吉林省长春市榆树市2019-2020学年八年级(上)期中数学试卷及答案

2019-2020学年八年级（上）期中数学试卷
一．选择题（共8小题）
1．﹣8的立方根是（）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
2．下列各数中是无理数的是（）
A．0.0B．
C．D．1.010010001
3．如图，数轴上A、B、C、D四个点中，与表示数的点最接近的点是（）
A．点A B．点B C．点C D．点D
4．计算的结果是（）
A．5m B．m5C．5m D．5+m
5．计算a2•a4的结果为（）
A．a2B．a4C．a6D．a8
6．多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1的公因式是（）
A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．（x﹣1）2
7．如果（x﹣2）（x+3）＝x2+px+q，那么p、q的值为（）
A．p＝5，q＝6 B．p＝﹣1，q＝6 C．p＝1，q＝﹣6 D．p＝5，q＝﹣6 8．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
二．填空题（共6小题）
9．25的算术平方根是．
10．比较大小：4．
11．若m﹣2n＝8，则9﹣2m+4n的值是．
12．把“两边相等的三角形是等腰三角形”改写成“如果……，那么……”的形式为．13．若4x2+kxy+9y2是一个完全平方式，则k的值为．
14．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是（用a、b的代数式表示）．
三．解答题（共10小题）
15．计算：
（1）（﹣3m2）2•（﹣5m3）
（2）（﹣a﹣b）（a﹣b）
16．计算：
（1）（﹣x）5÷（﹣x）3•（﹣x）4
（2）（3xy2﹣y3）2÷3y3
17．计算：2x（x﹣1）﹣3x（x﹣）
18．分解因式：x3﹣25x
19．先化简，再求值：3（x﹣2）2﹣2x（x﹣3），其中x＝．
20．已知a是16的算术平方根，b是9的平方根，c是﹣27的立方根，求a2+b2+c3+a﹣c+2的值．
21．定义一种新运算“⊗”：观察下列各式：
2⊗3＝2×3+3＝9；3⊗（﹣1）＝3×3﹣1＝8；
4⊗4＝4×3+4＝16：5⊗（﹣3）＝5×3﹣3＝12
（1）请你想一想：a⊗b＝；
（2）已知（a+3）2与|b﹣1|互为相反数，c与a互为倒数，试求c⊗（a⊗b）的值．
22．如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm，向里依次为99cm，98cm，…，1cm，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？
23．观察下列各个等式：
第一个等式：32﹣4×12＝5．
第二个等式：52﹣4×22＝9．
第三个等式：72﹣4×32＝13．
…
根据上述等式反映出的规律解答下列问题：
（1）直接写出第五个等式；
（2）猜想第n个等式（用含n的代数式表示），并验证你猜想的等式是正确的．
24．已知：a﹣b＝b﹣c＝m，a2+b2+c2＝2m2．
（1）填空①a﹣c＝，②（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝．（用含m的式子表示）
（2）求ab+bc+ac的值（用含m的式子表示）．
（3）证明：a+b+c＝0．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．﹣8的立方根是（）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
【分析】利用立方根的定义即可求解．
【解答】解：∵（﹣2）3＝﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2．
故选：B．
2．下列各数中是无理数的是（）
A．0.0B．
C．D．1.010010001
【分析】根据无理数的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、不是无理数，故本选项不符合题意；
B、是无理数，故本选项符合题意；
C、＝2，不是无理数，故本选项不符合题意；
D、不是无理数，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．如图，数轴上A、B、C、D四个点中，与表示数的点最接近的点是（）
A．点A B．点B C．点C D．点D 【分析】依据被开方数越大，对应的算术平方根越大进行比较即可．
【解答】解：∵12＝1，22＝4，
∴12＜3＜22，
∴1，
∴与表示的点最接近的点是得D．
故选：D．
4．计算的结果是（）
A．5m B．m5C．5m D．5+m
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则得出答案．
【解答】解：＝5m．
故选：A．
5．计算a2•a4的结果为（）
A．a2B．a4C．a6D．a8
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则求出答案．
【解答】解：原式＝a2+4＝a6．
故选：C．
6．多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1的公因式是（）
A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．（x﹣1）2
【分析】分别将多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1进行因式分解，再寻找它们的公因式．【解答】解：mx2﹣m＝m（x﹣1）（x+1），
x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1的公因式是（x﹣1）．
故选：A．
7．如果（x﹣2）（x+3）＝x2+px+q，那么p、q的值为（）
A．p＝5，q＝6 B．p＝﹣1，q＝6 C．p＝1，q＝﹣6 D．p＝5，q＝﹣6 【分析】先根据多项式乘以多项式的法则，将（x﹣2）（x+3）展开，再根据两个多项式相等的条件即可确定p、q的值．
【解答】解：∵（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6，
又∵（x﹣2）（x+3）＝x2+px+q，
∴x2+px+q＝x2+x﹣6，
∴p＝1，q＝﹣6．
故选：C．
8．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【分析】利用正方形的面积公式和矩形的面积公式分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．
【解答】解：第一个图形阴影部分的面积是a2﹣b2，
第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b）．
则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：D．
二．填空题（共6小题）
9．25的算术平方根是 5 ．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果，算术平方根只有一个正根．
【解答】解：∵52＝25，
∴25的算术平方根是5．
故答案为：5．
10．比较大小：＜4．
【分析】先把4写成，再进行比较即可．
【解答】解：∵4＝，＜，
∴＜4；
故答案为：4．
11．若m﹣2n＝8，则9﹣2m+4n的值是﹣7 ．
【分析】将所求式子后两项提取﹣2变形后，把m﹣2n的值代入计算，即可求出值．【解答】解：∵m﹣2n＝8，
∴9﹣2m+4n＝9﹣2（m﹣2n）＝9﹣16＝﹣7．
故答案为：﹣7．
12．把“两边相等的三角形是等腰三角形”改写成“如果……，那么……”的形式为如果一个三角形中有两边相等，那么这个三角形是等腰三角形．
【分析】找到这个命题的条件即为题设，用如果引起，再找到这个命题的结论，用那么引起即可．
【解答】解：命题“两边相等的三角形是等腰三角形”改写成“如果…，那么…”的表述形式：
如果一个三角形中有两边相等，那么这个三角形是等腰三角形．
故答案为：如果一个三角形中有两边相等，那么这个三角形是等腰三角形．
13．若4x2+kxy+9y2是一个完全平方式，则k的值为±12 ．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．
【解答】解：∵4x2+kxy+9y2是一个完全平方式，
∴k＝±12，
故答案为：±12
14．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是ab（用a、b的代数式表示）．
【分析】利用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可求解．
【解答】解：设大正方形的边长为x1，小正方形的边长为x2，由图①和②列出方程组得，
解得，
②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积＝（）2﹣4×（）2＝ab．
故答案为：ab．
三．解答题（共10小题）
15．计算：
（1）（﹣3m2）2•（﹣5m3）
（2）（﹣a﹣b）（a﹣b）
【分析】（1）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再运用单项式乘单项式的运算法则计算可得到结果；
（2）原式利用平方差公式计算即可得到结果．
【解答】解：（1）（﹣3m2）2•（﹣5m3）
＝（9m4）•（﹣5m3）
＝﹣45m7；
（2）（﹣a﹣b）（a﹣b）
＝（﹣b﹣a）（﹣b+a）
＝（b+a）（b﹣a）
＝b2﹣a2．
16．计算：
（1）（﹣x）5÷（﹣x）3•（﹣x）4
（2）（3xy2﹣y3）2÷3y3
【分析】（1）直接利用同底数幂的乘除运算法则计算得出答案；
（2）直接利用完全平方公式以及整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）（﹣x）5÷（﹣x）3•（﹣x）4
＝（﹣x）5﹣3+4
＝x6；
（2）（3xy2﹣y3）2÷3y3
＝（9x2y4+y6﹣6xy5）÷3y3
＝3x2y+y3﹣2xy2．
17．计算：2x（x﹣1）﹣3x（x﹣）
【分析】直接去括号进而合并同类项得出答案．
【解答】解：原式＝x2﹣2x﹣x2+5x
18．分解因式：x3﹣25x
【分析】直接提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：x3﹣25x＝x（x2﹣25）
＝x（x+5）（x﹣5）．
19．先化简，再求值：3（x﹣2）2﹣2x（x﹣3），其中x＝．
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝3（x2﹣4x+4）﹣（2x2﹣6x）
＝3x2﹣12x+12﹣2x2+6x
＝x2﹣6x+12
当x＝时，
原式＝（）2﹣6×+12
＝﹣2+12
＝10．
20．已知a是16的算术平方根，b是9的平方根，c是﹣27的立方根，求a2+b2+c3+a﹣c+2的值．
【分析】先根据算术平方根，平方根和立方根的定义求出a、b2、c的值，再代入代数式计算即可得解．
【解答】解：因为a是16的算术平方根，
所以a＝4，
所以a2＝16，
又因为b是9的平方根，
所以b2＝9，
因为c是﹣27的立方根，
所以c3＝﹣27，c＝﹣3，
所以a2+b2+c3+a﹣c+2
＝16+9﹣27+4+3+2
21．定义一种新运算“⊗”：观察下列各式：
2⊗3＝2×3+3＝9；3⊗（﹣1）＝3×3﹣1＝8；
4⊗4＝4×3+4＝16：5⊗（﹣3）＝5×3﹣3＝12
（1）请你想一想：a⊗b＝3a+b；
（2）已知（a+3）2与|b﹣1|互为相反数，c与a互为倒数，试求c⊗（a⊗b）的值．
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）利用相反数，倒数的性质求出a，b，c的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式＝3a+b；
故答案为：3a+b；
（2）根据题意得：（a+3）2+|b﹣1|＝0，ac＝1，
解得：a＝﹣3，b＝1，c＝﹣，
则c⊗（a⊗b）＝（﹣）⊗[（﹣3）⊗1]＝（﹣）⊗（﹣8）＝﹣9．
22．如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm，向里依次为99cm，98cm，…，1cm，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？
【分析】相邻两正方形面积的差表示一块阴影部分的面积，而正方形的面积是边长的平方，所以能用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差，而正方形的面积是其边长的平方，这样就可以逆用平方差公式计算了．于是
S阴影＝（1002﹣992）+（982﹣972）+…+（32﹣22）+12
＝100+99+98+97+…+3+2+1
＝5050（cm2）．
答：所有阴影部分的面积和是5050cm2．
23．观察下列各个等式：
第一个等式：32﹣4×12＝5．
第二个等式：52﹣4×22＝9．
第三个等式：72﹣4×32＝13．
…
根据上述等式反映出的规律解答下列问题：
（1）直接写出第五个等式；
（2）猜想第n个等式（用含n的代数式表示），并验证你猜想的等式是正确的．
【分析】（1）根据题目中的几个等式，可以发现数字的变化特点，从而可以写出第五个等式；
（2）根据题目中的式子，可以写出相应的猜想，并验证猜想是否正确．
【解答】解：（1）∵第一个等式：32﹣4×12＝5．
第二个等式：52﹣4×22＝9．
第三个等式：72﹣4×32＝13．
…
则第五个等式：112﹣4×52＝21；
（2）猜想第n个等式是：（2n+1）2﹣4n2＝5+4（n﹣1），
理由：∵（2n+1）2﹣4n2
＝4n2+4n+1﹣4n2
＝4n+1，
5+4（n﹣1）＝5+4n﹣4＝4n+1，
∴（2n+1）2﹣4n2＝5+4（n﹣1）．
24．已知：a﹣b＝b﹣c＝m，a2+b2+c2＝2m2．
（1）填空①a﹣c＝2m，②（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝6m2．（用含m的式子表示）
（2）求ab+bc+ac的值（用含m的式子表示）．
（3）证明：a+b+c＝0．
【分析】（1）①根据a﹣b＝b﹣c＝m可得答案，②把a﹣b＝b﹣c＝m，a﹣c＝2m代入可得答案；
（2）由（1）的计算变形可得答案；
（3）根据完全平方公式变形可以证明．
【解答】解：（1）因为a﹣b＝m①，b﹣c＝m②，
①+②，得a﹣c＝2m，
把a﹣b＝m，b﹣c＝m，a﹣c＝2m代入（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2得，（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2
＝m2+m2+（2m）2
＝6m2；
故答案为：2m；6m2；
（2）由：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝6m2得
a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+a2﹣2ac+c2＝6m2，
整理得：2（a2+b2+c2）﹣2（ab+bc+ac）＝6m2，
解得：ab+bc+ac＝（a2+b2+c2）﹣3m2＝2m2﹣3m2＝﹣m2；
（3）因为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
＝a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）＝2m2+2•（﹣m2）＝0，
所以：a+b+c＝0．。