2018-2019学年江苏省南菁高级中学2018级高二下学期期中考试数学(理)试卷参考答案

………………… 8 分
若1＞1，即 0＜a＜1 时，g(x)在[1，1)上单调递减，
a
a
所以当 x∈(1，1)时，g(x)＜g(1)＝0，不符合题意； a
综上所述，实数 a 的取值范围为[1，＋∞)．
………………… 10 分
（3）方法一：h(x)＝f(x)－x＝alnx＋1x－x，x＞0，h′(x)＝ax－x12－1＝－x2＋x2ax－1．
19、（本题 16 分）已知函数 f(x)＝alnx＋1，a∈R． x
（1）若 a＝2，且直线 y＝x＋m 是曲线 y＝f(x)的一条切线，求实数 m 的值；
（2）若不等式 f(x)＞1 对任意 x∈(1，＋∞)恒成立，求 a 的取值范围； （3）若函数 h(x)＝f(x)－x 有两个极值点 x1，x2（x1＜x2），且 h(x2)－h(x1)≤4，求 a 的取值范围．
方法二：h(x)＝f(x)－x＝alnx＋1x－x，x＞0，h′(x)＝ax－x12－1＝－x2＋x2ax－1．
因为 h(x)有两个极值点 x1，x2（x1＜x2），
所以 h′(x)＝0，即 x2－ax＋1＝0 的两实数根为 x1，x2，0＜x1＜x2，
所以 x1＋x2＝a，x1x2＝1，△＝a2－4＞0，所以 a＞2，0＜x1＜1＜x2．
Fn
记
a1a2 a3
a2 a3 a4
an 2 an 1 an
an1an a1
+
an a1 a2
a1 a2 an
，
当 n 3 （ n N* ）时，由（1）知，不等式成立； 假设当 n k （ k N* 且 k ≥ 3 ）时，不等式成立，即
--------11 分
Fk
a1a2 a3
设 t2＝x2（t＞1），则 x1＋t2x1＝a，t2x21 ＝1，所以 x1＝1，a＝t＋1，x2＝t，
x1
t
t
从而 h(x2)－h(x1)≤4e
等价于
h(t)＝(t＋1)lnt＋1－t≤2，t＞1．…………… 12 分
t
te
记 m(x)＝(x＋1)lnx＋1－x，x≥1．
x
x
则 m′(x)＝(1－x12)lnx＋1x(x＋1x)－x12－1＝(1－x12)lnx≥0 (当且仅当 x＝1 时取等号)，
13、 [1, 2)
15 解：(1)由题意知， 2 a 1 ＝ 2＋2a ＝ 6 ，
1 32
7
7
∴2＋2a＝6，∴a＝2，∴A＝ 2 2 . 13
设 A1 a b ，则 2 2 a b ＝ 1 0 ，
cd
13 cd 01
14、 3 3 1 或 11
2
6
-------2 分
解得 A1 0.75 -0.5
-0.5 0.5
--------6 分
(2)由(1)知，A＝ 2 2 ，其特征多项式为 13
| | λ－2 －2
f(λ)＝
＝(λ－2)(λ－3)－2，
－1 λ－3
令 f(λ)＝0，即λ2－5λ＋4＝0，解得λ1＝1，λ2＝4.
---------9 分
当λ1＝1 时，设对应的特征向量为α＝ m ， n
,
a2a3 a1
a2a1 a3
2a2 ,
a3a2 a1
Байду номын сангаас
a3a1 a2
2a3
三式相加即可 （2）归纳的不等式为：
------------6 分
a1a2 a3
a2a3 a4
an2an1 an
an1an a1
+
an a1 a2
≥
a1
a2
an
（
n
N*
且
n
≥
3
）．
9分
数学答案第 5页
2018-2019学年江苏省南菁高级中学2018级高二下学期期中考试数学（理）试卷
--------12 分
因此以 PQ 为一条边的圆 C 的内接矩形面积
S＝2d·|PQ|＝3 7.
---------14 分
17、解析：(1) 以 C 为坐标原点，射线 CA，CB，CC1 为 x，y，z 轴正半轴，
建立如图所示的空间直角坐标系 C -xyz，
则 C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,2,0)， E(0, 0, 2), F (1 ,1, 0) ． 2
a1 ak
ak 1 ak
=
ak 1 ak
ak
a1
ak 1 ak
a1 ak
ak 1 ，
ak a1 ≥ 2 ak 1 ak ≤ ak 1 ak 1 2
因为 ak 1 ≥ ak ， a1 ak
， ak 1
ak 1
，
所以 Fk1 ≥ 0 ，
所以当 n k 1 ，不等式成立．
综上所述，不等式
e
解（1）当
a＝2
时，f(x)＝2lnx＋1，f x
′(x)＝2x－x12．
设直线 y＝x＋m 与曲线 y＝f(x)相切于点 (x0，2lnx0＋x10)， 则 x20－x120＝1，即 x20－2x0＋1＝0，
解得 x0＝1，即切点为(1，1)，
因为切点在 y＝x＋m 上，所以 1＝1＋m，解得 m＝0． …………………4 分
(t 为参数)，得 y＝ 1 (x－5)， 3
即直线 l 的普通方程为 x－ 3y－5＝0.
----------6 分
数学答案第 1页
(2)由(1)可知 C 为圆，且圆心坐标为(2,0)，半径为 2，
则弦心距 d＝|2－ 3×0－5|＝3， 1＋3 2
--------9 分
弦长|PQ|＝2 22－ 3 2＝ 7， 2
则 2 2 m ＝ m ，即 2m＋2n＝m， 取 n＝1，
1 3n n
m＋3n＝n，
－2 则 m＝－2，故α＝ 1 ；
-------11 分
当λ2＝4 时，设对应的特征向量为β＝ x ， y
则 2 2 x ＝4 x ，即 2x＋2y＝4x， 取 x＝1，
1 3y y
x＋3y＝4y，
则 y＝1，故β＝ 1 . 1
a2 a3 a4
ak 2ak 1 ak
ak 1ak a1
+
ak a1 a2
a1 a2 ak
≥0
．
则当 n k 1 时，
Fk1
a1a2 a3
a2 a3 a4
ak 2ak 1 ak
ak 1ak ak 1
ak ak 1 + ak 1a1
a1
a2
a1 a2 ak ak 1
Fk =
a1a2 a3
a2a3 a4
an2an1 an
an1an a1
+
ana1 a2
≥a1
a2
an （
n
N*
且
n
≥
3
）成立．
----16 分
数学答案第 6页 2018-2019学年江苏省南菁高级中学2018级高二下学期期中考试数学（理）试卷
---------13 分
∴矩阵 A 的属于特征值 1 的一个特征向量为 －2 ，属于特征值 4 的一个特征向量为 1 . --------14 分
1
1
16、解：(1)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，
即曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋y2＝4x；
------3 分
x＝5＋ 3t， 2
由 y＝1t 2
x2
x1
x2
数学答案第 4页
2018-2019学年江苏省南菁高级中学2018级高二下学期期中考试数学（理）试卷
＝2[(x2＋ 1 )lnx2＋ 1 －x2]．
x2
x2
………………… 12 分
记 m(x)＝2[(x＋1)lnx＋1－x]，x≥1．
x
x
则 m′(x)＝2[(1－x12)lnx＋(x＋1x)·1x－x12－1]＝2(1－x12)lnx≥0 (当且仅当 x＝1 时取等号)，
（2）不等式 f(x)＞1 可化为 alnx＋1－1＞0． x
记 g(x)＝alnx＋1－1， 则 g(x)＞0 对任意 x∈(1，＋∞)恒成立． x
考察函数 g(x)＝alnx＋1x－1，x＞0，g′(x)＝ax－x12＝axx－2 1．
当 a≤0 时，g′(x)＜0，g(x)在(0，＋∞)上单调递减，又 g(1)＝0，
∴2 17＝cos〈n1，n2〉 17
＝ n1·n2 ＝
2m
，
|n1||n2| 4m2＋ m－4 2＋4
解得 m＝1(0≤m≤4)．
∴在棱 CC1 上存在点 E，符合题意，此时 CE＝1.
----------14 分
数学答案第 2页 2018-2019学年江苏省南菁高级中学2018级高二下学期期中考试数学（理）试卷
18、【解答】（1）解：由题意：c＝1，再由 ＝ ，得 a＝ ，∴b＝
∴椭圆的方程为
；
-----------4 分
（2）证明：若 AB，CD 斜率均存在，设直线 AB 方程为 y＝k（x﹣1），
A（x1，y1），B（x2，y2），M（
，
），
联立
，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，
＝1，
1、 0 6、 10
2018-2019学年江苏省南菁高级中学2018级高二下学期期中考试数学（理）试卷
高二年级期中考试数学试卷答案
2、 5
3、一个三角形中有两个直角
4、 10
5、 1
7、
1 3n
1 3n
1
1 3n
2
8、 16
9、 4320
a3
10、
8
11、 ( 2 1, 2]
12、[ 3 ,1) 2
，
，
--------6 分
故 M（
，
）．
将上式中的 k 换成﹣ ，则同理可得 N（
）．
如
，得 k＝±1，则直线 MN 斜率不存在，
此时直线 MN 过点（
）．
下面证明动直线 MN 过定点 P（
）．
---------8 分
若直线 MN 斜率存在，则 kMN＝
，
直线 MN 为 y﹣
＝
（x﹣
）．
令 y＝0，得 x＝
AE
(1, 0,
2), CF
(1
,1, 0)
2
cos
AE , CF
1
，
5
------5 分
故直线 AE 与 CF 所成角的余弦值为 1 5
--------6 分
(2) 设 E(0,0，m)(0≤m≤4)，平面 AEB1 的法向量 n1＝(x，y，z)．
则 AB1 ＝(－1,2,4)，
AE ＝(－1,0，m)．
因为 h(x)有两个极值点 x1，x2（x1＜x2），
所以 h′(x)＝0，即 x2－ax＋1＝0 的两实数根为 x1，x2，0＜x1＜x2，
所以 x1＋x2＝a，x1x2＝1，△＝a2－4＞0，所以 a＞2，0＜x1＜1＜x2，
从而 h(x2)－h(x1)＝(alnx2＋ 1 －x2)－(alnx1＋ 1 －x1)＝2(alnx2＋ 1 －x2)
所以 g(2)＜g(1)＝0，不合题意；
………………… 6 分
当 a＞0 时，x∈(0，1)，g′(x)＜0；x∈(1，＋∞)，g′(x)＞0，
a
a
所以 g(x)在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，
a
a
若1≤1，即 a≥1 时，g(x)在[1，＋∞)上单调递增， a
所以 x∈(1，＋∞)时，g(x)＞g(1)＝0，符合题意；
．
综上，直线 MN 过定点（
）；
（3）解：由第（2）问可知直线 MN 过定点 P（ 故 S△FMN＝S△FPM+S△FPN
＝×|
|+ × |
|＝ ×
∴直线 AB：y＝x﹣1 或 y＝﹣x+1．
-------10 分 ）．
＝ ．解得 k＝±1， ----------16 分
数学答案第 3页
2018-2019学年江苏省南菁高级中学2018级高二下学期期中考试数学（理）试卷
由 AB1 ⊥n1， AE ⊥n1，
－x＋2y＋4z＝0， 得
－x＋mz＝0.
令 z＝2，则 n1＝(2m，m－4,2)．
-------9 分
连结 BE，∵CA⊥平面 C1CBB1，
∴ CA 是平面 EBB1 的一个法向量，令 n2＝ CA ，
--------11 分
∵二面角 A
-EB1
-B 的余弦值为2 17， 17
所以 m(x)在[1，＋∞)上单调递增．
又 t＞1，m(e)＝2，所以 1＜t≤e． e
………………… 14 分
因为 a＝t＋1，且 y＝x＋1在(1，＋∞)上递增，所以 2＜a≤e＋1，
t
x
e
即 a 的取值范围为(2，e＋1]． e
………………… 16 分
20、（1）
a1a2 a3
a3a1 a2
2a1
ak 1ak ak 1
ak ak 1 a1
+
ak 1a1 a2
ak 1ak a1
ak a1 a2
ak 1
----------13 分
Fk
=
ak 1ak
1
ak
1
1 a1
ak
1
ak a1
1
+
a1 a2
ak 1 ak
≥
0
ak2
1 ak 1
1 a1
ak 1
ak a1
1
+
所以 m(x)在[1，＋∞)上单调递增，又 m(e)＝4， e
不等式 h(x2)－h(x1)≤4e 可化为 m(x2)≤m(e)，所以 1＜x2≤e．………… 14 分
因为
a＝x2＋x12，且
y＝x＋1在(1，＋∞)上递增，所以 x
2＜a≤e＋1， e
即 a 的取值范围为(2，e＋1]． e
………………… 16 分