2012年辽宁卷文科数学高考试卷(原卷 答案)

绝密★启用前
2012年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)
文科数学
本试卷共24题，共150分。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I 卷（选择题）
一、单选题
1．已知向量(1,1)a =−，(2,)b x =..若•1a b =,则x = A ．—1
B ．—
12
C ．
12
D ．1
2．已知全集{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，集合{}0,1,3,5,8A =，集合{}2,4,5,6,8B =，则()()U U C A C B ⋂=（ ） A ．{}5,8
B ．{}7,9
C ．{}0,1,3
D ．{}2,4,6
3．复数
11i =+ A ．1122
i −
B ．
1122
i + C ．1i − D ．1i + 4．在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则a 2+a 10=( ) A ．12 B ．16 C ．20
D ．24
5．已知命题p ：∀x 1,x 2∈R,(f(x 2)−f(x 1))(x 2−x 1)≥0,则⌝p 是 A ．∃x 1,x 2∈R,(f(x 2)−f(x 1))(x 2−x 1)≤0 B ．∀x 1,x 2∈R,(f(x 2)−f(x 1))(x 2−x 1)≤0 C ．∃x 1,x 2∈R,(f(x 2)−f(x 1))(x 2−x 1)<0 D ．∀x 1,x 2∈R,(f(x 2)−f(x 1))(x 2−x 1)<0
6．已知sin cos αα−=， α∈ (0，π)，则sin2α=
A ．−1
B ．2
−
C ．2
D ．1
7．将圆x 2+y 2 -2x-4y+1=0平分的直线是（ ）
A ．x+y-1=0
B ．x+y+3=0
C ．x-y+1=0
D ．x-y+3=0 8．函数y=12
x 2
−㏑x 的单调递减区间为 A ．（−1,1]
B ．（0,1]
C ．[1，+∞）
D ．（0，+∞）
9．设变量x，y满足则2x+3y的最大值为
A．20B．35C．45D．55 10．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是
A．4B．3 2
C．2
3
D．−1
11．在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为
A．1
6
B．
1
3
C．
2
3
D．
4
5
12．已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，−2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为
A．1B．3C．−4D．−8
第II卷（非选择题）
二、填空题
13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______________.
14．已知等比数列｛a n｝为递增数列．若a1>0，且2（a n+a n+2）=5a n+1，则数列｛a n｝的公比q =
_____________________.
15．已知双曲线x2−y2 =1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若P F1⊥PF2，则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________.
16．已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为
，则△OAB 的面积为______________.
三、解答题
17．在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ,角A ，B ，C 成等差数列． ⑴求cosB 的值；
⑵边a ，b ，c 成等比数列，求sinAsinC 的值．
18．如图，直三棱柱///ABC A B C −，90BAC ∠=，AB AC ==AA′=1，点M ，N 分别为/A B 和//B C 的中
点。

(Ⅰ)证明：MN ∥平面//A ACC ；
(Ⅱ)求三棱锥/A MNC −的体积。

（锥体体积公式V=
1
3
Sh,其中S 为底面面积，h 为高）
19．电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性． (Ⅰ)根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别 有关？
非体育迷 体育迷 合计 男 女 合计
(Ⅱ)将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．
2()P K k ≥ 0.05
0.01
k 3.841 6.635
附2
2
112212211212
(),n n n n n K n n n n ++++−=
20．如图，动圆222
1:C x y t +=,1<t<3,
与椭圆2C ：2219
x
y +=相交于A ，B ，C ，D 四点，点12,A A 分别为2C 的左，右顶点．
(Ⅰ)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积；
(Ⅱ)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．
21
．设()ln 1f x x =−，证明：
(Ⅰ)当x ﹥1时，()f x ﹤
3
2
（1x −）；
(Ⅱ)当13x <<时，9(1)
()5
x f x x −<
+． 22． 如图，⊙O 和⊙相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E 。

证明：
(Ⅰ)； (Ⅱ) 。

23．在直角坐标xOy 中，圆2
2
1:4C x y +=，圆22
2:(2)4C x y −+=．
(Ⅰ)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆12,C C 的极坐标方程，并求出圆12,C C 的交点坐标(用极坐标表示)；
(Ⅱ)求圆12C C 与的公共弦的参数方程．
24．已知()1()f x ax a R =+∈，不等式()3f x ≤的解集为{x|-2≤1x ≤｝． (Ⅰ)求a 的值；
(Ⅱ)若()2()2
x f x f k −≤恒成立，求k 的取值范围．
/O AC BD AD AB ⋅=⋅AC AE
=
2012年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)
文科数学(参考答案)
1．D
【解析】由•1a b =得•1211a b x =⨯−⨯=，解得1x =，故选D 2．B
【解析】试题分析：{}2,4,6,7,9U A =ð,{}0,1,3,7,9U B =ð,所以()(){}7,9U U A B ⋂=痧，故选B.
3．A 【解析】11111
1(1)(1)222
i i i i i i −−===−++−，故选A 4．B
【解析】试题分析：由等差数列性质可知
48210+=+∴4821016a a a a +=+=
5．C
【详解】全称命题的的否定是存在性命题,因为，命题p ：∀x 1,x 2∈R,(f(x 2)−f(x 1))(x 2−x 1)≥0,所以，⌝p 是∃x 1,x 2∈R,(f(x 2)−f(x 1))(x 2−x 1)<0，故选C. 6．A
【解析】
将sin cos αα−=两端同时平方得()2
sin cos 2αα−=，整理得12sin cos 2αα−=，于是sin21α=−，
故选A 7．C
【解析】直线过圆心(1,2)，选项C 符合题意． 8．B
【解析】对函数21ln 2y x x =−求导，得2
11
x y x x x
='−=−（x>0）,令21
0{0
x x
x −≤>解得(0,1]x ∈，因此函数2
1ln 2
y x x =
−的单调减区间为(0,1]，故选B 9．D
【解析】作出可行域如图所示
令23z x y =+，则
，要使z 取得最大值，则需求直线截距的最大值，移动直线
02
:3
l y x =−，可知当0l 过点C （5,15）时，z 取最大值，且
max 2531555z =⨯+⨯=，于是23x y +的最大值为55，故选D.
10．D 【解析】
初始：S=4，i=1第一次循环：1<6,21,224S i ==−=−,第二次循环：2<6,22,3213
S i ===+ 第三次循环：3<6,
23,42223S i ===−,第四次循环：4<6,24,5
322S i ===− 第五次循环：5<6,2
1,624
S i =
=−=−,6<6不成立，此时跳出循环，输出S 的值，S 值为-1，故选D. 11．C
【解析】试题分析：设AC=x ，则BC=12-x （0＜x ＜12）,矩形的面积S=x （12-x ）＞20 ∴x 2-12x+20＜0,∴2＜x ＜10
由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm 2的概率1022
1203
p −==−
12．C
【详解】如图所示，
由已知可设1(4,)P y ，2(2,)Q y −，∵点P,Q 在抛物线2
2x y =上，∴21
22
42{
(2)2y y =−= ∴128{
2y y ==∴P （4,8），Q （-2.，2），又∵抛物线可化为2
12
y x =∴y x = ∴过点P 的切线斜率为4|4x y ='=，∴过点Q 的切线为22(2)y x −=−+，即22y x =−− 联立48
{
22
y x y x =−=−−，解得1,4==−x y ，∴点A 的纵坐标为-4.
13．12π+
【解析】如图所示，由已知得该几何体为一组合体，上面是底面圆半径为1，高为1的圆柱，下面是长为4，宽为3，高为1的长方体，如图所示，故所求体积21143112V ππ=⨯⨯+⨯⨯=+. 14．2
【解析】∵等比数列{}n a 为递增数列，且10a >，∴公比1q >，又∵212()5n n n a a a +++=，∴0n a ≠
∴2
2520q q −+=∴1
22
q q ==或（舍去）∴公比q 为2.
15
．【解析】
解：∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2．∵双曲线方程为x 2﹣y 2=1，∴a 2=b 2=1，c 2=a 2+b 2=2，可得F 1F 2=2
∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=8又∵P 为双曲线x 2﹣y 2=1上一点，∴|PF 1|﹣|PF 2|=±2a=±2，（|PF 1|﹣|PF 2|）2=4
因此（|PF 1|+|PF 2|）2=2（|PF 1|2+|PF 2|2）﹣（|PF 1|﹣|PF 2|）2=12∴|PF 1|+|PF 2|的值为故答案为
16．【分析】如图所示， ∵PA ABCD ⊥平面∴PA AC ⊥.
可知PC 为球O 直径，取PC 的中点为O ，取AC 的中点为'O ，则1
2
OO PA =='
又∵AC ==， PA =，
∴PC ==
∴球半径R OC OA OB AB =====. ∴OAB ∆为等边三角形.
∴01
sin 602
OAB S ∆=
⨯=
17．(1) 12;(2)3
4.
【解析】
（1）由已知2B =A +C,A +B +C =π,解得B =π
3，所以cosB =1
2
（2）解法一：由已知b 2=ac ，及cosB =1
2，根据正弦定理得sin 2B =sinAsinC ， 所以sinAsinC =1−cos 2B =3
4
解法二：由已知b 2=ac ，及cosB =1
2，根据余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 2
2ac
，解得a =c
所以sinAsinC =3
4
18．见解析
【解析】
（1）证法一：连结,AB AC ''.由已知090BAC ∠=，
AB=AC ，三棱柱ABC A B C '−''为直三棱柱，所以M 为AB '中点， 又因为N 为B C ''的中点，所以MN ∥AC '.
又MN A ACC '⊄'平面,AC A ACC ''⊂'平面,因此MN ∥A ACC ''平面
证法二：取A B ''中点P ，连结MP,NP ，而M ，N 分别为AB B C '''与的中点，所以MP ∥AA '，PN ∥A C ''，所以MP ∥A ACC ''平面，PN ∥A ACC ''平面，又MP NP P ⋂=,
因此MPN 平面∥A ACC ''平面.而MN MPN ⊂平面，因此MN ∥A ACC ''平面
（2）解法一：连结BN ，由题意'''A N B C ⊥，'''''A B C B BCC ⋂平面平面，所以'A N NBC ⊥平面.
又1'''12A N B C ==，故''''111226
A MNC N A MC N A BC A NBC V V V V −−−−====. 解法二：'''11
26
A MNC A NBC M BCC A NBC V V V V −−−−−−==.
19．见解析
【详解】
由频率分步直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而22⨯列联表如下： 非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女
45
10 55 合计
75
25
100
将22⨯列联表中的数据代入公式计算，
得222
112212211212()100(30104515)100
3.0307525455533
n n n n n n n n n K ++++−⨯⨯−⨯=
==≈++⨯⨯⨯ 因为3.030 3.841<，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．
（2）由频率分步直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为
{}12132311122122313212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a a b a b a b a b a b a b b b Ω=（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）其中i a 表示男性，
1,2,3.i =j b 表示女性，1,2.j =
Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的.
用A 表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则
{}11122122313212,,,,,,,,,,,,,A a b a b a b a b a b a b b b =（）（）（）（）（）（）（）
事件A 由7个基本事件组成，因此7
()10
P A =
20．（1）6 （2）2
219
x y −=(3,0)x y <−<
【解析】
（1）设00(,)A x y ，则矩形ABCD 的面积004S x y =.
由220019x y +=得220019x y =−，从而 22
2
2
2200000199(1)()9924
x x y x x =−=−−+
当2
092
x =
，2
012y =时，max 6S =.从而t =时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为6.
（2）证明：由00(,)A x y ，00(,)B x y −，1(3,0)A −，2(3,0)A 知 直线1AA 的方程为0
0(3)3
y y x x =
++① 直线2A B 的方程为0
0(3)3
y y x x −=
−−② 由①②得2
20
2
0(9)9
y y x x −=
−−③ 又点00(,)A x y 在椭圆C 上，故2
2
0019x y =−④
将④代入③得2
219
x y −=(3,0)x y <−<
因此点M 的轨迹方程为2
219
x y −=(3,0)x y <−<.
21．见解析 【解析】 (Ⅰ)证法一：记，
则当x>1时，13'()0
2
g x x =
<. 又(1)0g =有()0g x <, 即3
()(1)2
f x x <
−
证法二：由均值不等式，当x>1时，1x <+122
x <+① 令()ln 1k x x x =−+，则(1)0k =，1
'()10k x x
=−<. 故()0k x <，即ln 1x x <−② 由①②得，当x>1时，3
()(1)2
f x x <−. (Ⅱ)（证法一） 记9(1)
()()5
x h x f x x −=−+，
由(Ⅰ)得
2154()(5)h x x x =
++'2
2542(5)x x +=−+25544(5)x x x +<−+ 32
(5)2164(5)
x x
x x +−=+ 令3
()(5)216g x x x =+−，
11 / 12
则当1<x<3时，2()3(5)2160g x x =+−<'
因此()g x 在（1,3）内是递减函数，
又由(1)0g =，得()0g x <，
所以()0h x '<
因此()h x 在（1,3）内是递减函数，
又由(1)0h =，得()0h x <.
于是，当1<x<3时，9(1)()5
x f x x −<+ （证法二）：
记()(5)()9(1)h x x f x x =+−−
则当1<x<3时，由(Ⅰ)得
'()()(5)'()9h x f x x f x =++
−31(1)(5)(92x x x <−+++−
1[3(1)(5)(218]2x x x x x
=
−+++− 11[3(1)(5)(2)18]222
x x x x x x <−++++− 2(73225)04x x x x
=−+< 因此()h x 在(1,3)内单调递减
又(1)0h =，所以()0h x <即9(1)()5x f x x −<+. 22．见解析
【解析】证明：(Ⅰ)由AC 与⊙'o 相切于A ，得CAB ADB ∠=∠，
同理ACB DAB ∠=∠
所以ACB ∆∽DAB ∆， 从而AC AB AD BD
=,即AC BD AD AB •=• (Ⅱ)由AD 与⊙'o 相切于A ，得AED BAD ∠=∠,
又ADE BDA ∠=∠得EAD ∆∽ABD ∆, 从而AE AD AB BD
=即AE BD AD AB •=•. 结合(Ⅰ)的结论，AC=AE.
23．（1）圆C 1、 C 2的极坐标方程分别为：2ρ=，4cos (0)ρθρ=>，(2,),(2,)33ππ
−（2）1{tan x y θ==,33π
π
θ−≤≤.
【解析】
试题分析：（1）利用222
cos ,sin x y x y ρθρθρ===+，进行互化即可；（2）由两圆的公共点求出公共弦的普通方程，再利用直线的点与倾斜角得到参数方程．
12 / 12 解题思路:曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程的互化，往往要利用222cos ,sin x y x y ρθρθρ===+，或合理选参进行求解．
试题解析：（1）根据公式：222cos ,sin x y x y ρθρθρ===+，
圆C 1、 C 2的极坐标方程分别为：2ρ=，4cos (0)ρθρ=>
联立：2
{4cos (0)ρρθρ==>解得：2
{3
ρπθ==±
∴圆C 1与圆C 2的交点极坐标分别为：(2,),(2,)33ππ
−
（2）把（1）中两圆交点极坐标化为直角坐标，
得：
∴此两圆公共弦的普通方程为：1(x y =≤≤
∴此弦所在直线过（1，0）点，倾斜角为90°
∴所求两圆的公共弦的参数方程为：1
{(x y t t ==≤≤
24．（1）a=2 （2）1k ≥
【解析】
(Ⅰ)由13ax +≤得42ax −≤≤.
又()3f x ≤的解集为{|21}x x −≤≤，
所以当0a ≤时，不合题意.
当a>0时，4
2
x a a −≤≤,得.
(Ⅱ)记()()2()2x
h x f x f =−， 则1,1
1
(){43,121
1,2
x h x x x x ≤−=−−−<<−−≥− 所以()1h x ≤，因此1k ≥.。