应用概率统计试题答案.doc

042应用数学解答
一、 1．0.2 2．36, 13 3．35, 0, 52
4．48
5C . 5．2
(19)χ 6．4
7． 两个正态总体均值检验, 拒绝H 0. 二、1．C 2. A 3．B 4. B 5．C 三、1．解 以A 记事件“孩子得病”，以B 记事件“母亲得病”，
以C 记事件“父亲得病”，按题意需要求
(
)P ABC
. （1分）
已知()0.6,(|)0.5,(|)0.4P A P B A P C AB === ……（1分）
由乘法定理得()()(|)()P ABC P CBA P C BA P BA ==……（2分）
(1(|))(|)()P C BA P B A P A =-⋅⋅…… （2分）
()10.40.50.60.18=-⨯⨯= ……………（2分）
2. 解一学生接连参加一门课程的两次考试，以i A 表示事件“第i 次考试及格”，
1,2i =；以A 表示“他能取得某种资格”……………………… .（1分）
（1）按题意112A A
A A =U ，因112A A A =∅I ，…………………….（1分） 且由已知 11()0.6,()10.60.4,P A
P A ==-= 2121(|)0.6,(|)0.3P A A
P A A ==………………… （2分） 故
()()()(
)11212
P A P A A A P A P A A ==+U ……………………（1分）
2110.6(|)()0.60.30.40.72P A A
P A =+=+⨯=……… （2分） （2）因为
(
)(
)()2211
2
1
2
1
()P A P A A A P A A A A ==+I U …………… （1分）
()()()()2
1
1
211
||P A A P A P A A P A =+………………（1分）
所以
()()()()()()()(
)()12211122211211
||||P A A P A A P A P A A P A P A A P A P A A P A ==
+（2分）
2
2
0.60.750.60.30.4==+⨯…………………… （1分）
3．解（1）由题意得
1
20
()1
f x dx bx dx +∞
-∞
==⎰
⎰
而1
31
20
01333x b bx dx b b ===⇒=⎰
()()()1
41
1
23
000333344x E X xf x dx x x dx x dx +∞
-∞=====
⎰⎰⎰
()()()1
511222240003
33355x E X x f x dx x x dx x dx +∞-∞=====
⎰⎰⎰
由
()()()2
2
2
33393
5451680D X E X E X ⎛⎫=-=-=-=
⎪⎝⎭ （2）
()()()113133Y X y y F y P Y y P X y P X F ++⎛⎫⎛⎫
=<=-<=>= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
上式两边对y 求导，有
()21113,0111333330, Y X y y y f y f ⎧++⎛⎫<<+⎪⎛⎫ ⎪==⎨⎝⎭ ⎪
⎝⎭⎪⎩g g 其它()21,12=9 0, y y ⎧+⎪-<<⎨⎪⎩其它
4.解 若新法比老办法效果好，则有毒物质平均浓度应低于老办法处理后的有毒物质平均浓度，设有019,μ=故应设待检验原假设0H 为0μμ=，对应假设1H 为0μμ<，若1H 成立，则认为新法效果好，检验如下：
（1）H 0: μ=19,；H 1: μ<19 （2分） （2）在0H
成立下，选检验统计量
()
9X T t =
:
（3）对给定的检验水平0.05α=，选0H 的拒绝域为
()0.059T t <-
1.9
2.0556
0.9243X T -=
=
===- 显然)0.050.205569 1.833T t =-<-=- T 值落入0H 的拒绝域，故拒绝0H 而接受1H ，因此可以认为新法比老办法
效果好。

5.解因为
T A B E SS SS SS SS =++98.6725.1769.34 4.16E T A B SS SS SS SS ⇒=--=--=（2分）
因为
0.0118.1510.922,6,A F F =>=所以在0.01α=下拒绝，
认为促进剂对定强的影响是
特别显著(或有统计意义).(1分)因为()0.0133.349.783,6,B
F F =>=所以在0.01α=下拒
绝，认为氧化锌对定强的影响是特别显著（或有统计意义）（1分）.
四. 综合实验报告（8分）
052应用数学解答
一、 填空题
1、()121,020,x e x f x -⎧≥⎪=⎨⎪⎩
其余 2、 ()2,020,Y y y f y <<⎧=⎨
⎩其余
3、2,100N σμ⎛⎫
⎪⎝⎭
4、$()
E θ
θ= 5、6
6、¶µ01
3.8434,0.2721ββ=-=。

二、单项选择题：1、 B 2、C 3、D 4 、A 5、A 6、B 三、判别题：1、⨯ 2、⨯ 3、⨯ 4、 √ 5、√ 6、 √ 四、计算题
1、解：（1）用X 表示4次射击击中目标的次数，则X ~B(4,p) 由题意，P{X ≥1}=1-P{X=0}= ()
4
802
11813
p p -
-=⇒= （2）四次射击中恰好命中二次的概率
P{X =2}22
2
4
2180.29633327C ⎛⎫⎛⎫
==≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2、解：设i B 表示此人去到点()1,2,3,4i
B i =，
C 表示此人抵达C 点。

（1）()()()4
1
i i i P C P B P C B ==∑111111139
10.4875444244580=
⨯+⨯+⨯+⨯== （2）()()()1115
0.128239
P B P C B P B C P C =
=
≈ 3、解：（1）
{}()55
011
5153
p P X f x dx dx -∞
=<===⎰⎰
（2）法1：
()()1515
200
17.51530
x E X xf x dx dx x +∞-∞
⎡⎤====⎣⎦⎰
⎰
法2：由X~U[0,15]得：
()015
7.522a b E X ++=
==
4、解：（1）
()()2,01
,0,X x x f x f x y dy +∞-∞
≤≤⎧==⎨⎩
⎰
其余地方
()()2,01
,0,Y y y f y f x y dx +∞-∞
≤≤⎧==⎨⎩
⎰
其余地方
因为
()()(),X Y f x y f x f y =，所以X 与Y 相互独立。

（2）{}012,1P
X X Y X ≤≤≤≤-
()121122
424112x x
dx xydy x x dx -==-=⎰
⎰
⎰
5、解：样本均值 6.0X =，样本均方差0.574,9,0.05S n α===，
平均干燥时间μ的置信度为0.95的置信区间是
(
(
0.0250.02511X t n X t n ⎛
--+-
⎝
()0.5740.5746.0 2.306, 6.0 2.306 5.5588,6.441233⎛
⎫=-+= ⎪⎝
⎭
6、解：本题属总体均值未知，正态总体方差的单边检验问题：
0010:0.005,:0.005H H σσσσ==>=
选用统计量：()()2
22
2
1~1n S n χχσ
-=- 由样本得观察值：
()()222
2
0.052
2
180.00715.68815.510.005
n S χχσ-⨯===>= 即2
χ的观察值落入拒绝域中，拒绝H 0， 故可认为在水平0.05α
=下，这批导线的标准差显著地偏大。

7、解：（这是一个三水平，每个水平重复五次的单因素方差分析） 设第i 台机床的产量服从正态分布()2,,1,2,3i
N i μσ=
检验假设0123:H μμμ==
根据题设条件列出方差分析表：（4分）
因为()0.056.2182,12F
F =>
所以否定假设，即认为：三台机床生产的产品产量间的差异在检验水平
0.05α=下是有统计意义的。

五、综合实验
062应用数学解答
一、 填空题（每小题2分，共2⨯6=12分）
1、
12
p =
2、
(
)2
5y --
()()~5,0.8Y N
3、38
90
a b += 4、
2n
σ
5
6、()()
1
i xy
n
i
i
x x y L y =--=
∑
二、单项选择题（每小题2分，共2⨯6=12分）
1、B
2、A
3、B
4、 D
5、C
6、D 三、判别题（每小题2分，共2⨯6=12分）
1、⨯
2、√
3、⨯
4、 √
5、√
6、⨯ 四、计算题（每小题8分，共8⨯7=56分）
1、解：（1）由题意，
()~10,X B p ， X 的分布律为：
{}()()101010,1,2,...,10i
i
i P X i C p p i -==⨯⨯-= （4分） （2）某天至少有一家分店订货的概率为{}()
10
111P
X p ≥=--（4分）
2、 解：设A 为“甲队抽到与上届冠军队在同一组”的事件；
B 为“乙队抽到与上届冠军队在同一组”的事件。

（1）
因为其余八队应有四个队与冠军队在同一组，所以()1
2
P A =
（2分） （2）
()()()()
13141
27272
P B P AB AB P AB P AB =+=+=⨯+⨯= （3分）
（3）()()()()13327172
P A P B A P A B P B ⨯=== （3分） 3、解：（1）X 的概率密度为
(),0
0,0x e x f x x λλ-⎧≥=⎨<⎩
{}()11
1
00
1
112
x x
P X f x dx e
dx e
e
λλλ
λ----∞
⎡⎤<===-=-=⎣⎦⎰
⎰
1
ln 22
e λλ-⇒=
⇒= （4分） （2）
{}()()()()2
2ln 2ln 211
ln 2ln 21
1
ln 221ln 2x
x
x
x
e e
dx P X X e
dx
e --+∞
+∞--⎡⎤-⋅⎣⎦<>==
⎡⎤⋅-⎣
⎦⎰⎰
ln 22ln 2ln 2ln 2112
e e e e -----==-= （4分）
4、解：（1）X 的概率密度
()1
cos ,2
20,2
X x x f x x π
π⎧≤
⎪⎪
=⎨⎪>
⎪⎩
（4分）
（2）随机变量()21Y
X =+的数学期望
()()()()22
1
2121cos 2
X E Y x f x dx x xdx ππ+∞
-∞
-=+=+⋅⎰⎰
2222
cos cos 2x xdx xdx ππππ--=+=⎰⎰ （4分）
5. 解：（1）11,1,122F P X Y ⎛⎫⎧⎫
=<<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭
121120
4214dx xydy xdx ===⎰
⎰⎰
（4分）
（2）(){}11Z
F P X Y =+<
()1
11
2
3
01
42426
x dx xydy x x x dx -==-+=
⎰⎰
⎰ （4分）
6. 解：（本题属总体方差未知，正态总体均值的单边检验问题）
检验假设：0
000:179,:179H H μμμμ==<= （2分）
选用统计量：()~4T
t =
由样本得观察值：
()
0.05
4.4184 2.132
X
T t
-
==≈-<-=-（4分）即T的观察值落入拒绝域中，拒绝H0，故可认为在水平0.05
α=下，用此种仪器测量硬度所得数值显著偏低。

（2分）
7.解：（这是一个无交互作用的双因素方差分析）
检验假设0:
A
H不同的催化剂对产品压强的影响没差异；
:
B
H不同的原料对产品压强的影响没差异。

（1分）根据题设条件列出方差分析表：（4分）
因为()
0.05
18.162,6 5.14
A
F F
=>=
()
0.05
33.353,6 4.76
B
F F
=>=
所以否定假设，即认为：不同催化剂和不同原料在检验水平0.05
α=下对产品压强的影响是有统计意义的。

（3分）
五、综合实验（本题8分，开卷，解答另附于《数学实验报告》中）
072大学数学Ⅱ答案
一、1．0.625；2．0.87,0.7；3．1；
4．
2
,
n
σ
μ；5．)1,0(N
；6．
50
:
=
μ
H，
X
t=
二、1. D 2. B 3. A 4. B 5. A 6. A
三、1．证明由题设可知()12
~0,1,1,2,,,,,,
i n
X N i n X X X
=L L
且相互独立.....1分所以()()
3
2222
14
~3,~3
n
i i
i i
X X n
χχ
==
-
∑∑，从而
()
()
3
2
1
2
4
3
~3,3
3
i
i
n
i
i
X
F n
X n
=
=
∑
-
-
∑
所以 ()3
2
1
24
1~3,33i
i n i
i X n F n X ==∑⎛⎫--
⎪⎝⎭∑
2． 解 ① 因为X 是连续型随机变量，故()F x 在(),-∞+∞内处处连续 由(10)(1)(10)(1)F F F F -+=-⎧⎨-=⎩， 可得 021
2
a b a b π
π⎧-=⎪⎪⎨
⎪+=⎪⎩ 解得 11,2a b π=
=② 111112
{1}()(1)arcsin 022223
P X F F π-<<=--=+-= ③ X 的密度函数 ,12()()10
,x f x F x x π<⎪
'==⎨-⎪
⎩其它
3．解 令=ˆi A “第i 次取出的是次品”
，2,1=i 。

则由题设可知 11
102111112121
5
(),
()6
6
C C P A P A C C ====；
111)|(1111112==C C A A P ，11
2
)|(1111212==C C A A P ；
所以212112111521
()()(|)()(|)6116116
P A P A P A A P A P A A =+=⨯+⨯= 4．解 ① 1()02
x
E X x e
dx +∞
--∞=⋅=⎰
22()()[()]D X E X E X =-2
201102222
x x x
e dx x e dx +∞+∞
---∞=-==⎰⎰ ②1(,)()()()002
x Cov X X E X X E X E X x x e dx +∞
--∞=-=-=⎰
(,)0()()
X X Cov X X D X D X ρ=
=，所以X 与X 不相关
5．解 如图所示：曲线2
y x =与y x =所围成的区域的面积
为()231
2
100
1
236x x S x x dx ⎛⎫=-=-=⎰
⎪⎝⎭
所以(),X Y 的联合分布密度为
()()
2
6,
01,,0,
x x
y x f x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨
⎪⎩其他
关于X 的边缘分布密度为 ()(,)X f x f x y dy +∞
-∞=⎰ 当01x x ≤≥或时，()00X f x dy +∞
-∞==⎰
当01x <<时，(
)2
22
()0606x x X x x f x dy dy dy x x
+∞
-∞=++=-⎰⎰⎰
所以 ()2
6,01
()0,
X x x x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他
关于Y 的边缘分布密度为 ()(,)Y f y f x y dx +∞
-∞=⎰ 当01y y ≤≥或时，()00Y f y dx +∞
-∞==⎰ 当01y <<
时，)
()006
y
Y f y dx dx dx y -∞=++=⎰
所以
)
6
,01
()0,
Y y y f y ⎧<<⎪=⎨
⎪⎩其他
故(
))
()236,01,01
()(),0,X Y x x y x y f x f y f x y ⎧-<<<<⎪=≠⎨
⎪⎩
其他
【或
)
111131,62323X Y f f f ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=≠=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
】
所以X 与Y 不相互独立
6、证明1：由题设可知X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他。

,
0,
,1)(b x a a b x f X
则c X Y +=（c 为常数）的分布函数为：
()()()()0,,(),,
1,Y y c
X F y P Y y P X c y P X y c y c a y c a f x dx a y c b b a
y c b --∞
=<=+<=<--≤⎧
⎪--⎪
==<-≤⎰⎨-⎪->⎪⎩
.
可得Y 的密度函数为()
1
,,()0,
Y Y a c y b c f y F y b a ⎧+<<+⎪
'==-⎨⎪⎩其他. 故Y 服从],[c b c a ++上的均匀分布。

证明2 由题设可知X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他。

,
0,
,1
)(b x a a b x f X
而函数y x c =+是单调递增函数，其反函数为x y c =- 由定理可得 Y X c =+ 的分布密度函数为
()()1,,()0,Y X a y c b f y f y c y c b a ⎧<-<⎪'=-⋅-=-⎨⎪⎩其他.1,,0,a c y b c b a ⎧+<<+⎪=-⎨⎪⎩其他.
故Y 服从],[c b c a ++上的均匀分布。

四、解 各零假设分别为 1230:A A A A H μμμ==；120:B B B H μμ=
1112212231320:AB A B A B A B A B A B A B H μμμμμμ=====
因为()0.012,18A F F >，()0.011,18B F F >，()0.012,18A B F F ⨯>，
所以均拒绝原假设，即土壤、肥料以及它们的交互作用对产量的影响，在检验水平0.01
α=下均有统计意义。