必修4第二章测试题(含答案)

必修4第二章平面向量教学质量检测
一.选择题（5分×12=60分）:
1．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ）
A ．1142
+a b
B ．21
33
+a b
C ．11
24
+a b
D ．12
33
+a b
2．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =，(1,3)AC =,则BD =（ ） A ． （－2，－4） B ．（－3，－5）
C ．（3，5）
D ．（2，4）
3．已知a =（3，4），b =（5，12），a 与b 则夹角的余弦为（ ） A ．
65
63
B ．65
C ．
513 D ．
13
4． 已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a + 3b | =（ ）
A ．7
B ．10
C ．13
D ．4
5．平面向量a ，b 共线的充要条件是（ ）
A. a ，b 方向相同
B. a ，b 两向量中至少有一个为零向量
C. R λ∃∈，
b a λ=
D. 存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=
6．设→
a ，→
b 为不共线向量，−→
−AB ＝→
a +2→
b ,−→
−BC ＝－4→a －→b ,−→−CD ＝-5→a －3→
b , 则下列关系式中正确的是 （ ）
（A ）−→−AD ＝−→−BC （B ）−→−AD ＝2−→−BC （C ）−→−AD ＝－−→−BC （D ）−→−AD ＝－2−→
−BC 7．设→1e 与→2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →
2e 共线，则k 的值是（ ）
（A ） 1 （B ） －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数 8．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→
−BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ）
（A ） 矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形
9．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且−→
−PN ＝－2−→
−PM ，则P 点的坐标为（ ） （A ） （－14，16）（B ） （22，－11）（C ） （6，1） （D ） （2，4）
10．已知→
a ＝（1，2），→
b ＝（－2，3），且k →
a +→
b 与→
a －k →
b 垂直，则k ＝（ ）
（A ） 21±-（B ） 12±（C ） 32±（D ） 23±
11、若平面向量(1,)a x =和(23,)b x x =+-互相平行，其中x R ∈.则a b -=（ ）
A. 2-或0；
B. 25；
C. 2或25；
D. 2或10. 12、下面给出的关系式中正确的个数是（ ）
① 00 =⋅a ②a b b a ⋅=⋅③22a a =④)()(c b a c b a
⋅=⋅⑤b a b a ⋅≤⋅ (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
二. 填空题(5分×5=25分):
13．已知向量a 与b 的夹角为120，且4==a b ，那么(2)+b a b 的值为 ． 14．已知(3,4),(2,3)=-=a b ，则2||3-⋅=a a b ．
15、已知向量)2,1(,3==b a
，且b a ⊥，则a 的坐标是_________________。

16、直角坐标平面上三点(1,2)(3,2)(9,7)A B C -、、，若E F 、为线段BC 的三等分点，则
AE AF ⋅= ．
17．如果向量 与b 的夹角为θ，那么我们称 ×b 为向量 与b 的“向量积”， ×b 是一个向量，它的长度| ×b|=| ||b|sin θ，如果| |=4, |b|=3, ·b=-2，则| ×b|=____________。

三．解答 18、（14分)设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）． （1）试求向量2AB ＋AC 的模； （2）试求向量AB 与AC 的夹角； （3）试求与BC 垂直的单位向量的坐标．
19．（12分）已知向量 = , 求向量b ，使|b|=2| |，并且 与b 的夹角为。

20. （13分)已知平面向量).2
3
,21(),1,3(=-=b a 若存在不同时为零的实数k 和t,使
.,,)3(2y x b t a k y b t a x ⊥+-=-+=且 （1）试求函数关系式k =f （t ）
（2）求使f （t ）>0的t 的取值范围.
21．（13分)如图，
=(6,1),
，且。

(1)求x 与y 间的关系； (2)若
，
求x 与y 的值及四边形ABCD 的面积。

22．（13分)已知向量a 、b 是两个非零向量，
当a +t b (t ∈R)的模取最小值时，
（1）求t 的值
（2）已知a 、b 共线同向时，求证b 与a +t b 垂直
参考答案
一、 选择题：1B 、2C 、3A 、4C 、5D 、6B 、7C 、8B 、9D 、10A 、11C 、12C 、 二. 填空题(5分×5=25分):
13 （1，3） ．14 28 15 （ ， ）或（ ， ） 16 （5，3） 17 235 三. 解答题（65分):
18、 （1）∵ AB ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC ＝（2－1，5－0）＝（1，5）． ∴ 2AB ＋AC ＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）． ∴ |2AB ＋AC |＝227)1(+-＝50．
（2）∵ |AB |＝221)1(+-＝2．|AC |＝2251+＝26，
AB ·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4． ∴ cos θ ＝
|
|||AC AB AC AB ⋅⋅＝
26
24⋅＝
13
13
2． （3）设所求向量为m ＝（x ，y ），则x2＋y2＝1． ①
又 BC ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由BC ⊥m ，得2 x ＋4 y ＝0． ②
由①、②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．55552y x 或⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==．
－555
5
2y x ∴ （552，－55）或（－552，55）即为
所求．
19．由题设
, 设 b=
, 则由
,得
. ∴
,
解得 sin α=1或 。

当sin α=1时，cos α=0；当 时， 。

故所求的向量
或。

20．解：（1）
.0)(])3[(.0,2
=+-⋅-+=⋅∴⊥b t a k b t a y x y x 即 5
56-5535565
53-
).
3(41
,0)3(4,1,4,02222-==-+-∴===⋅t t k t t k b a b a 即
（2）由f(t)>0,得.
303,0)3()3(,0)3(412
><<-->+>-t t t t t t t 或则即 21．解：(1)∵ ，
∴ 由 ，得x(y-2)=y(4+x), x+2y=0.
(2) 由
=(6+x, 1+y),。

∵ , ∴(6+x)(x-2)+(1+y)(y-3)=0, 又x+2y=0, ∴
或
∴当 时， ， 当 时， 。

故 同向，
22．解：（1）由2222||2||)(a bt a t b tb a +⋅+=+ 当的夹角）与是b a b a b b a t αα(cos |||
||
|222
-=⋅-
=时a+tb(t ∈R)的模取最小值 （2）当a 、b 共线同向时，则0=α，此时|
||
|b a t -
= ∴0||||||||||||)(2=-=-⋅=+⋅=+⋅b a a b b a a b tb a b tb a b ∴b ⊥(a +t b )。