线性代数考研训练试题

线性代数考研训练试题
一、单项选择题
1.[] 若s a a a ,,,21 均为n 维列向量， A 是n m ⨯矩阵，下列选项正确的是 (A) 若s a a a ,,,21 线性相关，则s Aa Aa Aa ,,,21 线性相关. (B) 若s a a a ,,,21 线性相关，则s Aa Aa Aa ,,,21 线性无关. (C) 若s a a a ,,,21 线性无关，则s Aa Aa Aa ,,,21 线性相关.
(D) 若s a a a ,,,21 线性无关，则s Aa Aa Aa ,,,21 线性无关. [ A ] 2.[、4] 设A 为3的阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到
第2列得C ，记⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=100010011P ，则
(A) C =AP P 1-. (B)C =1-PAP . (C)C =AP P T . (D) C =T PAP . [ B ]
3.[、4] 设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是 (A) 122331,,αααααα--- (B) 122331,,αααααα+++
(C) 1223312,2,2αααααα--- (D) 1223312,2,2αααααα+++ [ A ]
4[、4]设矩阵211121112A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，100010000B ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，则A 与B
(A)合同，且相似 (B)合同，但不相似
(C)不合同，但相似 (D)不合同，也不相似 [ B ] 5. [] 设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若03
=A ，则 (A) E A -不可逆，E A +不可逆. (B) E A -不可逆，E A +可逆.
(C) E A -可逆，E A +可逆. (D) E A -可逆，E A +不可逆 [ C ]
6. []设1221A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为 (A) ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--21
12
(B) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2112 (C) ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛2112 (D) ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--1221 [ D ]
7. [] 设,A B 均为2阶矩阵，**
,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2A =，3B =，则分块
矩阵A ⎛⎫
⎪⎝⎭
O B O 的伴随矩阵为
(A) **
32⎛⎫ ⎪⎝⎭
O B A O (B) **23⎛⎫
⎪⎝⎭
O B A
O (C) **32⎛⎫
⎪⎝⎭
O A B O (D) **23⎛⎫ ⎪⎝⎭O A B O [ B ] 8. [] 设,A P 均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且100010002T ⎛⎫ ⎪=
⎪ ⎪⎝
⎭
P AP . 若123(,,)ααα=P ，1223(,,)αααα=+Q ，则T Q AQ 为
(A) 210110002⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
(B)
110120002⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
(C) 200010002⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
(D) 100020002⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
[ A ] 9. []设向量组I:12,,
,r ααα可由向量组II:12,,,s βββ线性表出.下列命题正确的是
(A) 若向量组I 线性无关，则r s ≤ (B) 若向量组I 线性相关，则r s > (C) 若向量组II 线性无关，则r s ≤
(D) 若向量组II 线性相关，则r s > [ A ]
10. [] 设A 为4阶实对称矩阵，且2
+=A A O .若A 的秩为3，则A 相似于
(A)1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B)1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ (C)1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ (D)1110-⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪- ⎪
⎝⎭ [ D ]
11.[]设A 为3阶方阵，将A 的第2列加到第一列得到矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行
得单位矩阵，记121001001
10,001001010P P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则A= (A)12P P (B) 112P P - (C) 21
P P (D) 112P P - [ D ] 12. []设A 为4×3矩阵，123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax β=的通解为
(A)23121()2k ηηηη++- (B) 23121()2
k ηηηη-+-
(C) 23121231()()2k k ηηηηηη++-+- (D) 23121231()()2
k k ηηηηηη-+-+- [C]
二、填空题
1.[、4] 已知21,a a 为2维列向量，矩阵()2121,2a a a a A -+=，），（21a a B =.若行列式
==B A ，则6|| -2 .
2.[204] 设矩阵⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=2112A ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足矩阵E B BA 2+=，则B =
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-1111 3.[、4] 设矩阵0
1000
01000010
000A ⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭
，则3A 的秩为
1
4. [] 设3阶矩阵A 的特征值是1, 2, 2，E 为3阶单位矩阵，则E A --14= _3___
5. [] 设(1,1,1)T α=,(1,0,)T k β=。

若矩阵T
αβ相似于300000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，则k ＝
2
.
6. [] 设A ，B 为3阶矩阵，且||3=A ，||2=B ，1
||2-+=A B ，则1
||-+=A B 3 .
7. []设二次型123(,,)T
f x x x xA x =的秩为1，A 的各行元素之和为3，则f 在正交变换x Qy
=下的标准形为2
13y .
三、解答题
1.[、4] 设4维向量组()T
a a 1,1,1,11+=,()T
a a 2,2,2,22+=,()T
a a 3,3,3,33+=，
()T
a a +=4,4,4,44，问a 为何值时，4321,,,a a a a 线性相关？当4321,,,a a a a 线性相关时，
求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.
2.[、4] 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3，向量(),1,2,11T
a --=
()T
a 1,1,02-=是线性方程组0=Ax 的两个解.
( I ) 求A 的特征值与特征向量； ( II ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ，使得Λ=AQ Q T
；
(III) 求A 及6
23⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-E A ，其中E 为3阶单位矩阵.。