青海省西宁市2019-2020学年数学高二第二学期期末监测试题含解析

青海省西宁市2019-2020学年数学高二第二学期期末监测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知扇形的圆心角为23
π
弧度，半径为2，则扇形的面积是（ ） A ．
83
π B ．
43
C ．2π
D ．
43
π 【答案】D 【解析】 【分析】
利用扇形面积公式21
2
S R α=（α为扇形的圆心角的弧度数，R 为扇形的半径），可计算出扇形的面积. 【详解】
由题意可知，扇形的面积为21242233
S ππ=⨯⨯=，故选D. 【点睛】
本题考查扇形面积的计算，意在考查扇形公式的理解与应用，考查计算能力，属于基础题. 2．已知(1)n x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，且
01(1)n x a a x λ+=++22n n a x a x +⋯+,若12242n a a a ++⋯+=,则4()x x
λ
+展开式中常数项( )
A ．32
B ．24
C ．4
D ．8
【答案】B 【解析】 【分析】
先由二项展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，求出n ；再由
2012(1)n n n x a a x a x a x λ+=+++⋯+求出λ，由二项展开式的通项公式，即可求出结果.
【详解】
因为(1)n
x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，
所以23
n n C C =，因此5n =，
又5205125
(1)x a a x a x a x λ+=+++⋯+，所以01a =， 令1x =，则01525
(1)a a a a λ+=+++⋯+，
又125242a a a ++⋯+=，所以55
(3)3124λ+==，因此2λ=， 所以4
2
()x x
+展开式的通项公式为44214422k k k k k k k k T C x x C x ---+==，
由420k -=得2k =，
因此4
2()x x
+展开式中常数项为2234224T C ==.
故选B 【点睛】
本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型.
3．用反证法证明命题“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（ ） A ．方程30x ax b ++=没有实根 B ．方程30x ax b ++=至多有一个实根 C ．方程30x ax b ++=至多有两个实根 D ．方程30x ax b ++=恰好有两个实根 【答案】A 【解析】
分析：反证法证明命题时，假设结论不成立．至少有一个的对立情况为没有．故假设为方程30x ax b ++=没有实根．
详解：结论“方程30x ax b ++=至少有一个实根”的假设是“方程30x ax b ++=没有实根．” 点睛：反证法证明命题时，应假设结论不成立，即结论的否定成立．常见否定词语的否定形式如下：
4．若集合{}
213A x x =-<，2103x B x
x ⎧⎫
+=<⎨⎬-⎩⎭
，则A B I 等于（ ） A ．()11,2,32⎛
⎫
--
⎪⎝⎭
U B ．()2,3 C ．1,22⎛⎫
-
⎪⎝⎭
D ．11,2⎛
⎫--
⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】
分析：先解绝对值不等式得集合A ，再解分式不等式得集合B ，最后根据交集定义求结果. 详解：因为213x -<，所以3213,12x x -<-<-<< 因为
2103x x +<-，所以1
2
x <-或x>3, 因此11,2A B ⎛
⎫⋂=-- ⎪⎝
⎭
， 选D.
点睛：集合的基本运算的关注点
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． (2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决． (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． 5．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于（ ）． A ．13 B ．35
C ．49
D ．63
【答案】C 【解析】
试题分析：依题意有21613{511
a a d a a d =+==+=，解得1a 1,d 2==，所以7172149S a d =+=.
考点：等差数列的基本概念.
【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念. 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为1a 和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-及前n 项和公式
11()(1)
22
n n n a a n n S na d +-=
=+，共涉及五个量1,,,,n n a d n a S ，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量1a 、d ，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．
6．已知复数2z a a ai =-+，若z 是纯虚数，则实数a 等于（ ） A ．2 B ．1
C ．0或1
D ．-1
【答案】B 【解析】
分析：由复数2z a a ai =-+是纯虚数，得实部等于0且虚部不等于0.求解即可得到答案. 详解：Q 复数2z a a ai =-+是纯虚数，
200
a a a ⎧-=∴⎨≠⎩，解得1a =. 故选B.
点睛：此题考查复数的概念，思路：纯虚数是实部为0.虚部不为0的复数.
7．已知2F ，1F 是双曲线22
221(0,0)y x a b a b
-=>>的上、下两个焦点，1F 的直线与双曲线的上下两支分
别交于点B ，A ，若2ABF V 为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．y =
B ．y x =
C ．y =
D ．y x =±
【答案】D 【解析】
根据双曲线的定义，可得122BF BF a -=， 是等边三角形，即2BF AB = ∴122BF BF a -=， 即
112BF AB AF a -==
即又212AF AF a -=Q ，
2124AF AF a a ∴=+=， 1212122412AF F AF a AF a F AF ==∠=QV 中，
，， 0°2
2
2
121212||||2?120F F AF AF AF AF cos ∴=+-︒ 即
222214416224282
c a a a a a =+-⨯⨯⨯-=（），
解得227c a b ==，则，
由此可得双曲线C 的渐近线方程为y x =. 故选D ．
【点睛】本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质等知识，根据条件求出a ，b 的关系是解决本题的关键．
8．抛掷一枚均匀的骰子两次，在下列事件中，与事件“第一次得到6点”不互相独立的事件是（ ） A ．“两次得到的点数和是12” B ．“第二次得到6点” C ．“第二次的点数不超过3点” D ．“第二次的点数是奇数” 【答案】A 【解析】 【分析】
利用独立事件的概念即可判断． 【详解】
“第二次得到6点”，“第二次的点数不超过3点”，“第二次的点数是奇数”与事件“第一次得到6点”均相互独立，
而对于“两次得到的点数和是12”则第一次一定是6点，第二次也是6点，故不是相互独立， 故选D ． 【点睛】
本题考查了相互独立事件，关键是掌握其概念，属于基础题．
9．用反证法证明命题“已知,x y R ∈，且2x y +>，则,x y 中至少有一个大于1”时，假设应为（ ） A ．1x ≤且1y ≤
B ．1x ≤或1y ≤
C ．,x y 中至多有一个大于1
D ．,x y 中有一个小于或等于1
【答案】A 【解析】 【分析】
根据已知命题的结论的否定可确定结果. 【详解】
假设应为“,x y 中至少有一个大于1”的否定，即“,x y 都不大于1”，即“1x ≤且1y ≤”. 故选：A . 【点睛】
本题考查反证法的相关知识，属于基础题.
10．已知5
,6()(2),6
x x f x f x x -≥⎧=⎨
+<⎩，则(3)f 为（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
【答案】A 【解析】 【分析】
根据自变量范围代入对应解析式，解得结果. 【详解】
(3)(32)(52)752f f f =+=+=-=
故选：A 【点睛】
本题考查分段函数求值，考查基本分析求解能力，属基础题.
11．若6名男生和9名女生身高（单位：cm ）的茎叶图如图，则男生平均身高与女生身高的中位数分别为
( )
A ．179，168
B ．180，166
C ．181，168
D ．180，168
【答案】C 【解析】 【分析】
根据平均数和中位数的定义即可得出结果. 【详解】
6名男生的平均身高为
173176178180186193
1816
+++++=,
9名女生的身高按由低到高的顺序排列为162，163，166，167，168，170，176，184， 185，故中位数为168. 故选:C. 【点睛】
本题考查由茎叶图求平均数和中位数,难度容易.
12．已知命题2:()4(1)3p f x ax a x =++-在[3,)+∞上递减；命题:q a m ≤，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则m 的取值范围为（ ） A ．25
m <-
B ．3m ≤-
C ．25
m >-
D ．65
m ≥-
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意可得当0a =时不成立，当0a ≠时，满足()04132a a a <⎧⎪
+⎨-
≤⎪⎩
求出a 的范围，从而求出p ⌝，再求出q ⌝，
根据p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即可求解. 【详解】
由命题2
:()4(1)3p f x ax a x =++-在[3,)+∞上递减， 当0a =时，()43f x x =-，不满足题意，
当0a ≠时，则()
241532a a a a <⎧⎪
⇒≤-+⎨-
≤⎪⎩
， 所以p ⌝：25
a >-
， 由命题:q a m ≤，则q ⌝：a m >， 由因为p ⌝是q ⌝的充分不必要条件， 所以2
5
m <-. 故选：A 【点睛】
本题考查了由充分不必要条件求参数的取值范围以及考查了二次函数的图像与性质，同时考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题.
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．已知4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 ． 【答案】
【解析】
解：从4张卡片中任意抽取两张，则所有的情况有2
4
6C =种，那么取出的2张卡片上的数字之和为奇数，说明奇数=奇数+偶数，故有11
224C C =，因此利用古典概型可知概率为
23
142,3,6，这个长方体对角线的长是____________. 6 【解析】 【分析】
由长方体对角线与棱长的关系计算． 【详解】
设长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，则236ab bc ac ⎧=⎪⎪
=⎨⎪=⎪⎩
，解得213a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，
∴对角线长222222(2)1(3)6l a b c =++=++=
6． 【点睛】
本题考查求长方体的对角线长，设长方体棱长分别为,,a b c ，则对角线长l =
15．5
x
⎛ ⎝
的展开式中，2
x 的系数为__________．（用数字作答） 【答案】1 【解析】 【分析】
写出二项展开式的通项公式，令x 的指数为2，可求得2x 项是第几项，从而求得系数． 【详解】
展开式通项为3552
15
5((3)r r
r
r r r
r T C x C x --+==-，
令3
522
r -
=，则2r =， ∴2x 的系数为22
5(3)90C -=．
故答案为1． 【点睛】
本题考查二项式定理，考查二项展开式通项公式．解题时二项展开式的通项公式，然后令x 的指数为所求项的指数，从而可求得r ，得出结论．
16．甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为13
，乙每次投中的概率为1
2，每人分
别进行三次投篮.乙恰好比甲多投进2次的概率是______. 【答案】1
6
； 【解析】 【分析】
将事件拆分为乙投进3次，甲投进1次和乙投进2次，甲投进0次，再根据二项分布的概率计算公式和独立事件的概率计算即可求得. 【详解】
根据题意，甲和乙投进的次数均满足二项分布，且甲投进和乙投进相互独立； 根据题意：乙恰好比甲多投进2次，
包括乙投进3次，甲投进1次和乙投进2次，甲投进0次.
则乙投进3次，甲投进1次的概率为32
1
3112123318C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；
乙投进2次，甲投进0次的概率为2
3
2311212239
C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.
故乙恰好比甲多投进2次的概率为111 1896
+=. 故答案为：16
. 【点睛】
本题考查二项分布的概率计算，属综合基础题. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+. （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若()0f x ≤恒成立，试确定实数k 的取值范围. 【答案】（1）函数()f x 的递增区间为1
(1,)k k
+，函数()f x 的递减区间为1(1,)k ++∞；
（2）1k ³ 【解析】
试题分析：（1）由已知得x ＞1，()1
1
f x k x -'=- ，对ｋ分类讨论，由此利用导数性质能求出函数f （x ）的单调区间．
（2）由()0f x ≤得()ln 11
1
x k x -+≥-，即求()ln 11
1
x y x -+=
-的最大值．
试题解析：
解：（1）函数()f x 的定义域为()1,+∞，()1
1
f x k x -'=-， 当0k ≤时，()1
01
f x k x =
->-'，函数()f x 的递增区间为()1,+∞， 当0k >时，()()111111111
k k x k x kx k k f x k x x x x +⎛
⎫-- ⎪---++⎝⎭=-===
--'--， 当11k x k +<<
时，()0f x '>，当1k x k
+>时，()0f x '<， 所以函数()f x 的递增区间为11,
k k +⎛⎫ ⎪⎝⎭，函数()f x 的递减区间为11,k ⎛⎫
++∞ ⎪⎝⎭
.
（2）由()0f x ≤得()ln 11
1
x k x -+≥
-，
令()ln 11
1
x y x -+=
-，则()
()
2
ln 11x y x '--=
-，
当12x <<时，0y '>，当2x >时，0y '<，所以()ln 11
1
x y x -+=-的最大值为()21y =，故1k ≥.
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若
()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;
（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >. 18．已知函数()sin x f x e x =. ⑴求函数()f x 的单调区间； ⑵如果对于任意的[0,
]2
x π
∈，()f x kx ≥总成立，求实数k 的取值范围.
【答案】（1）()f x 的单调递增区间为3(2,2)4
4
k k π
π
ππ-
+
，单调递减区间为37(2,2)44
k k ππππ+
+()k Z ∈；（2）(,1]-∞ 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：⑴求出函数的导数令其大于零得增区间，令其小于零得减函数；⑵令
()()sin x g x f x kx e x kx =-=-，要使()f x kx ≥总成立，只需[0,]2
x π
∈时min ()0g x ≥，对讨论,利用
导数求
的最小值.
试题解析：(1) 由于()sin x
f x e x =，所以
'()sin cos (sin cos )2sin()4
x x x x f x e x e x e x x e x π
=+=+=+.
当(2,2)4x k k ππππ+∈+，即3(2,2)44x k k ππ
ππ∈-+
时，'()0f x >； 当(2,22)4x k k πππππ+∈++，即37(2,2)44
x k k ππ
ππ∈+
+时，'()0f x <. 所以()f x 的单调递增区间为3(2,2)44
k k ππ
ππ-+
()k ∈Z ， 单调递减区间为37(2,2)44
k k ππππ++()k ∈Z . (2) 令()()sin x g x f x kx e x kx =-=-，要使()f x kx ≥总成立，只需[0,]2
x π
∈时min ()0g x ≥.
对()g x 求导得()(sin cos )x
g x e x x k =+-'，
令()(sin cos )x h x e x x =+，则()2cos 0x
h x e x '=>，((0,)2
x π
∈)
所以()h x 在[0,]2π
上为增函数，所以2()[1,]h x e π
∈.
对分类讨论：
① 当1k ≤时，()0g x '≥恒成立，所以()g x 在[0,]2
π
上为增函数，所以min ()(0)0g x g ==，即()0
g x ≥恒成立； ② 当
2
1k e π
<<时，()0g x '=在上有实根0x ，因为()h x 在(0,)2
π
上为增函数，所以当0(0,)x x ∈时，
()0g x '<，所以0()(0)0g x g <=，不符合题意；
③ 当
2k e π
≥时，()0g x '
≤恒成立，所以()g x 在(0,)2π
上为减函数，则
()(0)0g x g <=，不符合题意. 综合①②③可得，所求的实数的取值范围是(,1]-∞.
考点：利用导数求函数单调区间、利用导数求函数最值、构造函数. 19．若函数3()4=-+f x ax bx ,当2x =时,函数()f x 有极值为43
-. (1)求函数()f x 的解析式；
(2)若()f x k =有3个解,求实数k 的取值范围. 【答案】（1）31()443
f x x x =-+；（2）42833k -<<
. 【解析】 【分析】
（1）求出函数的导数，利用函数在某个点取得极值的条件，得到方程组，求得,a b 的值，从而得到函数的解析式；（2）利用函数的单调性以及极值，通过()f x k =有三个不等的实数解，求得k 的取值范围. 【详解】
（1）因为()3
4f x ax bx =-+，所以2
'()3f x ax b =-，
由2x =时，函数()f x 有极值4
3
-
， 得()()20423f f ⎧=⎪⎨=-'⎪⎩，即12048243a b a b -=⎧⎪
⎨
-+=-⎪⎩，解得134a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 所以()3
1443
f x x x =
-+； （2）由（1）知()3
1443
f x x x =-+，
所以2
'()4(2)(2)f x x x x =-=+-，
所以函数()f x 在(,2)-∞-上是增函数，在(2,2)-上是减函数，在(2,)+∞上是增函数，
当2x =-时，()f x 有极大值
283； 当2x =时，()f x 有极小值4
3
-，
因为关于x 的方程()f x k =有三个不等实根， 所以函数()y f x =的图象与直线y k =有三个交点， 则k 的取值范围是428
33
k -<<. 【点睛】
该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有函数在极值点处的导数为0，利用条件求函数解析式，利用导数研究函数的单调性与极值，将方程根的个数转化为图象交点的个数来解决，属于中档题目.
20．已知过点A （0，2）的直线与椭圆C ：交于P ，Q 两点．
（1）若直线的斜率为k ，求k 的取值范围；
（2）若以PQ 为直径的圆经过点E （1，0），求直线的方程．
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
试题分析：（1）由题意设出直线的方程，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程后由判别式大于求得的取值范围；（2）设出的坐标，利用根与系数的关系得到
的横坐标的和与积，
结合以
为直径的圆经过点
，由
求得值，则直线方程可求.
试题解析：（1）依题意，直线的方程为，由,消去得
,令
,解得或,所以的取值范围是
.
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为
,则
,此时以为直径的圆过点
，满足题意.直线的斜率存在时，设直线的方程为
,又
,
所以.由（1）知，,所以
.
因为以直径的圆过点，所以，即，解得，满足.
故直线的方程为.综上，所求直线的方程为或.
考点：1.直线与椭圆的综合问题；2.韦达定理.
【方法点睛】本题主要考查的是椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线位置关系的应用，体现了设而不求的解题思想方法，是中档题，本题（1）问主要是联立直线与椭圆方程，化成一元二次方程的判别式大于求出的取值范围，（2）利用求出值，进而求出直线方程,因此解决直线与圆锥曲线位置关系
时应该熟练运用韦达定理解题.
21．已知关于x 的方程222440x ax a a -+-+=（a R ∈）的两根为αβ、，且3αβ+=，求实数a 的
值. 【答案】32a =或1
2
【解析】 【分析】
分0∆≥与∆<0两种情况分类讨论，当0∆≥时，由根与系数关系求解，当∆<0时，设m ni α=+，则
m ni β=-，根据根与系数关系求解.
【详解】
①当0∆≥即1a ≥时，
由()2
2020a a αβαβ+=>⎧⎪⎨=-≥⎪⎩
可知两根都是非负实根， αβαβ∴+=+3
322
a a ==⇒=；
②当∆<0即1a <时，此时方程两根为共轭虚根， 设m ni α=+，则m ni β=-，
()
222
222m a m n a αβαβ+==⎧⎪∴⎨=+=-⎪⎩ 222m n αβ∴+=+1
2232
a a =-=⇒=
； 综上，32a =或12
. 【点睛】
本题主要考查了实系数的一元二次方程的解法，分类讨论的思想，属于中档题.
22．已知定义在[]22-,
上的偶函数()f x 满足：当[]
0,2x ∈时，(
)f x x =-+. （1）求函数()f x 的解析式；
（2）设函数()()20g x ax a a =-->，若对于任意的[]12,2,2x x ∈-，都有()()12g x f x <成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）(
)[
)[]
2,00,2x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨-+∈⎪⎩；（2）02a <<. 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：
（1）当[]2,0x ∈-时，[]0,2x -∈，从而(
)f x x -=+再根据函数()f x 为偶函数可得()f x 在[]2,0-上的解析式，进而可得()f x 在[]22-,上的解析式．
（2）将问题转化为()()max min g x f x <处理．由于()f x 为偶函数，故只可求出当[]2,0x ∈-时()f x 的最小值即可，可得()min 0f x =．又
()()max 22g x g a ==-，由20a -<，得2a <，即为所求．
试题解析：
（1）设[]2,0x ∈-，则[]0,2x -∈， ∴(
)f x x -=+
∵()f x 定义[]2,2x ∈-在偶函数， ∴()(
)f x f x x =-=+
∴(
)[
)[]
2,00,2x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨-+∈⎪⎩ ．
（2）由题意得“对任意[]12,2,2x x ∈-，都有()()12g x f x <成立”等价于“()()max min g x f x <”．
又因为()f x 是定义在[]22-,
上的偶函数. 所以()f x 在区间[]2,0-和区间[]0,2上的值域相同. 当[]2,0x ∈-时，(
)f x x =+
设t =
t ⎡∈⎣
令2
2
()23(1)4,h t t t t t ⎡=+-=+-∈⎣，
则当1t =时，函数()h t 取得最小值(1)0h =， 所以()min 0f x =． 又()()max 22g x g a ==- 由20a -<，解得2a <， 因此实数a 的取值范围为()0,2. 点睛：
（1）利用偶函数的性质可求函数的解析式，对于偶函数的值域根据其对称性只需求在y 轴一侧的值域即可，体现了转化的思想在解题中的应用．
（2）本题中，将“对任意[]12,2,2x x ∈-，都有()()12g x f x <成立”转化为“()()max min g x f x <”来处理，是数学中常用的解题方法，这一点要好好体会和运用．
（3）形如y ax b =+±。