2019版高考数学大一轮复习江苏专版文档：第六章 数列6-3 含答案 精品

§6.3 等比数列及其前n 项和
考情考向分析 以考查等比数列的通项、前n 项和及性质为主，等比数列的证明也是考查的热点．本节内容在高考中既可以以填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查．
1．等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)． 2．等比数列的通项公式
设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －
1(a 1≠0，q ≠0)．
3．等比中项
如果在a 与b 中插入一个数G ，使得a ，G ，b 成等比数列，那么根据等比数列的定义，G
a ＝
b
G
，G 2＝ab ，G ＝±ab ，称G 为a ，b 的等比中项． 4．等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －
m (n ，m ∈N *)．
(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .
(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·
b n }，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n b n 仍是等比数列．
5．等比数列的前n 项和公式
等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1；
当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q .
6．等比数列前n 项和的性质
公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .
知识拓展
等比数列{a n }的单调性
(1)满足⎩⎪⎨⎪⎧
a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1时，{a n }是递增数列． (2)满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1<0，q >1时，{a n }是递减数列．
(3)当⎩⎪⎨⎪⎧
a 1≠0，
q ＝1
时，{a n }为常数列．
(4)当q <0时，{a n }为摆动数列．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( × ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( × )
(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( × ) (4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( × ) (5)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n
，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )
1－a
.( × )
(6)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × ) 题组二 教材改编
2．[P54习题T3(2)]已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝1
4，则公比q ＝______.
答案 12
解析 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝1
2
.
3．[P54习题T5]在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 答案 27,81
解析 设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.
∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81. 题组三 易错自纠
4．若1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1－a 2
b 2
的值为________．
答案 －1
2
解析 ∵1，a 1，a 2,4成等差数列， ∴3(a 2－a 1)＝4－1，∴a 2－a 1＝1.
又∵1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，设其公比为q ，则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2
>0，∴b 2＝
2，
∴a 1－a 2b 2＝－(a 2－a 1)b 2＝－12
.
5．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5
S 2＝________.
答案 －11
解析 设等比数列{a n }的公比为q ， ∵8a 2＋a 5＝0，∴8a 1q ＋a 1q 4＝0. ∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2，
∴S 5S 2＝a 1(1－q 5
)1－q ·1－q a 1(1－q 2)
＝1－q 51－q 2＝1－(－2)51－4
＝－11. 6．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________分钟，该病毒占据内存64 MB.(1 MB ＝210 KB) 答案 48
解析 由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{a n }，且a 1＝2，q ＝2，∴a n ＝2n ，
则2n ＝64×210＝216，∴n ＝16. 即病毒共复制了16次． ∴所需时间为16×3＝48(分钟)．
题型一 等比数列基本量的运算
1．已知等比数列{a n }满足a 1＝1
4，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝________.
答案 12
解析 由{a n }为等比数列，得a 3a 5＝a 2
4，
又a 3a 5＝4(a 4－1)，所以a 24＝4(a 4－1)，
解得a 4＝2.设等比数列{a n }的公比为q ， 则由a 4＝a 1q 3，得2＝1
4q 3，解得q ＝2，
所以a 2＝a 1q ＝1
2
.
2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S n
a n ＝________.
答案 2n －1
解析 ∵⎩⎨⎧
a 1＋a 3＝52
，
a 2
＋a 4
＝5
4
，∴⎩⎨⎧
a 1＋a 1q 2＝5
2
， ①
a 1
q ＋a 1q 3
＝5
4
， ②
由①除以②可得1＋q 2q ＋q 3＝2，解得q ＝1
2，代入①得a 1＝2， ∴a n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝42n ，
∴S n ＝2×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12
＝4⎝⎛⎭⎫1－12n ，
∴S n a n ＝4⎝⎛⎭
⎫1－12n 4
2n
＝2n －1. 思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解． 题型二 等比数列的判定与证明
典例 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)． (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． (1)证明 由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2， 得a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2. ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.
又⎩⎪⎨⎪⎧
S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1
＋2(n ≥2)， ② 由①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)(n ≥2)． ∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1(n ≥2)， 故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列．
(2)解 由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －
1(n ∈N *)，
∴a n ＋12
n 1－a n 2n ＝34，
故⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为3
4的等差数列．
∴a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －1
4， 故a n ＝(3n －1)·2n －
2(n ∈N *)．
引申探究
若将本例中“S n ＋1＝4a n ＋2”改为“S n ＋1＝2S n ＋(n ＋1)”，其他不变，求数列{a n }的通项公式． 解 由已知得n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n . ∴S n ＋1－S n ＝2S n －2S n －1＋1，∴a n ＋1＝2a n ＋1， ∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，n ≥2，(*)
又a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1＋2，即a 2＋1＝2(a 1＋1)， ∴当n ＝1时(*)式也成立，
故{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＋1＝2·2n －
1＝2n ，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．
思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可． (2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证． 跟踪训练 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝31
32
，求λ.
(1)证明 由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝1
1－λ，a 1≠0.
由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1， 两式相减得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，
即a n ＋1(λ－1)＝λa n ，由a 1≠0，λ≠0，得a n ≠0， 所以a n ＋1a n ＝λλ－1
.
因此{a n }是首项为11－λ，公比为λ
λ－1的等比数列，
于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭
⎫λλ－1n －1
.
(2)解 由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭
⎫λ
λ－1n .
由S 5＝3132，得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝1
32.
解得λ＝－1.
题型三 等比数列性质的应用
1．已知等比数列{a n }，且a 6＋a 8＝4，则a 8(a 4＋2a 6＋a 8)的值为________． 答案 16
解析 ∵a 6＋a 8＝4，∴a 8(a 4＋2a 6＋a 8)＝a 8a 4＋2a 8a 6＋a 28＝(a 6＋a 8)2
＝16.
2．已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝________. 答案 60
解析 由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4,8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，因此S 12＝4＋8＋16＋32＝60. 思维升华 等比数列常见性质的应用 等比数列性质的应用可以分为三类： (1)通项公式的变形． (2)等比中项的变形． (3)前n 项和公式的变形．
根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
分类讨论思想在等比数列中的应用
典例 (16分)已知首项为3
2的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数
列．
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n ≤13
6
(n ∈N *)．
思想方法指导 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式； (2)求出前n 项和，根据函数的单调性证明． 规范解答
(1)解 设等比数列{a n }的公比为q ， 因为－2S 2，S 3，4S 4成等差数列，
所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4， 可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－1
2
.[2分]
又a 1＝3
2，所以等比数列{a n }的通项公式为
a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·3
2n (n ∈N *)．[5分] (2)证明 由(1)知，S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－1
2n ， S n ＋1
S n
＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ＋1
1－⎝⎛⎭
⎫－1
2n
＝⎩⎨⎧
2＋1
2n (2n
＋1)，n 为奇数，
2＋
1
2n
(2n
－1)，n 为偶数.
[8分]
当n 为奇数时，S n ＋1
S n 随n 的增大而减小，
所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝13
6
.[12分]
当n 为偶数时，S n ＋1
S n 随n 的增大而减小，
所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝25
12.[14分]
故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤13
6
.[16分]
1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10
S 5＝________.
答案 33
解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知得q ≠1. ∵S 3＝2，S 6＝18，∴1－q 31－q 6＝2
18
，得q 3＝8，∴q ＝2. ∴S 10S 5＝1－q 10
1－q
5＝1＋q 5＝33. 2．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1＝________. 答案 －1
解析 由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即q ＋q 2＝3q 2－3，解得q ＝－1(舍去)或q ＝32，将q ＝32代入S 2＝3a 2＋2中得a 1＋32a 1＝3×3
2
a 1＋2，解得a 1＝－1.
3．已知等比数列{a n }中，a 3＝2，a 4a 6＝16，则a 10－a 12
a 6－a 8的值为________．
答案 4
解析 a 5＝±a 4·a 6＝±16＝±4， ∵q 2＝a 5
a 3>0，∴a 5＝4，q 2＝2，
则a 10－a 12a 6－a 8
＝q 4＝4. 4．(2017·无锡期末)设公比不为1的等比数列{a n }满足a 1a 2a 3＝－1
8，且a 2，a 4，a 3成等差数
列，则数列{a n }的前4项和为________． 答案 58
解析 设{a n }的公比为q ，q ≠1.由等比中项的性质可得a 1a 2a 3＝a 32＝－18，所以a 2＝－1
2.因为a 2，a 4，a 3成等差数列，所以2a 4＝a 2＋a 3，即2a 2q 2＝a 2＋a 2q ，化简得2q 2－q －1＝0，即(q －1)(2q ＋1)＝0，解得q ＝1(舍)或q ＝－12.又因为a 1＝a 2
q ＝1，所以S 4＝a 1(1－q 4)1－q
＝
1×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－1241－⎝⎛⎭
⎫－12＝5
8. 5．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________. 答案 10
解析 由等比数列的性质知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18，所以a 5a 6＝9， 则原式＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝10.
6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了________里． 答案 96
解析 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ＝1
2，
由题意得a 1⎝⎛⎭
⎫1－1261－12
＝378，
解得a 1＝192，则a 2＝192×1
2
＝96，即第二天走了96里．
7．(2017·江苏)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝63
4，则a 8
＝________. 答案 32
解析 设{a n }的首项为a 1，公比为q ，
则⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1(1－q 3)1－q
＝7
4，a 1
(1－q 6
)1－q ＝634，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝14，
q ＝2，
所以a 8＝1
4
×27＝25＝32.
8．(2014·江苏)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值为________． 答案 4
解析 因为a 8＝a 2q 6，a 6＝a 2q 4，a 4＝a 2q 2，所以由a 8＝a 6＋2a 4，得a 2q 6＝a 2q 4＋2a 2q 2，消去a 2q 2，得到关于q 2的一元二次方程(q 2)2－q 2－2＝0，解得q 2＝2，q 2＝－1(舍去)，a 6＝a 2q 4＝1×22＝4.
9．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和为________． 答案 2n －1
解析 设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋a 1q 3
＝9，
a 21·
q 3＝8，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1＝1，q ＝2或⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝8，
q ＝1
2
.
又{a n }为递增数列，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝1，q ＝2，
∴数列{a n }的前n 项和为1－2n 1－2
＝2n
－1(n ∈N *)．
10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1(n ∈N *)，则通项a n ＝________. 答案
12n
解析 ∵a n ＋S n ＝1，① ∴a n －1＋S n －1＝1(n ≥2)，②
由①－②，得a n －a n －1＋a n ＝0，即a n a n －1＝1
2(n ≥2)，
又a 1＝1
2
，
∴数列{a n }是首项为12，公比为1
2的等比数列，
则a n ＝12×⎝⎛⎭⎫12n －1＝1
2
n .
11．已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2
n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0(n ∈N *)．
(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．
解 (1)由题意，得a 2＝12，a 3＝14.
(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0，得 2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)． 因为{a n }的各项都为正数， 所以a n ＋1≠0，所以a n ＋1a n ＝1
2
.
故{a n }是首项为1，公比为1
2的等比数列，
因此a n ＝1
2
n －1(n ∈N *)．
12．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n
，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *.
(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ； (2)求T 2n .
解 (1)∵a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，∴a n ＋1·a n ＋2
＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1
， ∴a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝1
2a n . ∵b n ＝a 2n ＋a 2n －1，
∴b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋1
2a 2n －1
a 2n ＋a 2n －1＝1
2， ∵a 1＝1，a 1·a 2＝12，∴a 2＝12，∴b 1＝a 1＋a 2＝32.
∴{b n }是首项为32，公比为1
2的等比数列．
∴b n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝32n (n ∈N *
)． (2)由(1)可知，a n ＋2＝1
2
a n ，
∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝1
2
为首
项，以12
为公比的等比数列， ∴T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12
＝3－32n (n ∈N *)．
13．(2017·扬州期末)在正项等比数列{a n }中，若a 4＋a 3－2a 2－2a 1＝6，则a 5＋a 6的最小值为________．
答案 48
解析 方法一 由a 4＋a 3－2a 2－2a 1＝6，得a 1(q ＋1)·(q 2－2)＝6，所以a 1(q ＋1)＝
6q 2－2.因为a n ＞0，所以q 2－2＞0，a 5＋a 6＝a 1(1＋q )q 4＝6q 4q 2－2＝6×(q 4－4)＋4q 2－2
＝6×⎣⎡⎦⎤(q 2＋2)＋4q 2－2＝6×⎝⎛⎭⎫q 2－2＋4q 2－2＋4≥6×⎝ ⎛⎭⎪⎫2(q 2－2)×4q 2
－2＋4＝6×8＝48，当且仅当q 2－2＝4q 2－2，即q ＝2，a 1＝1时，等号成立，所以a 5＋a 6的最小值为48.
方法二 由a 4＋a 3－2a 2－2a 1＝6，得(a 2＋a 1)(q 2－2)＝6，所以a 2＋a 1＝6q 2－2
.因为a n ＞0，所以q 2－2＞0，即q 2＞2，a 5＋a 6＝(a 1＋a 2)q 4
＝6q 4q 2－2＝61q 2－2q 4.令t ＝1q 2∈⎝⎛⎭⎫0，12，则1q 2－2q 4＝t －2t 2＝－2⎝⎛⎭⎫t －142＋18，当t ＝14∈⎝⎛⎭⎫0，12时，式子1q 2－2q 4取得最大值18，从而a 5＋a 6＝61q 2－2q 4
取得最小值6×8＝48.
14．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝12
n (n ＝1,2,3，…)，则S 2n ＋3＝____________. 答案 43⎝⎛⎭
⎫1－14n ＋2 解析 由题意，得S 2n ＋3＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2n ＋2＋a 2n ＋3)＝1＋14＋116＋…＋14
n ＋1 ＝43⎝⎛⎭
⎫1－1
4n ＋2(n ∈N *)．
15．已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，则使得T n >1的n 的最小值为________．
答案 6
解析 ∵{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 2a 4＝a 3，∴a 23＝a 3，∴a 3＝1.又∵q >1，
∴a 1<a 2<1，a n >1(n >3)，∴T n >T n －1(n ≥4，n ∈N *)，T 1<1，T 2＝a 1·a 2<1，T 3＝a 1·a 2·a 3＝a 1a 2＝T 2<1，T 4＝a 1a 2a 3a 4＝a 1<1，T 5＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝a 53＝1，T 6＝T 5·
a 6＝a 6>1，故n 的最小值为6. 16．设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋12n ＝(－1)n a n (n ∈N *)，则数列{S n }的前9项和为________． 答案 －3411 024
解析 因为S n ＋12n ＝(－1)n a n ， 所以S n －1＋12
n －1＝(－1)n －1a n －1(n ≥2)． 两式相减得S n －S n －1＋12n －12
n －1 ＝(－1)n a n －(－1)n －
1a n －1， 即a n －12n ＝(－1)n a n ＋(－1)n a n －1(n ≥2)， 当n 为偶数时，a n －12n ＝a n ＋a n －1， 即a n －1＝－12n ，此时n －1为奇数， 所以若n 为奇数，则a n ＝－1
2n ＋1； 当n 为奇数时，a n －12n ＝－a n －a n －1， 即2a n －12n ＝－a n －1， 所以a n －1＝12
n －1，此时n －1为偶数， 所以若n 为偶数，则a n ＝12n . 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧ －12n ＋1，n 为奇数，12n ，n 为偶数.
所以数列{S n }的前9项和为S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 9＝9a 1＋8a 2＋7a 3＋6a 4＋…＋3a 7＋2a 8＋a 9＝(9a 1＋8a 2)＋(7a 3＋6a 4)＋…＋(3a 7＋2a 8)＋a 9
＝－122－124－126－128－1210＝－122×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1451－14＝－3411 024.。