高中数学5-4三角函数的图象与性质5-4-3正切函数的性质与图象课件新人教A版必修第一册
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3
1
2
)
3
4
2．(多选)已知函数f (x)＝tan 2x，则下列结论正确的是(
A．f (x)是奇函数
√
B．f (x)的定义域是 ≠ π
C．f (x)在
√
π
π
− ，
4
4
π
+ ，
4
∈
上单调递增
D．y＝f (x)的图象的对称中心是
√
1
2
π
，0
4
3
4
，k∈Z
)
ACD
[f (x)的定义域为 ≠
3
3
5π
1
5π
π
π
当x＝ 时，tan × − ＝tan ，无意义，排除B．故选A．]
3
2
3
3
2
• 反思领悟 解决与正切函数有关的图象识别问题的常用方法
• (1)作图法：先作出相关函数的图象，再对照选项确定正确答案．
• (2)性质法：研究相关函数的性质(特别是定义域、值域、单调性、奇偶
性、对称性、特殊点、函数值变化规律等)，排除相关选项，从而确定
性质
正切函数(y＝tan x)
周期性
T＝π
对称性
正弦函数(y＝sin x)、
余弦函数(y＝cos x)
T＝2π
有无数个对称中心，不 对称中心和对称轴均有
存在对称轴
无数个
______
奇函数
π
，0
2
对称中心
，k∈Z
______________
单调性
π
π
−
+
π，
+ π ，k∈Z
在每一个区间___________________上都单调递增
2
2
• 思考 正切函数在整个定义域上是单调递增的吗？
[提示]
不是．正切函数在每一个区间 π
π
− ，π
2
单调递增的，但在整个定义域上不具有单调性．
．
[跟进训练]
2．(1)函数y＝tan +
A．(0，0)
C
B．
π
5
的一个对称中心是(
π
，0
5
C．
√
4π
，0
5
)
D．(π，0)
π
π
π π
令x＋ ＝ ，k∈Z，得x＝ － ，k∈Z，
5
2
2
5
所以函数y＝tan +
π
5
的对称中心是
可得函数的一个对称中心为
4π
，0
5
．
π
2
π
− ，0
5
，k∈Z．令k＝2，
π
2
+
(－2x)＝－tan 2x＝－f (x)，∴f
kπ<2x<
π
π
− ，
4
4
π
，
4
∈ ，B错误；f (－x)＝tan
π
(x)是奇函数，A正确；令－ ＋
2
π
π
π
＋kπ，k∈Z，则－ ＋
2
4
2
<x<
π
π
＋ ，k∈Z，故f
4
2
(x)在
π
π
上单调递增，C正确；令2x＝ ，k∈Z，则x＝ ，k∈Z，
π
3π
π − ，π +
4
π −
π
4
π
，π
4
+
3π
4
，k∈Z
π
由kπ－
2
π
<x－
4
4
，k∈Z
π
<kπ＋ ，k∈Z，得kπ－
2
3π
<x<kπ＋ ，k∈Z，
4
所 以 函 数 y ＝ tan
k∈Z．
−
π
4
的 单 调 递 增 区 间 是 π −
π
3π
，π +
4
4
，
• (2)利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小．
(2)运用单调性比较大小关系．
2．求函数y＝tan (ωx＋φ)的单调区间的方法
π
π
• 当ω>0时，先把ωx＋φ看成一个整体，解－ ＋kπ<ωx＋φ< ＋kπ，k∈Z
2
2
即可；当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．
• [跟进训练]
• 3．(1)函数y＝tan −
π
4
的单调递增区间为___________________．
小：
• (1)tan (－3)，tan (－3.1)；
[解]
由于
π
π
－ －π<－3.1<－3< －π，
2
2
且函数y＝tan x 在区间
π
−
2
−
因此tan (－3.1)<tan (－3)．
π
π，
2
− π 上单调递增，
• 【例3】
(源自湘教版教材)利用函数的单调性，比较下列各组数的大
小：
• (2)tan
− 2 ＝－3tan 2 −
π
4
，
π
π
π
由－ ＋kπ＜2x－ ＜ ＋kπ，k∈Z得，
2
4
2
π π
3π π
－ ＋ ＜x＜ ＋ ，k∈Z，
8
2
8
2
所以y＝3tan
π
4
− 2 的单调递减区间为
π
−
8
+
π
3π
，
2
8
π
+
2
，k∈Z．
•
•
•
•
•
反思领悟
1．运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
类型2 正切函数的周期性、奇偶性与对称性
类型3 正切函数的单调性
类型1 正切函数的图象
【例1】 函数y＝tan
A
√
1
2
B
−
π
3
在一个周期内的图象是(
C
)
D
• A [法一：利用“三点两线法”列表、描点、连线的方法画简图比较．
•
•
2π
1
2π
π
法二：当x＝ 时，tan × − ＝0，排除C、D．
3
2
R
最值
无
正弦函数(y＝sin x)、
余弦函数(y＝cos x)
[－1，1]
最大值为1
最小值为－1
性质
单调性
奇偶性
正切函数(y＝tan x)
正弦函数(y＝sin x)、
余弦函数(y＝cos x)
仅有单调递增区间，不 单调递增区间、单调递
存在单调递减区间
奇函数
减区间均存在
正弦函数是奇函数
余弦函数是偶函数
则x＝ － (k∈Z)．
4
6
所以对称中心为
π
4
−
π
，0
6
(k∈Z)．
6
• 反思领悟 与正切函数有关的周期性、奇偶性解题策略
π
• (1)一般地，函数y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期为T＝ ，常常利用此公
式来求周期．
• (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称
，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f (－x)与f (x)的关系
8
8
2
π
−
4
类型2
正切函数的周期性、奇
偶性与对称性
【例2】
A
(1)函数f (x)＝sin x＋
tan x的奇偶性为(
)
A．奇函数
√
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
由题意可知，自变量x的取值
π
2
范围为 ≠ + π， ∈ ．
又f (－x)＝sin (－x)＋tan (－x)＝
－sin x－tan x＝－f (x)，
∴f (x)为奇函数，故选A．
• (2)y＝tan 2 +
π
3
π
π
π
的最小正周期为__；对称中心为_____________
− ，0
2
• ________．
4
(k0
6
(k∈Z)
π
π
π
T＝ ，令2x＋ ＝ (k∈Z)，
2
3
2
π π
象，进而借助图象分析函数性质，这就是本节课的知识，让我们来一起
学习．
• 知识点 正切函数的图象与性质
解析式
y＝tan x
图象
定义域
π
∈ ，且 ≠ + π， ∈
_________________________________
2
解析式
y＝tan x
值域
___
R
周期
___
π
奇偶性
5
5
5
7
7
7
π
π
π
π
因为－ < < < ，
2
7
5
2
π
π
π
π
y＝tan x在 − ， 上单调递增，所以tan < tan ，
2
2
7
5
6
13
即tan π>tan − π ．
5
7
03
学习效果·课堂评估夯基础
1．函数y＝2tan 3 +
π
A．
6
B
π
B．
3
√
π
4
的最小正周期是(
π
C．
2
2π
D．
3
π
[T＝ ．故选B．]
第五章 三角函数
5.4 三角函数的图象与性质
5.4.3 正切函数的性质与图象
学 1．了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质．(直
习 观想象、数学抽象)
任 2．能利用正切函数的图象与性质解决有关问题．(直观想象、数
务 学运算)
01
必备知识·情境导学探新知
•
类比借助单位圆绘制函数y＝sin x图象的方法，先画出y＝tan x的图
(2)函数f (x)＝|tan 2x|是(
)
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
π
C．周期为 的奇函数
2
π
D．周期为 的偶函数
2
√
D
f (－x)＝|tan (－2x)|＝|tan 2x|＝f
π
(x)为偶函数，T＝ ．故选D．
2
• 类型3 正切函数的单调性
• 角度1 比较大小
• 【例3】
(源自湘教版教材)利用函数的单调性，比较下列各组数的大
4
+
π
2
∈
2
[因为tan x≥1＝tan
π
π
所以 ＋kπ≤x＜ ＋kπ，k∈Z．]
4
2
1
2
3
4
π
，
4
4．比较大小：tan
<
在
[因为tan
π
0，
2
所以tan
π
4
13π
17π
________tan
．
<
4
5
13π
π
17π
2π
π
＝tan ，tan
＝tan ，又0<
4
4
5
5
4
上单调递增，
<tan
2π
13π
+
π
2
(k∈Z)上是
• 思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
• (1)正切函数的定义域和值域都是R．
• (2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心．
•
(
)
(× )
π
(3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是x＝kπ± ，k∈Z．(
2
√ )
×
02
关键能力·合作探究释疑难
类型1 正切函数的图象
2
4
π
，0
4
故 y ＝ f (x) 的 图 象 的 对 称 中 心 是
ACD．]
1
2
3
4
， k∈Z ， D 正 确 ． 故 选
π
π
• 3．不等式tan x≥1的解集为_______________________________．
π + ≤＜π + ∈
4
π +
π
≤＜π
2
2
，即d对应③．故选D．
(2)(多选)与函数y＝tan 2 −
π
4
3π
A．x＝
8
π
C．x＝
4
√
AD
π
B．x＝－
2
的图象不相交的一条直线是(
)
π
D．x＝－
8
√
π
π
令2x－ ＝ ＋kπ，k∈Z，
4
2
3π π
3π π
得x＝ ＋ ，k∈Z，∴直线x＝ ＋ ，k∈Z与函数y＝tan
8
2
8
2
π
3π
的图象不相交，令k＝－1，得x＝－ ，令k＝0，得x＝ ．
6
13
>
>
• ①tan 220°________tan 200°；②tan π________tan − π ．
5
7
①> ②> ①tan 220°＝tan 40°，tan 200°＝tan 20°，
π
因为y＝tan x在 0， 上单调递增，所以tan 220°>tan 200°．
2
6
π
π
13
π
π
②tan π＝tan π + ＝tan ，tan − π ＝tan −2π + ＝tan ，
[解]
π
−
2
7π
7π
，tan ．
6
5
π
7π
由于－ ＋π<
2
6
π
+ π，
2
<
7π
5
<
π
＋ π ， 且 函 数 y ＝ tan
2
+ π 上单调递增，因此tan
7π
6
<tan
7π
．
5
x在区间
• 角度2 求正切函数的单调区间
• 【例4】 求函数y＝3tan
π
4
[解] y＝3tan
π
4
− 2 的单调区间．
，即tan
5
4
<tan
1
2
17π
．]
5
3
4
<
2π
5
<
π
，y＝tan
2
x
• 回顾本节知识，自主完成以下问题：
• 你能归纳比较正切函数与正弦函数、余弦函数的性质吗？
1
2
)
3
4
2．(多选)已知函数f (x)＝tan 2x，则下列结论正确的是(
A．f (x)是奇函数
√
B．f (x)的定义域是 ≠ π
C．f (x)在
√
π
π
− ，
4
4
π
+ ，
4
∈
上单调递增
D．y＝f (x)的图象的对称中心是
√
1
2
π
，0
4
3
4
，k∈Z
)
ACD
[f (x)的定义域为 ≠
3
3
5π
1
5π
π
π
当x＝ 时，tan × − ＝tan ，无意义，排除B．故选A．]
3
2
3
3
2
• 反思领悟 解决与正切函数有关的图象识别问题的常用方法
• (1)作图法：先作出相关函数的图象，再对照选项确定正确答案．
• (2)性质法：研究相关函数的性质(特别是定义域、值域、单调性、奇偶
性、对称性、特殊点、函数值变化规律等)，排除相关选项，从而确定
性质
正切函数(y＝tan x)
周期性
T＝π
对称性
正弦函数(y＝sin x)、
余弦函数(y＝cos x)
T＝2π
有无数个对称中心，不 对称中心和对称轴均有
存在对称轴
无数个
______
奇函数
π
，0
2
对称中心
，k∈Z
______________
单调性
π
π
−
+
π，
+ π ，k∈Z
在每一个区间___________________上都单调递增
2
2
• 思考 正切函数在整个定义域上是单调递增的吗？
[提示]
不是．正切函数在每一个区间 π
π
− ，π
2
单调递增的，但在整个定义域上不具有单调性．
．
[跟进训练]
2．(1)函数y＝tan +
A．(0，0)
C
B．
π
5
的一个对称中心是(
π
，0
5
C．
√
4π
，0
5
)
D．(π，0)
π
π
π π
令x＋ ＝ ，k∈Z，得x＝ － ，k∈Z，
5
2
2
5
所以函数y＝tan +
π
5
的对称中心是
可得函数的一个对称中心为
4π
，0
5
．
π
2
π
− ，0
5
，k∈Z．令k＝2，
π
2
+
(－2x)＝－tan 2x＝－f (x)，∴f
kπ<2x<
π
π
− ，
4
4
π
，
4
∈ ，B错误；f (－x)＝tan
π
(x)是奇函数，A正确；令－ ＋
2
π
π
π
＋kπ，k∈Z，则－ ＋
2
4
2
<x<
π
π
＋ ，k∈Z，故f
4
2
(x)在
π
π
上单调递增，C正确；令2x＝ ，k∈Z，则x＝ ，k∈Z，
π
3π
π − ，π +
4
π −
π
4
π
，π
4
+
3π
4
，k∈Z
π
由kπ－
2
π
<x－
4
4
，k∈Z
π
<kπ＋ ，k∈Z，得kπ－
2
3π
<x<kπ＋ ，k∈Z，
4
所 以 函 数 y ＝ tan
k∈Z．
−
π
4
的 单 调 递 增 区 间 是 π −
π
3π
，π +
4
4
，
• (2)利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小．
(2)运用单调性比较大小关系．
2．求函数y＝tan (ωx＋φ)的单调区间的方法
π
π
• 当ω>0时，先把ωx＋φ看成一个整体，解－ ＋kπ<ωx＋φ< ＋kπ，k∈Z
2
2
即可；当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．
• [跟进训练]
• 3．(1)函数y＝tan −
π
4
的单调递增区间为___________________．
小：
• (1)tan (－3)，tan (－3.1)；
[解]
由于
π
π
－ －π<－3.1<－3< －π，
2
2
且函数y＝tan x 在区间
π
−
2
−
因此tan (－3.1)<tan (－3)．
π
π，
2
− π 上单调递增，
• 【例3】
(源自湘教版教材)利用函数的单调性，比较下列各组数的大
小：
• (2)tan
− 2 ＝－3tan 2 −
π
4
，
π
π
π
由－ ＋kπ＜2x－ ＜ ＋kπ，k∈Z得，
2
4
2
π π
3π π
－ ＋ ＜x＜ ＋ ，k∈Z，
8
2
8
2
所以y＝3tan
π
4
− 2 的单调递减区间为
π
−
8
+
π
3π
，
2
8
π
+
2
，k∈Z．
•
•
•
•
•
反思领悟
1．运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
类型2 正切函数的周期性、奇偶性与对称性
类型3 正切函数的单调性
类型1 正切函数的图象
【例1】 函数y＝tan
A
√
1
2
B
−
π
3
在一个周期内的图象是(
C
)
D
• A [法一：利用“三点两线法”列表、描点、连线的方法画简图比较．
•
•
2π
1
2π
π
法二：当x＝ 时，tan × − ＝0，排除C、D．
3
2
R
最值
无
正弦函数(y＝sin x)、
余弦函数(y＝cos x)
[－1，1]
最大值为1
最小值为－1
性质
单调性
奇偶性
正切函数(y＝tan x)
正弦函数(y＝sin x)、
余弦函数(y＝cos x)
仅有单调递增区间，不 单调递增区间、单调递
存在单调递减区间
奇函数
减区间均存在
正弦函数是奇函数
余弦函数是偶函数
则x＝ － (k∈Z)．
4
6
所以对称中心为
π
4
−
π
，0
6
(k∈Z)．
6
• 反思领悟 与正切函数有关的周期性、奇偶性解题策略
π
• (1)一般地，函数y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期为T＝ ，常常利用此公
式来求周期．
• (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称
，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f (－x)与f (x)的关系
8
8
2
π
−
4
类型2
正切函数的周期性、奇
偶性与对称性
【例2】
A
(1)函数f (x)＝sin x＋
tan x的奇偶性为(
)
A．奇函数
√
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
由题意可知，自变量x的取值
π
2
范围为 ≠ + π， ∈ ．
又f (－x)＝sin (－x)＋tan (－x)＝
－sin x－tan x＝－f (x)，
∴f (x)为奇函数，故选A．
• (2)y＝tan 2 +
π
3
π
π
π
的最小正周期为__；对称中心为_____________
− ，0
2
• ________．
4
(k0
6
(k∈Z)
π
π
π
T＝ ，令2x＋ ＝ (k∈Z)，
2
3
2
π π
象，进而借助图象分析函数性质，这就是本节课的知识，让我们来一起
学习．
• 知识点 正切函数的图象与性质
解析式
y＝tan x
图象
定义域
π
∈ ，且 ≠ + π， ∈
_________________________________
2
解析式
y＝tan x
值域
___
R
周期
___
π
奇偶性
5
5
5
7
7
7
π
π
π
π
因为－ < < < ，
2
7
5
2
π
π
π
π
y＝tan x在 − ， 上单调递增，所以tan < tan ，
2
2
7
5
6
13
即tan π>tan − π ．
5
7
03
学习效果·课堂评估夯基础
1．函数y＝2tan 3 +
π
A．
6
B
π
B．
3
√
π
4
的最小正周期是(
π
C．
2
2π
D．
3
π
[T＝ ．故选B．]
第五章 三角函数
5.4 三角函数的图象与性质
5.4.3 正切函数的性质与图象
学 1．了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质．(直
习 观想象、数学抽象)
任 2．能利用正切函数的图象与性质解决有关问题．(直观想象、数
务 学运算)
01
必备知识·情境导学探新知
•
类比借助单位圆绘制函数y＝sin x图象的方法，先画出y＝tan x的图
(2)函数f (x)＝|tan 2x|是(
)
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
π
C．周期为 的奇函数
2
π
D．周期为 的偶函数
2
√
D
f (－x)＝|tan (－2x)|＝|tan 2x|＝f
π
(x)为偶函数，T＝ ．故选D．
2
• 类型3 正切函数的单调性
• 角度1 比较大小
• 【例3】
(源自湘教版教材)利用函数的单调性，比较下列各组数的大
4
+
π
2
∈
2
[因为tan x≥1＝tan
π
π
所以 ＋kπ≤x＜ ＋kπ，k∈Z．]
4
2
1
2
3
4
π
，
4
4．比较大小：tan
<
在
[因为tan
π
0，
2
所以tan
π
4
13π
17π
________tan
．
<
4
5
13π
π
17π
2π
π
＝tan ，tan
＝tan ，又0<
4
4
5
5
4
上单调递增，
<tan
2π
13π
+
π
2
(k∈Z)上是
• 思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
• (1)正切函数的定义域和值域都是R．
• (2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心．
•
(
)
(× )
π
(3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是x＝kπ± ，k∈Z．(
2
√ )
×
02
关键能力·合作探究释疑难
类型1 正切函数的图象
2
4
π
，0
4
故 y ＝ f (x) 的 图 象 的 对 称 中 心 是
ACD．]
1
2
3
4
， k∈Z ， D 正 确 ． 故 选
π
π
• 3．不等式tan x≥1的解集为_______________________________．
π + ≤＜π + ∈
4
π +
π
≤＜π
2
2
，即d对应③．故选D．
(2)(多选)与函数y＝tan 2 −
π
4
3π
A．x＝
8
π
C．x＝
4
√
AD
π
B．x＝－
2
的图象不相交的一条直线是(
)
π
D．x＝－
8
√
π
π
令2x－ ＝ ＋kπ，k∈Z，
4
2
3π π
3π π
得x＝ ＋ ，k∈Z，∴直线x＝ ＋ ，k∈Z与函数y＝tan
8
2
8
2
π
3π
的图象不相交，令k＝－1，得x＝－ ，令k＝0，得x＝ ．
6
13
>
>
• ①tan 220°________tan 200°；②tan π________tan − π ．
5
7
①> ②> ①tan 220°＝tan 40°，tan 200°＝tan 20°，
π
因为y＝tan x在 0， 上单调递增，所以tan 220°>tan 200°．
2
6
π
π
13
π
π
②tan π＝tan π + ＝tan ，tan − π ＝tan −2π + ＝tan ，
[解]
π
−
2
7π
7π
，tan ．
6
5
π
7π
由于－ ＋π<
2
6
π
+ π，
2
<
7π
5
<
π
＋ π ， 且 函 数 y ＝ tan
2
+ π 上单调递增，因此tan
7π
6
<tan
7π
．
5
x在区间
• 角度2 求正切函数的单调区间
• 【例4】 求函数y＝3tan
π
4
[解] y＝3tan
π
4
− 2 的单调区间．
，即tan
5
4
<tan
1
2
17π
．]
5
3
4
<
2π
5
<
π
，y＝tan
2
x
• 回顾本节知识，自主完成以下问题：
• 你能归纳比较正切函数与正弦函数、余弦函数的性质吗？