 x 2
=y ，p=，开口向上，焦点在y 轴的正半轴上，
故焦点坐标为（0，），
故选C ．
【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，是解题的关键．
6．【答案】B
【解析】解：∵f（x+4）=f（x），
∴f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1），
又∵f（x）在R上是奇函数，
∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．
故选B．
【点评】本题考查了函数的奇偶性与周期性的应用，属于基础题．
7．【答案】C
【解析】解：设C（x，y，z），
∵点A（﹣2，1，3）关于点B（1，﹣1，2）的对称点C，
∴，解得x=4，y=﹣3，z=1，
∴C（4，﹣3，1）．
故选：C．
8．【答案】A
【解析】解：∵60.5＞60=1，
0＜0.56＜0.50=1，
log0.56＜log0.51=0．
∴log0.56＜0.56＜60.5．
故选：A
【点评】本题考查了不等关系与不等式，考查了指数函数和对数函数的性质，对于此类大小比较问题，有时借助于0和1为媒介，能起到事半功倍的效果，是基础题．
9．【答案】A
【解析】解：由A={x|x≥0}，且A∩B=B，所以B⊆A．
A、{x|x≥0}={x|x≥0}=A，故本选项正确；
B、{x|x≤1，x∈R}=（﹣∞，1]⊊[0，+∞），故本选项错误；
C、若B={﹣1，0，1}，则A∩B={0，1}≠B，故本选项错误；
D、给出的集合是R，不合题意，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了基本初等函数值域的求法，是基础题．
10．【答案】D
【解析】解：由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于∀a，b，c∈R都恒成立，
由于f（x）==1+，
①当t﹣1=0，f（x）=1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长，
满足条件．
②当t﹣1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）＜1+t﹣1=t，
同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，
由f（a）+f（b）＞f（c），可得2≥t，解得1＜t≤2．
③当t﹣1＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜1，
同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1，
由f（a）+f（b）＞f（c），可得2t≥1，解得1＞t≥．
综上可得，≤t≤2，
故实数t的取值范围是[，2]，
故选D．
【点评】本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．
11．【答案】A
【解析】解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=1，
∵抛物线y2=﹣4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点
∴|AB|=2﹣（x1+x2），
又x1+x2=﹣6
∴∴|AB|=2﹣（x1+x2）=8
故选A
12．【答案】 D
【解析】解：图象①是关于原点对称的，即所对应函数为奇函数，只有f （x ）；
图象②④恒在x 轴上方，即在[﹣π，π]上函数值恒大于0，符合的函数有h （x ）和Φ（x ）， 又图象②过定点（0，1），其对应函数只能是h （x ）， 那图象④对应Φ（x ），图象③对应函数g （x ）． 故选：D ．
【点评】本题主要考查学生的识图、用图能力，从函数的性质入手结合特殊值是解这一类选择题的关键，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】0.6
【解析】解：当t ＞0.1时，可得1=（）0.1﹣a
∴0.1﹣a=0 a=0.1
由题意可得y ≤0.25=， 即（
）t ﹣0.1≤，
即t ﹣0.1≥ 解得t ≥0.6，
由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室． 故答案为：0.6
【点评】本题考查函数、不等式的实际应用，以及识图和理解能力．易错点：只单纯解不等式，而忽略题意，得到其他错误答案．
14．【答案】 （0，5） ．
【解析】解：∵y=a x 的图象恒过定点（0，1），
而f （x ）=a x +4的图象是把y=a x 的图象向上平移4个单位得到的， ∴函数f （x ）=a x +4的图象恒过定点P （0，5）， 故答案为：（0，5）．
【点评】本题考查指数函数的性质，考查了函数图象的平移变换，是基础题．
15．【答案】),1()2
1,(+∞-∞
【解析】
考
点：一元二次不等式的解法. 16．【答案】2-
【解析】由题意，得33
6160C m =-，即3
8m =-，所以2m =-．
17．【答案】 1000 ．
【解析】解：∵x 是400和1600的等差中项，
∴x=
=1000．
故答案为：1000．
18．【答案】12
【解析】
考
点：三角函数图象与性质，函数导数与不等式．
【思路点晴】本题主要考查两个知识点：三角函数图象与性质，函数导数与不等式.三角函数的极值点，也就是最大值、最小值的位置，所以两个极值点之间为半周期，由此求得周期和ω，再结合极值点的导数等于零，可求出ϕ.在求ϕ的过程中，由于题目没有给定它的取值范围，需要用302f ⎛⎫
'<
⎪⎝⎭
来验证.求出()f x 表达式后，
就可以求出13f ⎛⎫
⎪⎝⎭
.1 三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）将点（0，4）代入椭圆C 的方程得
=1，∴b=4，…
由e==，得1﹣=，∴a=5，…
∴椭圆C 的方程为+=1．…
（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x ﹣3），…
设直线与椭圆C 的交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
将直线方程y=（x ﹣3）代入椭圆C 方程，整理得x 2﹣3x ﹣8=0，…
由韦达定理得x 1+x 2=3，
y 1+y 2=（x 1﹣3）+（x 2﹣3）=（x 1+x 2）﹣=﹣．…
由中点坐标公式AB 中点横坐标为，纵坐标为﹣，
∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．…
【点评】本题考查椭圆的方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆的方程是关键．
20．【答案】
【解析】（1）解：∵数列{a n }满足a 1=3，a n+1=a n +p •3n （n ∈N *，p 为常数），
∴a 2=3+3p ，a 3=3+12p ，
∵a 1，a 2+6，a 3成等差数列．∴2a 2+12=a 1+a 3，即18+6p=6+12p 解得p=2．
∵a n+1=a n +p •3n ，
∴a 2﹣a 1=2•3，a 3﹣a 2=2•32，…，a n ﹣a n ﹣1=2•3n ﹣1，
将这些式子全加起来 得
a n ﹣a 1=3n ﹣3，
∴a n =3n ．
（2）证明：∵{b n }满足b n =
，∴b n =．
设f （x ）=，则f ′（x ）=，x ∈N *
，
令f′（x）=0，得x=∈（1，2）
当x∈（0，）时，f′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，
且f（1）=，f（2）=，
∴f（x）max=f（2）=，x∈N*．
∴b n≤．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．
21．【答案】
【解析】【知识点】导数的综合运用利用导数研究函数的单调性
【试题解析】（Ⅰ）对求导，得，
所以，解得，
所以．
（Ⅱ）由，得，
因为，
所以对于任意，都有．
设，则．
令，解得．
当x变化时，与的变化情况如下表：
所以当时，．
因为对于任意，都有成立，
所以．
所以的最小值为．
（Ⅲ）证明：“函数的图象在直线的下方”
等价于“”，
即要证，
所以只要证．
由（Ⅱ），得，即（当且仅当时等号成立）．所以只要证明当时，即可．
设，
所以，
令，解得．
由，得，所以在上为增函数．
所以，即．
所以．
故函数的图象在直线的下方．
22．【答案】
【解析】解：（1）证明：任取x1、x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）
∵＞0，
即＞0，
∵x1﹣x2＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0．
则f（x）是[﹣1，1]上的增函数；
（2）由于f（x）是[﹣1，1]上的增函数，
不等式即为
﹣1≤x+＜≤1，
解得﹣≤x＜﹣1，
即解集为[﹣，﹣1）；
（3）要使f（x）≤m2﹣2am+1对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，
只须f（x）max≤m2﹣2am+1，即1≤m2﹣2am+1对任意的a∈[﹣1，1]恒成立，
亦即m2﹣2am≥0对任意的a∈[﹣1，1]恒成立．令g（a）=﹣2ma+m2，
只须，
解得m≤﹣2或m≥2或m=0，即为所求．
23．【答案】
【解析】解：（I）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，
又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，∵PDICE=D，
∴BC⊥平面PCD，又∵PC⊂面PBC，∴PC⊥BC．
（II）解：∵BC⊥平面PCD，
∴GC是三棱锥G﹣DEC的高．
∵E是PC的中点，∴．
∴．
（III）连接AC，取AC中点O，连接EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG．
下面证明之：
∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO∥平面PA，
又∵EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG，∴PA∥平面MEG，
在正方形ABCD中，∵O是AC中点，∴△OCG≌△OAM，
∴，∴所求AM的长为．
【点评】本题主要考查线面平行与垂直关系、多面体体积计算等基础知识，考查空间想象能、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力、考查数形结合思想、化归与转化思想．
24．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
考点：平面与平面平行的判定；空间中直线与直线的位置关系.。