《金版新学案》高一数学 第一章集合章末质量评估练习题 新人教A版

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题后给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{x|－3≤x<1}，则A ∩B ＝( )
A ．{－1,0,1}
B ．{－1,0}
C ．{x|－1<x<0}
D ．{x|－1≤x ≤0}
【解析】 集合A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{x|－3≤x<1}，易得到A ∩B ＝{－1,0}，故选B.
【答案】 B
2．函数y ＝1－x ＋x 的定义域为( )
A ．{x|x ≤1}
B ．{x|x ≥0}
C ．{x|x ≥1或x ≤0}
D ．{x|0≤x ≤1}
【解析】 ⎩
⎪⎨⎪⎧
1－x ≥0，x ≥0⇔0≤x ≤1.故选D. 【答案】 D
3．下列函数中，在区间(1，＋∞)上是增函数的是( )
A ．y ＝－x ＋1
B ．y ＝11－x
C ．y ＝－(x －1)2
D ．y ＝1x ＋1
【解析】由题意知y＝－x＋1，y＝－(x－1)2，y＝1
x
＋1在(1，＋∞)上是
减函数，y＝1
1－x
在(1，＋∞)上是增函数，故选B.
【答案】 B
4．若A为全体正实数的集合，B＝{－2，－1,1,2}，则下列结论中正确的是()
A．A∩B＝{－2，－1} B．(∁R A)∪B＝(－∞，0)
C．A∪B＝(0，＋∞) D．(∁R A)∩B＝{－2，－1}
【解析】由题意得A∩B＝{1,2}，(∁R A)∪B＝(－∞，0]∪{1,2}，A∪B＝(0，＋∞)∪{－1，－2}，(∁R A)∩B＝{－2，－1}．故选D.
【答案】 D
5．下面四个结论中，正确命题的个数是()
①偶函数的图象一定与y轴相交
②奇函数的图象一定通过原点
③偶函数的图象关于y轴对称
④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；
④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f(x)＝0，x∈(－a，a)．故选A.
【答案】 A
6．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝()
A．－2 B．2
C．－98 D．98
【解析】由f(x＋4)＝f(x)，得f(7)＝f(3)＝f(－1)．
又∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，
f(1)＝2×12＝2，∴f(7)＝－2.故选A.
【答案】 A
7．设T ＝{(x ，y)|ax ＋y －3＝0}，S ＝{(x ，y)|x －y －b ＝0}，
若S ∩T ＝{(2,1)}，则a ，b 的值为( )
A ．a ＝1，b ＝－1
B ．a ＝－1，b ＝1
C ．a ＝1，b ＝1
D ．a ＝－1，b ＝－1
【解析】 ∵(2,1)∈S ∩T ，∴(2,1)∈S ，有(2,1)∈T.
即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1－3＝0，2－1－b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1
b ＝1.
故选C. 【答案】 C
8．定义在R 上的偶函数f(x)，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f(x 2)－f(x 1)x 2－x 1
<0，则( )
A ．f(3)<f(－2)<f(1)
B ．f(1)<f(－2)<f(3)
C ．f(－2)<f(1)<f(3)
D ．f(3)<f(1)<f(－2)
【解析】 由已知f(x 2)－f(x 1)x 2－x 1
<0，得f(x)在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f(3)<f(－2)<f(1)，故选A.此类题能用数形结合更好．
【答案】 A
9．下列四种说法正确的有( )
①函数是从其定义域到值域的映射；②f(x)＝x －3＋2－x 是函数； ③函数y ＝2x(x ∈N )的图象是一条直线；
④f(x)＝x 2x 与g(x)＝x 是同一函数．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【解析】 ①正确，函数是一种特殊的映射；
②中要使f(x)有意义只须使⎩⎪⎨⎪⎧ x －3≥02－x ≥0
无解，故不是函数，②不正确；
③中函数y ＝2x(x ∈N )的图象是孤立的点，③不正确；
④中f(x)的定义域为{x|x ≠0}，g(x)的定义域为R ，不是同一函数，不正确．故选A.
【答案】 A
10．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足
f(2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23
D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23
【解析】 作出示意图可知：
f(2x-1)<f ⇔- <2x-1< ，
即 <x< .故选B.
【答案】 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
11．设f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)＝________.
【解析】g(x＋2)＝f(x)＝2x＋3
＝2(x＋2)－1.
∴g(x)＝2x－1.
【答案】2x－1
12．设A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A B，则实数a的取值范围是________．
【解析】如图所示，
∴a≥2.
【答案】a≥2
13．若函数f(x)＝kx2＋(k－1)x＋2是偶函数，则f(x)的递减区间是________．【解析】∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝kx2－(k－1)x＋2
＝kx2＋(k－1)x＋2
＝f(x)，
∴k＝1，∴f(x)＝x2＋2，其递减区间为(－∞，0]．
【答案】(－∞，0]
14．已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，则x＝________，y＝________.
【解析】∵0∈B，A＝B，∴0∈A.
∵集合中元素具有互异性，∴x≠xy，∴x≠0.
又∵0∈B，y∈B，∴y≠0.从而x－y＝0，即x＝y.
这时A＝{x，x2,0}，B＝{0，|x|，x}，
∴x2＝|x|，则x＝0(舍去)，或x＝1(舍去)，或x＝－1.
经检验，x＝y＝－1是本题的解．
【答案】－1，－1
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(12分)已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1＜x＜6}，C＝{x|x＞a}，U＝R.
(1)求A∪B，(∁U A)∩B；
(2)若A∩C≠Ø，求a的取值范围．
【解析】(1)A∪B
＝{x|2≤x≤8}∪{x|1＜x＜6}
＝{x|1＜x≤8}．
∁U A＝{x|x＜2或x＞8}．
∴(∁U A)∩B＝{x|1＜x＜2}．
(2)∵A∩C≠Ø，∴a＜8.
16．(12分)判断并证明f(x)＝
1
1＋x2
在(－∞，0)上的增减性．
【解析】在(－∞，0)上单调递增．
现证明如下：
设x 1＜x 2＜0，
f(x 1)－f(x 2)＝1
1＋x 12－11＋x 22
＝x 22－x 12
(1＋x 12)(1＋x 22)
＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1)
(1＋x 12)(1＋x 22)
∵x 2－x 1＞0，x 1＋x 2＜0,1＋x 12＞0，
1＋x 22＞0，
∴f(x 1)－f(x 2)＜0，
∴f(x 1)＜f(x 2)，
∴f(x)在(－∞，0)上单调递增．
17．(12分)设f(x)是R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x)，
求f(x)在R 上的解析式．
【解析】 ∵f(x)是R 上的奇函数，
∴f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0，
设x ＜0 ，则－x ＞0，
∴f(－x)＝－x(1－x)．
又∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)＝－x(1－x)．
∴f(x)＝x(1－x)，
∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x(1－x) (x ＜0)0 (x ＝0).
x(1＋x) (x ＞0)
18．(14分)已知函数f(x)＝ax 2＋(2a －1)x －3在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，2上的最大值为1，求实数a 的值．
【解析】 当a ＝0时，f(x)＝－x －3，
f(x)在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，2上不能取得1，故a ≠0. ∴f(x)＝ax 2
＋(2a －1)x －3(a ≠0)的对称轴方程为x 0＝1－2a 2a . (1)令f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32＝1，解得a ＝－103， 此时x 0＝－2320∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，2， 因为a<0，f(x 0)最大，所以f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32＝1不合适； (2)令f(2)＝1，解得a ＝34，
此时x 0＝－13∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，2， 因为a ＝34>0，x 0＝－13∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，2，且距右端点2较远，所以f(2)最大，合适； (3)令f(x 0)＝1，得a ＝12(－3±22)，
验证后知只有a ＝12(－3－22)才合适．
综上所述，a ＝34，或a ＝－12(3＋22)．。