广东省东莞市长安职业高级中学2020-2021学年高一数学理月考试卷含解析

广东省东莞市长安职业高级中学2020-2021学年高一数
学理月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知=（sin（x+），sin（x﹣）），=（cos（x﹣），cos（x+）），?=，且x∈[﹣，]，则sin2x的值为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】先根据向量的数量积和两角和的正弦公式求出sin（2x+）=，根据同角的三角函数的关系，以及两角差的正弦公式，即可求出．
【解答】解：∵=（sin（x+），sin（x﹣）），=（cos（x﹣），cos
（x+）），?=，
∴sin（x+）?cos（x﹣）+sin（x﹣）?cos（x+）=sin（2x+）=，
∵x∈[﹣，]，
∴2x+∈[﹣，]，
∴cos（2x+）=，
∴sin2x=sin（2x+﹣）=sin（2x+）cos﹣cos（2x+）sin=×﹣×=，
故选：B
2. 某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷依次为：120份，180份，240份，x份．因调查需要，从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则在15～16岁学生中抽取的问卷份数为（）
A．60 B．80 C．120 D．180
参考答案：
C
【考点】B3：分层抽样方法．
【分析】先求出抽取比例，从而求出总体的个数，然后求出15～16岁回收数x，最后计算出在15～16岁学生中抽取的问卷份数即可．
【解答】解：11～12岁回收180份，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则抽取率为∵从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本
∴从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷总数为
份
则15～16岁回收x=900﹣120﹣180﹣240=360
∴在15～16岁学生中抽取的问卷份数为360×=120
故选C．
3. 已知函数，是奇函数，则（）
A. f(x)在上单调递减
B.f(x)在上单调递减
C. f(x)在上单调递增
D. f(x)在上单调递增
参考答案：
A
由题意得，且是奇函数，所以，所以又，所以，代入得，下求增区间，
，当k=1时，
，所以C，D错。

下求减区间，当k=0时，而所以B错，A对，选A.
4. 一个正方体内接于半径为R的球，则该正方体的体积是（）
A．2R3 B．πR3 C．R3 D． R3
参考答案：
C
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．
【专题】计算题；数形结合；函数思想；空间位置关系与距离．
【分析】利用已知条件求出正方体的棱长，然后求解正方体的体积．
【解答】解：一个正方体内接于半径为R的球，可知正方体的对角线的长度就是球的直径，
设正方体的棱长为：a，
可得=2R，
解得a=．
该正方体的体积是：a3=．
故选：C．
【点评】本题考查球的内接体，几何体的体积的体积的求法，正方体的对角线的长度就是球的直径是解题的关键．
5. 已知甲乙两车间的月产值在2011年元月份相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值,乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到2011年8月份发现两车间的月产值又相同,比较甲乙两个车间2011年4月月产值的大小,则有
A．甲大于乙 B．甲等于乙 C．甲小于乙 D．不确定
参考答案：
A
6. 在△ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足，若
，则ac的值为
A. 12
B. 11
C. 10
D. 9
参考答案：
A
【分析】
利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理可得
的值，由可得的值
【详解】在△ABC中，
由正弦定理可得
化为：
即
在△ABC中，，故
,
可得，即
故选A
【点睛】本题以三角形为载体，主要考查了正弦定理，向量的数量积的运用，考查了两角和公式，考查了分析问题和解决问题的能力，属于中档题。

7. 若把化成的形式，则的值等于…………（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
D
，所以的值等于。

8. 已知向量，，且，则m=( )
A. B. C. 2 D. －2
参考答案：
A
【分析】
根据题意得到，求解，即可得出结果.
【详解】因为，，且，
所以，解得.
故选A
【点睛】本题主要考查由向量共线求参数的问题，熟记向量的坐标运算即可，属于基础题型.
9. 若函数f（x）=，则f（f（2））=（）
A．1 B．C．D．5
参考答案：
C
【考点】分段函数的应用．
【分析】直接利用分段函数的表达式，逐步求解函数值即可．
【解答】解：函数f（x）=，
则f（f（2））=f（22﹣3×2+1）=f（﹣1）==．
故选：C．
10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】简单空间图形的三视图．
【分析】首先由几何体的俯视图断定原几何体的最上面的平面图形应是圆，再由俯视图内部只有一个虚圆，断定原几何体下部分的图形不可能是棱柱，由此可排除前三个选项．【解答】解：由俯视图可知，原几何体的上底面应该是圆面，由此排除选项A和选项C．而俯视图内部只有一个虚圆，所以排除B．
故选D．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数为奇函数，且当时，则当时，
的解析式为
参考答案：
略
12. 在下列图形中，小黑点的个数构成一个数列的前3项.
（1）= ；
（2）数列的一个通项公式= .
参考答案：
(1) 13 ；(2)
13. （5分）对数函数的定义域为．
参考答案：
（0，+∞）
考点：对数函数的定义域．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据对数函数的定义和真数大于零，即可对数函数的定义域．
解答：对数函数y=（a＞0且a≠1）的定义域是（0，+∞），
故答案为：（0，+∞）．
点评：本题考查对数函数的定义以及对数函数的定义域，属于基础题．14. 已知f（x）=（）x∈[﹣2，1]，则f（x）的值域为．参考答案：
[，]
【考点】函数的值域．
【分析】换元转化为y=（）t，t∈[3，7]，根据y=（）t，t∈[3，7]单调递减，求解即可得出答案．
【解答】解：∵t=x2+2x+4，x∈[﹣2，1]，对称轴x=﹣1，
∴根据二次函数性质得出：x=﹣1时，t=3，x=1时，t=7，
∴t∈[3，7]
∴y=（）t，t∈[3，7]
∵y=（）t，t∈[3，7]单调递减，
∴值域为[，]
故答案为：[，]
15. 经过原点并且与直线x+y﹣2=0相切于点（2，0）的圆的标准方程是．
参考答案：
（x﹣1）2+（y+1）2=2
【考点】圆的切线方程．
【分析】设出圆心坐标与半径，根据题意列出方程组，解方程组求出圆心与半径即可．【解答】解：设圆心的坐标为（a，b），
则a2+b2=r2①，（a﹣2）2+b2=r2②，=1③；
由①②③组成方程组，解得：
a=1，b=﹣1，r2=2；
故所求圆的标准方程是（x﹣1）2+（y+1）2=2．
故答案为（x﹣1）2+（y+1）2=2．
16. 已知下列命题：
①函数的单调增区间是.
②要得到函数的图象，需把函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度.
③已知函数，当时，函数的最小值为
．
④在[0,1]上至少出现了100次最小值，则.
⑤函数的定义域是
其中正确命题的序号是___________________．(将所有正确命题的序号都填上) 参考答案：
略
17. 设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S,且点S
位于平面α，β之间，AS=8,BS＝6，CS＝12，则SD＝____.
参考答案：
9
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，已知三棱锥P－ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB中点，M为PB 中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC。

（1）求证：DM∥平面PAC；
（2）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（3）求三棱锥M－BCD的体积。

参考答案：
（1）D为AB中点，M为PB中点
DM∥AP
又DM面APC，AP面APC
DM∥面PAC
（2）△PDB是正三角形，M为PB中点
DM⊥PB，又DM∥AP，PA⊥PB 又PA⊥PC，PB PC＝P，PA⊥面PBC
又BC面PBC，PA⊥BC
又∠ACB＝90°，BC⊥AC
又AC PA＝A，BC⊥面PAC
又BC面ABC, 面PAC⊥面ABC （3）AB＝20，D为AB中点，AP⊥面PBC
PD＝10
又△PDB为正三角形，DM＝5
又BC＝4，PB＝10，PC＝2
S△PBC＝
略
19. 已知，求的值．
参考答案：
．
考点：指对运算.
20. （12分）已知函数f（x）=cos4x+2sinxcosx﹣sin4x．
（1）当x∈[0，]时，求f（x）的最大值、最小值以及取得最值时的x值；
（2）设g（x）=3﹣2m+mcos（2x﹣）（m＞0），若对于任意x1∈[0，]，都存在
x2∈[0，]，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围．
参考答案：
【考点】三角函数的最值．
【分析】（1）利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过x的范围，结合正弦函数的有界性求解即可．
（2）通过任意x1∈[0，]，存在x2∈[0，]，求出两个函数的值域，列出不等式组，求解m的范围即可．
【解答】解：（1）…（2分）∵∴∴，f（x）
=2∴，
max
综上所述：，f（x）max=2；，…（6分）
（2）∵∴，∴即f （x1）∈[1，2]，
，∴，∴，
又∵m＞0，∴…（8分）
因为对于任意，都存在，使得f（x1）=g（x2）成立
∴，
∴m∈Φ…（12分）
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，正弦函数的有界性以及函数恒成立，考查转化思想以及计算能力．
21. 在△ABC中，若8·sin2－2cos 2A＝7.
(1)求角A的大小；
(2)如果a＝，b＋c＝3，求b，c的值．
参考答案：
解： (1)∵＝－，∴sin ＝cos ，∴原式可化为8cos2－2cos 2A＝7，
∴4cos A＋4－2(2cos2A－1)＝7，∴4cos2A－4cos A＋1＝0，解得cos A＝，∴A＝60°.
(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，∴b2＋c2－bc＝3.
又∵b＋c＝3，∴b＝3－c，代入b2＋c2－bc＝3，并整理得c2－3c＋2＝0，
解之得c＝1或c＝2，∴或
22. 已知定义在R上的函数f（x）=m﹣
（1）判断并证明函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）是奇函数，求m的值；
（3）若f（x）的值域为D，且D?[﹣3，1]，求m的取值范围．
参考答案：
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）利用单调性的定义，判断并证明函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）是奇函数，则f（x）+f（﹣x）=0，即可求m的值；
（3）求出f（x）的值域为D，利用D?[﹣3，1]，建立不等式，即可求m的取值范围．【解答】解：（1）判断：函数f（x）在R上单调递增
证明：设 x1＜x2且x1，x2∈R
则
∵，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在R上单调递增；
（2）∵f（x）是R上的奇函数，
∴
即，∴m=1
（3）由，
∴D=（m﹣2，m）．
∵D?[﹣3，1]，
∴，
∴m的取值范围是[﹣1，1]
【点评】本题考查函数的单调性、奇偶性，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。