人教版数学八年级下册数学期末试卷(培优篇)(Word版含解析)

人教版数学八年级下册数学期末试卷（培优篇）（Word 版含解析） 一、选择题 1．如果
72x x +-在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≠2 B ．x ≥﹣7 C ．x ≥2 D ．x ≥﹣7且x ≠2 2．下列由线段a ，b ，c 组成的三角形不是直角三角形的是（ ）
A ．a ：b ：c ＝1：2：3
B ．a ＝54，b ＝1，c ＝34
C ．a ＝4，b ＝5，c ＝41
D ．a ＝3，b ＝4，c ＝5 3．给出下列命题，其中错误命题的个数是（ ） ①四条边相等的四边形是正方形；
②四边形具有不稳定性；
③有两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；
④一组对边平行的四边形是平行四边形．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．在脱贫攻坚工作中，为比较甲、乙两村扶贫攻坚工作的成效，从这两村中，各随机抽取20户对其年收入情况进行调查．统计结果是两村年人均收入的平均数相同，方差分别是S 甲2=6000，S 乙2=480，则年人均收入比较均衡的村是（ ）
A ．甲村
B ．乙村
C ．甲、乙两村一样
D ．无法确定 5．如图，在正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC ＝1，C
E ＝3，H 是A
F 的中
点，那么CH 的长是（ ）
A ．25
B ．5
C ．35
D ．2
6．如图，把—个长方形纸片对折两次，然后剪下—个角．为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为（ ）
A ．60°
B ．30°
C ．45°
D ．90°
7．如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在线段CB 的延长线上，连接DE 交AB 于点F ，2AED CED ∠=∠，点G 是DF 的中点，若1BE =，3CD =，则DF 的长为（ ）
A ．8
B ．9
C ．42
D ．210 8．一个容器内有进水管和出水管，开始4min 内只进水不出水，在随后的8min 内既进水又出水，第12min 后只出水不进水.进水管每分钟的进水量和出水量每分钟的出水量始终不变，容器内水量y （单位：L ）与时间x （单位：min ）之间的关系如图所示．
根据图象有下列说法：①进水管每分钟的进水量为5L ；②412x ≤≤时，5154
y x =+；③当12x =时，30y =；④当15y =时，3x =，或17x =．其中正确说法的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
二、填空题
9．二次根式9x +在实数范围内有意义，则x 的取值范围是__．
10．已知菱形的周长等于8，一条对角线长为2，则此菱形的面积为___．
11．若直角三角形的两边长分别为2，6，那么第三边长是______．
12．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为AB 的中点，连接OE ．若10CD =，则OE 的长为________．
13．若函数y=kx+3的图象经过点（3，6），则k=_____．
14．如图所示，在四边形ABCD 中，顺次连接四边中点E 、F 、G 、H ，构成一个新的四边
形，请你对四边形ABCD添加一个条件，使四边形EFGH成一个菱形，这个条件是
__________．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…，都在x轴正半轴上，点B1，B2，
B3，…，都在直线y=kx上，∠B1OA1=30°，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…，都是等边三角形，且OA1＝1，则点B6的纵坐标是_________．
16．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则:
BCE BDE
S S等于____________．
三、解答题
17．计算题
（1）32712＋48
（2
2
12
3
3
（32123
3
+
（130；
（4515127
18．笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC＝5千米，CH＝4千米，BH＝3千米．
（1）判断△BCH的形状，并说明理由；
（2）求原路线AC的长．
19．如图，网格中的ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识，
（1）判断ABC是什么形状？并说明理由；
（2）求ABC的面积．
20．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，连接DE并延长至点F，使得DE＝EF，连接CF．
（1）求证：四边形ADFC是平行四边形；
（2）若∠A＝∠B，连接CD，BF．求证：四边形BFCD是矩形．
21．先阅读下列的解答过程，然后再解答：
±a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得
2
m n
22
+=a b n
a b m
()()
=2
±±=a＞b）
m n a b a b
2=()
7+43
7+437+212m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12
即22
+=3412
(4)(3)7
=
∴7+432
+=
7+212=(43)23
（1423
-＝，9+45＝；
（219415
-
22．已知某列货车挂有A，B两种不同规格的货车厢共60节，使用A型车厢每节费用为6000元，使用B型车厢每节费用为8000元，设使用该列车全部车厢的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节．
（1）试写出y与x之间的函数关系式；
（2）若使用该列车全部车厢的总费用少于45万元，则至少挂A 型车厢多少节？ 23．如图．正方形ABCD 的边长为4，点E 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AD 运动，运动时间为t 秒（t ＞0），以AE 为一条边，在正方形ABCD 左侧作正方形AEFG ，连接BF ．
（1）当t ＝1时，求BF 的长度；
（2）在点E 运动的过程中，求D 、F 两点之间距离的最小值；
（3）连接AF 、DF ，当△ADF 是等腰三角形时，求t 的值．
24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线384
y x =-+分别交x 、y 轴于点A 、B ，将正比例函数2y x =的图像沿y 轴向下平移3个单位长度得到直线l ，直线l 分别交x 、y 轴于点C 、D ，交直线AB 于点E ．
（1）直线l 对应的函数表达式是__________，点E 的坐标是__________；
（2）在直线AB 上存在点F （不与点E 重合），使BF BE =，求点F 的坐标；
（3）在x 轴上是否存在点P ，使2PDO PBO ∠=∠？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图，在四边形OABC 是边长为4的正方形点P 为OA 边上任意一点（与点O A 、不重合），连接CP ，过点P 作PM CP ⊥，且PM CP =，过点M 作MN AO ∥，交BO 于点,N 联结BM CN 、，设OP x =.
（1）当1x =时，点M 的坐标为（ ， ）
（2）设CNMB S y =四形边，求出y 与x 的函数关系式，写出函数的自变量的取值范围.
（3）在x 轴正半轴上存在点Q ，使得QMN 是等腰三角形，请直接写出不少于4个符合条件的点Q 的坐标（用x 的式子表示）
26．如图，两个全等的等边三角形△ABC与△ACD，拼成的四边形ABCD中，AC＝6，点E、F分别为AB、AD边上的动点，满足BE＝AF，连接EF交AC于点G，连接BD与CE、AC、CF分别交于点M、O、N，且AC⊥BD．
（1）求证：△CEF是等边三角形．
（2）△AEF的周长最小值是．
（3）若BE＝3，求证：BM＝MN＝DN．
【参考答案】
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
由已知可得x﹣2≠0，x+7≥0，求出x的范围即可．
【详解】
解：∵
7 x+
∴x﹣2≠0，x+7≥0，
∴x≠2，x≥﹣7，
∴x≥﹣7且x≠2，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查二次根式与分式有意义的条件，解题的关键是熟知其各自的特点．2．A
解析：A
【分析】
运用勾股定理的逆定理进行计算求解即可判断.
【详解】
解：A 、∵::1:2:3a b c =，设a k =，2b k =，3c k =（其中k ＞0）
∴2222259a b k k c +=≠=，故选项A 中的三条线段不能构成直角三角形；
B 、12+（34
）2＝（54）2，故选项B 中的三条线段能构成直角三角形；
C 、42+522，故选项C 中的三条线段能构成直角三角形；
D 、32+42＝52，故选项D 中的三条线段能构成直角三角形；
故选A ．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理的逆定理. 3．C
解析：C
【解析】
【分析】
利用正方形的判定、直角三角形全等的判定、平行四边形的判定定理对每个选项依次判定解答．
【详解】
①四条边相等的四边形是菱形，故①错误；
②四边形具有不稳定性，故②正确；
③两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，两个锐角对应相等，因此构成了AAA ，不能判定全等，故③错误；
④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故④错误；
综上，错误的命题有①③④共3个．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的判定、平行四边形的判定及直角三角形全等的判定．
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据方差的意义求解即可，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【详解】
S 甲2=6000，S 乙2=480，
∴ S 乙2< S 甲2，
∴年人均收入比较均衡的村是乙，
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查方差的意义，属于基础题，比较简单，熟练掌握方差的意义是解题的关键． 5．B
解析：B
【分析】
连接AC 、CF ，如图，根据正方形的性质得∠ACD =45°，∠FCG =45°，AC =2，CF =32，则∠ACF =90°，再利用勾股定理计算出AF =25，然后根据直角三角形斜边上的中线求CH 的长．
【详解】
连接AC 、CF ，如图，
∵四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形，
∴∠ACD =45°，FCG =45°，AC =2BC =2，CF =2CE =32，
∴∠ACF =45°+45°=90°，
在Rt △ACF 中，AF =
()()22
232=25+， ∵H 是AF 的中点，
∴CH =12AF =5 ．
故选B ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质及勾股定理．
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到答案．
【详解】
解：一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线，剪下的直角三角形是由两条对角线分割成的4个直角三角形中的
一个，若该直角三角形是等腰直角三角形，则剪出的菱形为正方形，
所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形．
故选C．
【点睛】
本题考查了剪纸问题、通过折叠变换考查正方形的有关知识及学生的逻辑思维能力，解答此类题最好动手操作，易得出答案．
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
由矩形性质及G为中点，可得∠AGE=2∠ADE=2∠CED=∠AED，从而可得AE=AG，由矩形性质AB=CD=3，由勾股定理可得AE，再根据直角形的性质从而可求得DF的长．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形
∴∠DAB=∠ABC=∠ABE=90゜，AB=CD=3，AD∥BC
∵G点是DF的中点
∴AG是Rt△DAF斜边DF上的中线
∴AG=DG=1
DF
2
∴∠GAD=∠ADE
∴∠AGE=2∠ADE
∵AD∥BC
∴∠CED=∠ADE
∴∠AGE=2∠CED
∵∠AED=2∠CED
∴∠AED=∠AGE
∴AE=AG
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE
∴AG=
∴2
==
DF AG
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，勾股定理，矩形的性质，直角三角形斜边上中线的性质等知识，关键是得出∠AED=∠AGE．
8．C
解析：C
【分析】
根据图象可知进水的速度为5（L/min），再根据第10分钟时容器内水量为27.5L可得出水的速度，从而求出第12min时容器内水量，利用待定系数法求出4≤x≤12时，y与x之间的
函数关系式，再对各个选项逐一判断即可．
【详解】
解：由图象可知，进水的速度为：20÷4＝5（L/min），
故①说法正确；
出水的速度为：5−（27.5−20）÷（10−4）＝3.75（L/min），
第12min时容器内水量为：20＋（12−4）×（5−3.75）＝30（L），故③说法正确；
15÷3＝3（min），12＋（30−15）÷3.75＝16（min），
故当y＝15时，x＝3或x＝16，故说法④错误；
设4≤x≤12时，y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，
根据题意，得
420 1027.5
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得
5
4
15
k
b
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩
，所以4≤x≤12时，
y＝5
4
x＋15，故说法②正确．
所以正确说法的个数是3个．
故选：C．
【点睛】
此题考查了一次函数的应用，解题时首先正确理解题意，利用数形结合的方法即可解决问题．
二、填空题
9．x≥﹣9
【解析】
【分析】
由二次根式的非负性可得x+9≥0，即可求解．
【详解】
解：∵
∴x+9≥0，
∴x≥﹣9，
故答案为x≥﹣9．
【点睛】
)0
a≥的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．
10．A
解析：2．
【解析】
【分析】
根据周长先求出边长，由菱形的对角线平分且垂直求出它的另一条对角线的长，再根据面积公式求得面积．
【详解】
解：如图：
∵菱形ABCD 的周长等于8cm ，
∴AB =8÷4=2cm ，AC ⊥BD ，AO =CO ，BO =DO ，
∵AC=2，
∴AO =1，
∴BO 3
∴菱形的面积为332． 故答案为：232．
【点睛】
本题考查了菱形的四条边相等的性质，以及对角线互相垂直平分的性质，还考查了菱形面积的计算，对角线乘积的一半．
11．2或22【解析】
【分析】 2626边的长．
【详解】 26
第三边的长()()22622-=，
26
第三边的长()()226222+=
故答案为：2或22
【点睛】
本题考查了勾股定理，由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论．
12．A
解析：5
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半计算即可；
【详解】
∵四边形ABCD 时菱形，
∴AC BD ⊥，
∴90AOB ∠=︒，
∵E 为AB 的中点，10CD AB ==， ∴152OE AB ==； 故答案是5．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质和直角三角形的性质，准确分析计算是解题的关键． 13．1
【解析】
∵函数y=kx+3的图象经过点（3，6），
∴336k +=，解得：k=1.
故答案为：1.
14．A
解析：答案不唯一，例AC=BD 等
【分析】
连接AC 、BD ，先证明四边形ABCD 是平行四边形，再根据菱形的特点添加条件即可.
【详解】
连接AC ，
∵点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，
∴EF 是△ABC 的中位线，
∴EF ∥AC ，EF=12
AC ， 同理HG ∥AC ，HG=12
AC, ∴EF ∥HG ，EF=HG ，
∴四边形EFGH 是平行四边形，
连接BD,同理EH=FG,EF ∥FG ，
当AC=BD 时，四边形EFGH 是平行四边形，
故答案为：答案不唯一，例AC=BD 等.
此题考查三角形中位线性质，平行四边形的判定及性质，菱形的判定.
15．【分析】
设△BnAnAn+1的边长为an，根据勾股定理求出点M坐标，求出直线的解析式，得出∠AnOBn=30°，再结合等边三角形的性质及外角的性质即可得出
∠OBnAn=30°，从而得出AnBn=
解析：3
【分析】
设△B n A n A n+1的边长为a n，根据勾股定理求出点M坐标，求出直线的解析式，得出
∠A n OB n=30°，再结合等边三角形的性质及外角的性质即可得出∠OB n A n=30°，从而得出A n B n=OA n，列出部分a n的值，发现规律a n+1=2a n，依此规律结合等边三角形的性质即可得出结论.
【详解】
设△B n A n A n+1的边长为a n，点B1，B2，B3，…是直线y= kx上的第一象限内的点，
过A1作A1M⊥x轴交直线OB1于M点，
∵OA1＝1，
∴点M的横坐标为1，
∵∠MOA1=30°，
∴OM=2A1M
在Rt△OMA1中，由勾股定理（2A1M）2=A1M2+1
3
解得A1M
∴点M的坐标为(13
点M在y= kx上，
∴k3
∵∠A1OB1 = 30°，
又△B n A n A n+1为等边三角形，
∴∠B n A n A n+1 = 60°，
∴∠OB n A n = ∠B n A n A n+1 -∠B n OA n=30°，
∴A n B n = OA n，
∴a 1 =1，
a 2=1+1=2= 2a 1，
a 3= 1+a 1 +a 2=4= 2a 2，
a 4 = 1+a 1 +a 2十a 3 =8= 2a 3，
a n+1 = 2a n ，
a 5 =2a 4= 16， a 6 = 2a 5 = 32，a 7= 2a 6= 64，
∵△A 6B 6A 7为等边三角形，
∴点B 6的坐标为(a 7-12a 6a 7- 12a 6))， ∴点B
6的坐标为(48，
故答案为：
【点睛】
本题考查了一次函数的性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质，勾股定理，解题的关键是找出规律:a n+1=2a n 本题属于灵活题，难度较大，解决该题型题目时，根据等边三角形边的特征找出边的变化规律是关键.
16．14：25
【分析】
在中利用勾股定理计算出，根据折叠的性质得到，，设，则，，在中根据勾股定理计算出，则，利用三角形面积公式计算出，在中利用勾股定理计算出，利用三角形面积公式计算出，然后求出两面积的
解析：14：25
【分析】
在Rt BEC △中利用勾股定理计算出10AB =，根据折叠的性质得到5AD BD ==，EA EB =，设AE x =，则BE x =，8EC x =-，在Rt BEC △中根据勾股定理计算出254x =，则257844EC ，利用三角形面积公式计算出1172162244BCE S
BC CE ，在Rt BED △中利用勾股定理计算出222515()544
ED ，利用三角形面积公式计算出11157552248
BDE S BD DE ∆==⨯⨯=，然后求出两面积的比． 【详解】 解：在Rt BAC 中，6BC =，8AC =，
10AB ∴=，
把ABC ∆沿DE 使A 与B 重合，
AD BD ∴=，EA EB =，
152
BD AB ∴==， 设AE x =，则BE x =，8EC x =-，
在Rt BEC △中，2
22BE EC BC ，即222(8)6x x =-+， 254x ∴=
， 2578844EC x ， 1172162
244BCE S BC CE ， 在Rt BED △中，222BE ED BD ，
222515()544ED ， 11157552248
BDE S BD DE ∆∴==⨯⨯=， 2175::14:2548BCE BDE S S ∆∆∴=
=． 故答案为：14：25．
【点睛】
本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了勾股定理．
三、解答题
17．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】
（1）根据立方根以及二次根式的加减运算求解即可；
（2）根据二次根式的四则运算求解即可；
（3）根据二次根式的除法以及零指数幂的运算求解即可；
（4）根据平
解析：（1）3-+2）63）6；（4）4-
【分析】
（1）根据立方根以及二次根式的加减运算求解即可；
（2）根据二次根式的四则运算求解即可；
（3）根据二次根式的除法以及零指数幂的运算求解即可；
（4）根据平方差公式以及二次根式的加减运算，求解即可． 【详解】
解：（1）313=-+=-+
（2）6==；
（30(122116=⨯++=；
（4）1)514=---
【点睛】
此题考查了二次根式的四则运算，涉及了零指数幂、立方根以及平方差公式，解题的关键
是熟练掌握二次根式的有关运算．
18．（1）直角三角形，理由见解析；（2）原来的路线AC的长为千米．【分析】
（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【详解】
解：（1）△HBC是直角三角形，
理由是：在△
解析：（1）直角三角形，理由见解析；（2）原来的路线AC的长为25
6
千米．
【分析】
（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【详解】
解：（1）△HBC是直角三角形，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2=42+32=25，
BC2=25，
∴CH2+BH2=BC2，
∴△HBC是直角三角形且∠CHB=90°；
（2）设AC=AB=x千米，则AH=AB-BH=（x-3）千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-3，CH=4，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2，
∴x2=（x-3）2+42，
解这个方程，得x=25
6
，
答：原来的路线AC的长为25
6
千米．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理的逆定理和定理．19．（1）直角三角形，理由见解析；（2）5
【解析】
【分析】
（1）根据网格及勾股定理分别求出AB2、BC2、AC2的长，得出，再根据勾股定理的逆定理判断出三角形ABC的形状；
（2）判断出AB和AC
解析：（1）直角三角形，理由见解析；（2）5
【解析】
【分析】
（1）根据网格及勾股定理分别求出AB 2、BC 2、AC 2的长，得出222AB AC BC +=，再根据勾股定理的逆定理判断出三角形ABC 的形状；
（2）判断出AB 和AC 分别为底和高，利用公式直接计算出面积．
【详解】
解：（1）∵222125AB =+=，
2222420AC =+=，
2223425BC =+=，
222AB AC BC ∴+=，
ABC ∴为直角三角形；
（2）由（1）可知：AB AC ==
12ABC S
AB AC = 1
2
= 5=；
ABC ∴的面积为5．
【点睛】
本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，三角形的面积，充分利用网格是解题关键． 20．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据三角形中位线定理可得，结合已知条件，根据一组对边平行且相等即可证明四边形ADFC 是平行四边形；
（2）先证明是平行四边形，进而根据等角对等边可得，由（
解析：（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据三角形中位线定理可得12DE AC =
，结合已知条件，根据一组对边平行且相等即可证明四边形ADFC 是平行四边形；
（2）先证明CDBF 是平行四边形，进而根据等角对等边可得AC BC =，由（1）可知AC DF =，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证．
【详解】
（1）∵D ，E 分别是AB ，BC 的中点，
∴DE //AC 且12
DE AC =
， ∵DE FE =，
∴DF //AC 且DF AC =，
∴四边形ADFC 为平行四边形．
（2）连接BF ，CD ，如图，
由（1）知四边形ADFC为平行四边形，
=，
∴CF//AB且CF AD
D是AB的中点，所以AD BD
=，
∴CF//DB且=
CF BD，
∴四边形BFCD为平行四边形，
∵∠A＝∠B，
∴AC＝BC，
由（1）知，DF＝AC，
∴DF＝BC，
∴四边形BFCD为矩形．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质与判定，矩形的判定定理，掌握以上性质与定理是解题的关键．
21．（1），；（2）
【解析】
【分析】
（1）化简时，根据范例确定a，b值为3和1，化简时，根据范例确定a，b值为4和5，再根据范例求解.（2）化简时，根据范例确定a，b值为15和4，再根据范例求
解析：（131，2+5；（2152
【解析】
【分析】
（1423
-时，根据范例确定a，b值为3和19+45
a，b值为4和5，再根据范例求解.（219415
-a，b值为15和4，再根据范例求解.
【详解】
解：（1423
-m=4，n=3，由于3+1=4，3×1=3
即22
+=313
(3)(1)4
=
∴
11；
m＝9，n＝20，由于4+5＝9，4×5＝20
即229
+==
∴
2
=
（2m＝19，n＝60，由于15+4＝19，15×4＝60
即2219
+==
∴
22
=
【点睛】
本题考查了二次根式的化简，根据题中的范例把根号内的式子整理成完全平方的形式是解答此题的关键.
22．（1）y＝﹣0.2x+48；（2）该列车全部车厢的总费用少于45万元，则至少挂A型车厢16节．
【分析】
（1）先变换单位，设用A型车厢x节，则用B型车厢（60﹣x）节，总运费为y万元，根据题意列出
解析：（1）y＝﹣0.2x+48；（2）该列车全部车厢的总费用少于45万元，则至少挂A型车厢16节．
【分析】
（1）先变换单位，设用A型车厢x节，则用B型车厢（60﹣x）节，总运费为y万元，根据题意列出函数关系式；
（2）根据用该列车全部车厢的总费用少于45万元列出不等式求解即可．
【详解】
解：（1）6000元＝0.6万元，8000元＝0.8万元，
设用A型车厢x节，则用B型车厢（60﹣x）节，总运费为y万元，
依题意，得y＝0.6x+0.8（60﹣x）＝﹣0.2x+48；
（2）由题意，得﹣0.2x+48＜45，
解得：x＞15，
∵x为正整数，
∴x的最小值为16，
答：该列车全部车厢的总费用少于45万元，则至少挂A型车厢16节．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，关键是根据题意列出函数关系式．
23．（1）（2）（3）2或或4
【分析】
（1）由勾股定理可求出答案；
（2）延长AF，过点D作射线AF的垂线，垂足为H，设AH＝DH＝x，在
Rt△AHD中，得出x2+x2＝42，解方程
解析：（1）（2）（3）2或或4
【分析】
（1）由勾股定理可求出答案；
（2）延长AF，过点D作射线AF的垂线，垂足为H，设AH＝DH＝x，在Rt△AHD中，得出x2+x2＝42，解方程求出x即可得出答案；
（3）分AF＝DF，AF＝AD，AD＝DF三种情况，由正方形的性质及直角三角形的性质可得出答案．
【详解】
解：（1）当t＝1时，AE＝1，
∵四边形AEFG是正方形，
∴AG＝FG＝AE＝1，∠G＝90°，
∴BF＝＝＝，
（2）如图1，延长AF，过点D作射线AF的垂线，垂足为H，
∵四边形AGFE是正方形，
∴AE＝EF，∠AEF＝90°，
∴∠EAF＝45°，
∵DH⊥AH，
∴∠AHD＝90°，∠ADH＝45°＝∠EAF，
∴AH＝DH，
设AH＝DH＝x，
∵在Rt△AHD中，∠AHD＝90°，
∴x2+x2＝42，
解得x1＝﹣2（舍去），x2＝2，
∴D、F两点之间的最小距离为2；
（3）当AF＝DF时，由（2）知，点F与点H重合，过H作HK⊥AD于K，如图2，
∵AH ＝DH ，HK ⊥AD ，
∴AK ＝
＝2， ∴t ＝2．
当AF ＝AD ＝4时，设AE ＝EF ＝x ，
∵在Rt △AEF 中，∠AEF ＝90°，
∴x 2+x 2＝42，
解得x 1＝﹣2
（舍去），x 2＝2， ∴AE ＝2
， 即t ＝2．
当AD ＝DF ＝4时，点E 与D 重合，t ＝4， 综上所述，t 为2或2
或4． 【点睛】
本题是四边形综合题，考查了勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，学会用分类讨论的思想思考问题．
24．（1），；（2）存在，；（3）或
【解析】
【分析】
（1）根据一次函数平移的方法求出直线l 对应的函数表达式，再联立两个直线解析式求出交点坐标；
（2）作轴于M ，轴于N ，利用，得到F 点的横坐标，再代
解析：（1）23y x =-，()4,5；（2）存在，()4,11F -；（3）()4,0P 或()4,0-
【解析】
【分析】
（1）根据一次函数平移的方法求出直线l 对应的函数表达式，再联立两个直线解析式求出交点坐标；
（2）作EM y ⊥轴于M ，FN y ⊥轴于N ，利用()EBM FBN AAS ≌，得到F 点的横坐标，再代入解析式求出F 点纵坐标即可；
（3）在y 轴正半轴上取一点Q ，使3OQ OD ==，利用等腰三角形的性质得
PBO BPQ ∠=∠，即可求出5PQ BQ ==，再由勾股定理求出OP 的长，得到点P 坐标．
【详解】
解：（1）正比例函数2y x =的图像沿y 轴向下平移3个单位长度，
得23y x =-， 联立两个直线解析式，得38423
y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，解得45x y =⎧⎨=⎩， ∴()4,5E ，
故答案是：23y x =-，()4,5；
（2）如图，作EM y ⊥轴于M ，FN y ⊥轴于N ，
∴4EM =，90EMB FNB ∠=∠=︒，
∵BE BF =，EBM FBN ∠=∠，
∴()EBM FBN AAS ≌，
∴4FN EM ==，
在384
y x =-+中，当4x =-时，11y =， ∴()4,11F -；
（3）易知()0,8B ，()0,3D -，
∴8OB =，3OD =，
如图，在y 轴正半轴上取一点Q ，使3OQ OD ==，
∵90POB ∠=︒，OQ OD =，
∴PQ PD =，
∴PDO PQO PBO BPQ ∠=∠=∠+∠，
∵2PDO PBO ∠=∠，
∴PBO BPQ ∠=∠，
∴5PQ BQ ==，
∴由勾股定理得：4OP =，
∴()4,0P 或()4,0-．
【点睛】
本题考查一次函数综合，解题的关键是掌握一次函数解析式的求法，以及利用数形结合思想解决一次函数与几何综合问题．
25．（1）点的坐标为；（2）；（3），
，，
【分析】
（1）过点作，由“”可证，可得，，即可求点坐标；
（2）由（1）可知,设OP=x ，则可得M 点坐标为（4+x ，x ），由直线OB 解析式可得N （x ，
解析：（1）点M 的坐标为(51)，；（2）()44y x =-()04x <<；（3）(
)224160Q x x ++-，， ()234160Q x x +--， ，()24160Q x x +-，， ()25160(224)Q x x x --<<，
【分析】
（1）过点M 作ME OA ⊥，由“AAS ”可证COP PEM ∆≅∆，可得4CO PE ==，1OP ME ==，即可求点M 坐标；
（2）由（1）可知COP PEM ∆≅∆,设OP=x ，则可得M 点坐标为（4+x ，x ），由直线OB 解析式可得N （x ，x ），即可知MN=4，由一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形即可证明四边形BCNM 是平行四边形，进而可求y 与x 的函数关系式；
（3）首先画出符合要求的点Q 的图形，共分三种情况，第一种情况：当MN 为底边时，第二种情况：当M 为顶点MN 为腰时，第三种情况：当N 为顶点MN 为腰时，然后根据图形特征结合勾股定理求出各种情况点的坐标即可解答．
【详解】
解：（1）如图，过点M 作ME OA ⊥，
CP PM ⊥
90CPO MPE ∴∠+∠=︒，且90CPO PCO ∠+∠=︒
PCO MPE ∴∠=∠，且CP PM =，90COP PEM ∠=∠=︒
()COP PEM AAS ∴∆≅∆
4CO PE ∴==，1OP ME ==
5OE ∴=
∴点M 坐标为(5,1)
故答案为(5,1)
（2）由（1）可知COP PEM ∆≅∆
4CO PE ∴==，OP ME x ==
∴点M 坐标为(4,)x x +
四边形OABC 是边长为4的正方形，
∴点(4,4)B
∴直线BO 的解析式为：y x =
//MN AO ，交BO 于点N ，
∴点N 坐标为(,)x x
4MN BC ∴==，且//BC MN
∴四边形BCNM 是平行四边形
4(4)y x ∴=- (04)x <<
（3）在x 轴正半轴上存在点Q ，使得QMN ∆是等腰三角形，
此时点Q 的坐标为：1(2,0)Q x +，22(416Q x x +--，0)，23(416Q x x ++-，240)(16Q x x +-，250)(16Q x x --，0)其中(04)x <<，
理由：当（2）可知，(04)OP x x =<<，4MN PE ==，//MN x 轴，所以共分为以下几种请：
第一种情况：当MN 为底边时，作MN 的垂直平分线，与x 轴的交点为1Q ，如图2所示
111222
PQ PE MN ===， 12OQ x ∴=+，
1(2,0)Q x ∴+
第二种情况：如图3所示，
当M 为顶点MN 为腰时，以M 为圆心，MN 的长为半径画弧交x 轴于点2Q 、3Q ，连接2MQ 、3MQ ，
则234MQ MQ ==， 2222Q E MQ ME ∴=-， 222416OQ OE Q E x x ∴=-=+--，
22(416Q x x ∴+--，0)，
32Q E Q E =，
233416OQ OE Q E x x =+=++-，
23(416Q x x ∴++-，0)；
第三种情况，当以N 为顶点、MN 为腰时，以N 为圆心，MN 长为半径画圆弧交x 轴正半轴于点4Q ，
当022x <<时，如图4所示，
则2224416PQ NQ NP x --
24416OQ OP PQ x x ∴=+=-
即24(16Q x x -0)．
当2x =
则4ON =，此时Q 点与O 点重合，舍去；
当224x <时，如图5，以N 为圆心，MN 为半径画弧，与x 轴的交点为4Q ，5Q ．
4Q 的坐标为：24(16Q x x -0)．
2516OQ x x =- 25(16Q x x ∴-0)
所以，综上所述，1(2,0)Q x +，22(416Q x x +-0)，23(416Q x x +-，240)(16Q x x -250)(16Q x x -0)使QMN ∆是等腰三角形．
【点睛】
本题考查四边形综合题，解题的关键是明确题意，画出相应的图象，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
26．（1）见解析；（2）6+3；（3）见解析
【分析】
（1）证明△BEC ≌△AFC （SAS ），可得结论．
（2）△AEF 的周长＝AE+AF+EF ＝AE+BE+EF ＝AB+EF ＝6+EF ，推出EF 的值最 解析：（1）见解析；（2）33）见解析
【分析】
（1）证明△BEC ≌△AFC （SAS ），可得结论．
（2）△AEF 的周长＝AE +AF +EF ＝AE +BE +EF ＝AB +EF ＝6+EF ，推出EF 的值最小时，△AEF 的周长最小，因为△ECF 是等边三角形，推出EF ＝CE ，推出当CE ⊥AB 时，CE 的值最小． （3）求出BD ＝3BM ＝DN ＝3BM ＝MN ＝DN ＝3
【详解】
（1）证明：∵△ABC ，△ACD 是全等的等边三角形，
∴AC ＝BC ，∠ABC ＝∠DAC ＝∠BCA ＝60°，
∵AF ＝BE ，在△CBE 和△CAF 中，
CB CA CBE CAF BE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△BEC ≌△AFC （SAS ），
∴CE ＝CF ，∠BCE ＝∠ACF ，
∴∠BCE +∠ACE ＝∠ACF +∠ACE ，
∴∠ECF ＝∠BCA ＝60°，
∴△CEF 是等边三角形．
（2）解：∵△AEF 的周长＝AE +AF +EF ＝AE +BE +EF ＝AB +EF ＝6+EF ，
∴EF 的值最小时，△AEF 的周长最小，
∵△ECF 是等边三角形，
∴EF ＝CE ，
∴当CE ⊥AB 时，CE 的值最小，
∵三角形ABC 是等边三角形，
∴∠ABC =60°，
∴∠BCE =30°，
∴BE =132
BC =， ∴CE
=
∴△AEF 的周长的最小值为
故答案为：
（3）证明：∵△ABC ，△ACD 是全等的等边三角形，AC ⊥BD
∴AO ＝CO ，BO ＝DO ，∠ABO ＝12∠ABC ＝30°
∵BE ＝3，AB ＝AC ＝6，
∴点E 为AB 中点，点F 为AD 中点，
∴AO ＝1
2AB ＝3，
∴BO
=
∴BD ＝
∵△ABC 是等边三角形，BE ＝AE ＝3，
∴CE ⊥AB ，
∴BM ＝2EM ， ∴222132BM BM ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ∴BM ＝
同理可得DN ＝
∴MN ＝BD ﹣BM ﹣DN ＝
∴BM ＝MN ＝DN ．
【点睛】
此题考查了三角形全等，勾股定理，线段最值问题，解题的关键是根据题意找到题目中边角之间的关系．。