高三数学9月月考试题 文含解析

卜人入州八九几市潮王学校第四2021届高
三数学9月月考试题文〔含解析〕
第I 卷〔选择题，一共60分〕
一、选择题：本小题一共12题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的
{}{|32,},6,8,10,12,14A x x n n N B ==+∈=，那么集合A B ⋂中的元素个数为()
A.5
B.4
C.3
D.2
【答案】D 【解析】 由得
A B ⋂中的元素均为偶数，n ∴应为取偶数，故{}8,14A B ⋂=，应选D. 1i
z i
+=
〔i 是虚数单位〕在复平面内对应的点在〔〕 A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【答案】D 【解析】 试题分析：1(1)1i i i
z
i i i i
++=
==-⨯，对应点的坐标为(1,1)-，在第四象限内. 考点：1.复数的计算；2.复数与点的对应关系. 3.“假设αβ>，那么sin sin αβ>〕
A.假设αβ<，那么sin sin αβ<
B.假设sin sin αβ>，那么αβ>
C.假设α
β≤，那么sin sin αβ<
D.假设sin sin α
β
≤，那么α
β≤
【答案】D 【解析】 【分析】
A ，那么B
B ，那么非A ；
所以假设αβ>，那么sin sin αβ>sin sin αβ≤，那么αβ≤;
答案选D
,x y 满足约束条件0
2x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩
，那么24x y z =⨯的最大值为〔〕 A.1 B.4
C.8
D.16
【答案】D 【解析】 【分析】 把24x y z
=⨯化简为22x y z +=，然后令2h x y =+，然后作图，找出可行域，即可根据图象找出答案.
【详解】
作图可得，可行域为阴影局部，对于24x y z =⨯，可化简为22x y z +=，
令2h
x y =+，明显地，当直线2h x y =+过()0,2时，
即当24x y +=时，h 取最大值4，那么24x y z =⨯的最大值为16.
答案选D
【点睛】此题考察线性规划的求最值问题，属于根底题 5.“0a b >>〞是“22a a b b +>+〞的〔〕
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】 【分析】
先考虑充分性，再考虑必要性得解. 【详解】先考虑充分性.
2222)()a a b b a b a b +--=-+-（,
=))()=()(1)a b
a b a b a b a b +-+--++（（， 因为0a b >>，所以()(1)0a b a b -++>， 所以“0a b >>〞是“22a a b b +>+〞的充分条件.
再考虑必要性.
2222)()a a b b a b a b +--=-+-（,
=))()=()(1)0a b
a b a b a b a b +-+--++>（（， 不能推出0a b >>.如：a=-3,b=-1. 所以“0a b >>〞是“22a a b b +>+〞的非必要条件. 所以“0a b >>〞是“22a a b b +>+〞的充分不必要条件.
应选：A
【点睛】此题主要考察充分必要条件的判断，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.
()cos()(0f x A x A ωϕ=+>，0>ω，||)2
π
ϕ<
的图象如下列图，假设函数()()1h x f x =+的两个不同
零点分别为1x ，2x ，那么12||x x -的最小值为〔〕 A.
23
π
B.
2
π C.
43
π
D.π
【答案】A 【解析】
根据图象求三角函数解析式，再根据余弦函数性质得零点，最后求12||x x -的最小值. 【详解】由图象可知，2A =，
214362
T πππ=-=，2T π∴=，1ω=，()2cos()f x x ϕ∴=+， ()2cos()266f ππϕ=+=，且1||2ϕπ<，6πϕ∴=-，()2cos()6
f x x π
=-，
令()()12cos()106h x f x x π
=+=-+=，可得1
cos()62
x π-=-， 解可得，226
3x k π
ππ-
=
+，或者4263
x k k Z ππ
π-=+∈，， 526
x k π
π=
+，或者322
x k k Z π
π=
+∈，， 那么12||x x -的最小值为352263
πππ-=， 应选：
A ．
【点睛】此题考察三角函数解析式以及余弦函数性质，考察根本分析求解才能，属中档题.
ABCD 中，2,BC AD DE EC ==，设,BA a BC b ==，那么BE =〔〕 A.
11
24a b + B.
15
36a b + C.2233
a b + D.1324
a b + 【答案】D 【解析】 【分析】
利用向量的三角形法那么得出
AC ，进而求出CE ，最后利用BE BC CE =+，即可求解
【详解】
AC AB BC a b =+=-+，AC AD DC -=22
b b
a b a =-+-
=-+， 224CD a b CE ==-，24a b BE BC CE b =+=+-
1
32
4a b =+， 答案选D
【点睛】此题考察向量的线性运算，属于根底题
22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>上存在两点,M N 关于直线2310x y --=对称，且线段MN 中点的纵
坐标为
2
3
，那么椭圆C 的离心率是() A.
13
C.
23
【答案】B 【解析】 【分析】
由于两点,M N 关于直线2310x y --=对称，且MN 中点的纵坐标为23
，可求出中点，且直线MN
与直线2310x y --=垂直，利用点差法化简即可得离心率
【详解】由MN 中点的纵坐标为
23，且中点必在直线2310x y --=上，可得中点坐标为32,23⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 设直线MN 的斜率为k ，直线MN 与直线2310x y --=垂直，那么有3
2
k =-
， 设()11,M x y ，()22,N x y ，得22
112222
2222
11
x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，利用点差法可得2239
24b k a =-=-⋅，得222
3
b a =，
那么e ==，答案选B
【点睛】此题考察点差法和离心率的e =的运用，属于根底题
()2
e e cos ()x
x x f x x
--=
的局部图象大致是
A. B. C.
D.
【答案】B 【解析】 【分析】
先判断函数()f x 的奇偶性，再根据特殊点即可判断出()f x 的图象。

【详解】因为函数()f x 的定义域为
{}0x x ≠，()()f x f x -=-，函数为奇函数，其图象关于原点对
称，所以C 、D 不正确；又因为
2
()
()0e e f ππππ
---=
<，所以A 不正确，应选B 。

【点睛】此题主要考察利用函数的性质识别函数的图象。

10.九章算术中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马〞现有一阳马，其正视图和侧视图是如下列图的直角三角形.假设该阳马的顶点都在同一个球面上，那么该球的外表积为〔〕 6π
B.6π
C.9π
D.24π
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意，作图，利用补型法可得该四棱锥可补型成长方体，然后利用公式可求出球的直径,进而可求解球的外表积
【详解】
如图，该几何体为四棱锥P ABCD -，
ABCD 为矩形，其中PD ⊥平面ABCD ，
1,2,1AB AD PD ===，那么该阳马的外接球的直径是以,,DA DC DP 为相邻棱的长方体的对角线
114=6PB =++2
6462ππ
⎛⨯= ⎝⎭
，应选B
【点睛】此题考察球的外表积问题，结合长方体的外接球直径为其对角线长即可求解，属于根底题 11.中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制大衍历中创造了一种二次不等距插值算法:假设函数
()y f x =在123,,x x x x x x ===()123x x x <<处的函数值分别为
()()()112233,,y f x y f x y f x ===，那么在区间[]13,x x 上()f x 可以用二次函数来近似代
替:
()()()11121f x y k x x k x x =+-+-()2x x -，其中32211
12213231
,,y y y y k k k k k x x x x x x ---=
==---.
假设令120,2
x x π
==
，3
x π
=，请根据上述算法，估算sin
5
π
的值是() A.
1425
B.
35
C.
1625
D.
1725
【答案】C 【解析】 【分析】 设
()sin y f x x ==，利用120,2
x x π
==
，3
x π
=然后分别求出
1230,1,0y y y ===，进而代入
32211
12213231
,,y y y y k k k k k x x x x x x ---=
==---，求出k ，最后即可求解sin
5
π
的值 【详解】设
()sin y f x x ==，120,2
x x π
==
，3
x π
=，那么有
1230,1,0y y y ===，
那么
110
2
2
k π
π
-=
=-，
01
2
2
k π
π
π-=
=-
-
，2
24
k π=-
，
由
()()()()21112122
4
4
f x y k x x k x x x x x x π
π
≈+-+--=-
+
，
可得22
4
4
sin x
x x π
π
≈-
+
16
sin
5
25
π
≈
，答案选C 【点睛】此题考察函数近似值的求解，代入运算即可，属于难题
11()ln(1)1
x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，假设函数()()g x f x x a =-+只一个零点，那么a 的取值范围是
A.{}(0]
2-∞，
B.{}[0)
2+∞-，
C.(0]-∞，
D.[0)+∞，
【答案】A 【解析】 【分析】
先转化为y=f(x)与y=x-a 只有一个交点，再分析y=x-a 与1y (1)x e x -=≤只有一个交点，得a≤0，再分析
y=ln(x-1)(x>1)与y=x-a 只有一个交点，即得a=2. 【详解】因为g(x)=f 〔x 〕-x+a 只有一个零点， 所以y=f(x)与y=x-a 只有一个交点， 作出函数y=f(x)与y=x-a 的图像， y=x-a 与1y
(1)x e x -=≤只有一个交点，那么-a≥0，即a≤0，
y=ln(x-1)(x>1)与y=x-a 只有一个交点，它们那么相切，
因为
11,=12,2,011
y x x x =
=--'令，则故切点为（）， 所以0=2-a,即a=2, 综上所述，a 的取值范围为(]{}02-∞⋃，
. 故答案为：A
【点睛】〔1〕此题主要考察零点问题，考察直线和曲线的位置关系，考察导数的几何意义，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理才能.〔2〕解答此题关键有两点，其一是准确画出y=f(x)与y=x-a 的图像，其二是分析y=x-a 与1y (1)x e x -=≤只有一个交点，和y=ln(x-1)(x>1)与y=x-a 只有一个交点得到a 的取
值范围.
第二卷〔非选择题，一共90分〕
本卷包括必考题和选考题两局部.第13～21题为必考题，每个考生都必须答题.第22～23题为选考题，考生根据要求答题.
二、填空题：本小题一共4题，每一小题5分
ABC ∆中，假设1
sin cos sin cos 2
a B C c B A
b +=，且a b >，那么角B =______.
【答案】
6
π 【解析】 【分析】
利用正弦定理可求得
1
sin sin cos sin sin cos sin 2A B C C B A B
+=，然后化简可得
1
sin cos sin cos 2
A C C A +=
，进而利用三角形的关系可以求解 【详解】1
sin cos sin cos 2
a B C c B A
b +=
，两边同时除以2R ，由正弦定理可得， 1
sin sin cos sin sin cos sin 2
A B C C B A B +=，由于sin 0B ≠，两边同时除以sin B 可得
1sin cos sin cos 2A C C A +=
，化简得()1sin sin 2
A C
B +==， 又由a b >，B 为锐角，可得角6
B π
=
， 答案：
6
π 【点睛】此题考察正弦定理的应用，难点在于确定角B 为锐角，属于根底题 14.执行如下列图的程序框图，那么输出S 的值是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】
根据程序框图，一步步计算即可求解
【详解】①1i
=，3
27
3log 2
i s ≤−−
→=+=−−→2i =
②2i
=，3
27
log 2i s ≤−−→=
+−−→3i =
③3i
=，3
227
log log 42
i s ≤−−→=
+=−−→4i = ④4i
=，3
2log 42i s >−−
→==，输出2s = 【点睛】此题考察程序框图，注意每一步运行成立的条件即可，属于根底题
15.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且EF =如下四个结论：
AC BE ①⊥；//EF ②平面ABCD ；
③三棱锥A BEF -的体积为定值；④异面直线,AE BF 所成的角为定值，
其中正确结论的序号是______． 【答案】①②③
【解析】 【分析】
对于①，可由线面垂直证两线垂直；对于②，可由线面平行的定义证明线面平行；对于③，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④，可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值． 【详解】对于①，由1,AC BD AC BB ⊥⊥，可得AC ⊥面11DD BB ，故可得出AC BE ⊥
对于②，由正方体
1111ABCD A B C D -的两个底面平行，EF 在平面1111D C B A 内，故EF 与平面
ABCD 无公一共点，故有//EF 平面ABCD
对于③，EF 为定值，B 到EF 间隔为定值，所以三角形BEF 的面积是定值，又因为
A 点到面
11DD BB 间隔是定值，故可得三棱锥A BEF -
对于④，由图知，当F 与1B 重合时，此时E 与上底面中心为O 重合，那么两异面直线所成的角是
1A AO ∠，当E 与1D 重合时，此时点F 与O 重合，那么两异面直线所成的角是1OBC ∠，此二角不相
等，故异面直线
,AE BF
综上知①②③正确，故答案为①②③
()211
x x f x x --=
+，()1
ln x g x e x a -=--+对任意的[]11,3x ∈，[]21,3x ∈恒有()()12f x g x ≥成立，那么a 的取值范围是_____． 【答案】12
a ≤
【解析】 【分析】
利用及函数的单调性求解两个函数的最值，然后结合条件列出不等式求解a 的范围即可
【详解】
()21
1
x x f x x --=
+1131x x =++-+231≥-=-，当且仅当0x =时取等号，因为[]11,3x ∈，所以，由函数的单调性可得函数的最小值为：()1
12
f =-
，
()1ln x g x e x a -=--+对任意的[]21,3x ∈，求导可得，在[]1,3x ∈上，()'0g x <，所以，该函数
是减函数，所以函数的最大值为：()11g
a =-+，
函数
()211
x x f x x --=
+，()1
ln x g x e x a -=--+对任意的[]11,3x ∈，[]21,3x ∈恒有()()12f x g x ≥成立，可得1
12
a -
≥-+，12a ≤，
答案：1
2
a
≤
【点睛】此题考察利用函数的单调性求最值以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立问题转化为求出函数的最值问题是解题的关键.
三、解答题一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明，演算步骤或者证明过程.
n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，22S =，36S =-.
〔I 〕求
{}n a 的通项公式；
〔Ⅱ〕设数列n
n b na =，求{}n b 的前n 项和n T .
【答案】(I)(2)n
n a =-(Ⅱ)1(31)(2)2
99
n n n T ++-=--
【解析】 【分析】
〔I 〕根据求出1,a q ，即可求出
{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕利用错位相减法求{}n b 的前n 项和n
T
.
【详解】解：〔I 〕设{}n a 的公比为q ，由题意()12
1
(1)216a q a q q +=⎧⎪
⎨++=-⎪⎩， 解得2q =-，12a =-，故(2)n n a =-.
〔Ⅱ〕(2)n n
n b na n ==-，
123(2)2(2)3(2)(2)n n T n =-+⋅-+⋅-++-，
23412(2)2(2)3(2)(2)n n T n +-=-+⋅-+⋅-+
+-，
两式相减得12313(2)(2)(2)(2)(2)n n n
T n +=-+-+-++---，
121(2)3(2)1(2)
n n n T n +⎡⎤---⎣⎦
=
----，
1(31)(2)2
99
n n n T ++-=--.
【点睛】此题主要考察等比数列通项的求法，考察错位相减法求和，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.
f (x
21cos cos 2222
x x x -+.
〔I 〕求函数f (x )的单调递减区间；
〔II 〕假设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，f (A )=
1
2
，a
sin B =2sin C ，求c . 【答案】〔Ⅰ〕25[
2,2]33
k k ππ
ππ++，k Z ∈ 〔II 〕1c = 【解析】 【分析】
(1)运用二倍角公式和辅助角公式可将函数化为
()sin 6f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，再写出单调区间；〔2〕由
f (A )=
12，可求3
A π
=，结合余弦定理即可解决。

【详解】〔Ⅰ〕
(
)1
cos 2
f x x x =
-sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
由
226
k x π
π
π+≤-
322
k π
π≤
+，k Z ∈，
得223k x ππ+≤523
k ππ≤+，k Z ∈
∴函数
()f x 的单调递减区间为252,233k k ππππ⎡⎤++⎢
⎥⎣⎦
，k Z ∈
〔II 〕∵
()1sin 62f A A π⎛
⎫=-=
⎪⎝
⎭，
()0,A π∈，∴3
A π
=
∵sin 2sin B C =，∴由正弦定理sin sin b c B C
=
，得2b c =
又由余弦定理2
222cos a b c bc A =+-，a =222
13442
c c c =+-⨯
. 解得1c =
【点睛】此题考察三角恒等变换及正、余弦定理解三角形，属于根底题。

19.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面
ABCD ,//CD AB ,AD AB ⊥,AD =,11
122
CD PD AB PA ==
==,点E 、F 分别为AB 、AP 的中点.
﹙1﹚求证:平面//PBC 平面EFD ； ﹙2﹚求三棱锥P EFD -的体积.
【答案】〔1〕证明见解析；﹙2﹚
12
. 【解析】 【分析】
〔1〕先证明//DE 平面PBC ，//EF
平面PBC ，再利用面面平行的断定定理，即可证明；
〔2〕利用等体积法，可得P EFD
E PFD V V --=，利用sin AD APD PA ∠==1
=3
P EFD E PFD PFD V V S AE --∆=⨯⨯
【详解】﹙1﹚由题意知:点E 是AB 的中点,//CD AB 且1
2
CD AB =
, 所以CD
BE =
,所以四边形BCDE 是平行四边形,那么//DE BC .
DE ⊄平面PBC ,BC ⊂平面PBC ,所以//DE 平面PBC .
又因为E 、F 分别为
AB 、AP 的中点,所以//EF PB .
EF ⊄平面PBC ,PB ⊂平面PBC ,
所以,//EF
平面PBC .
EF DE E ⋂=,所以平面//PBC 平面EFD .
〔2〕解法一：利用P EFD E PFD V V --=
因为平面PAD ⊥平面ABCD ,
平面PAD
平面
ABCD AD =，EA ⊂平面ABCD,EA AD ⊥,所以，EA ⊥平面ABCD .
所以，EA 的长即是点E 到平面PFD 的间隔.
在Rt ADP ∆中，sin AD APD PA ∠=
=
所以，11sin 112224
PFD
S
PF PD APD ∆=⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯=
,
所以1=312
P EFD
E PFD PFD V
V S AE --∆=⨯⨯=
. 解法二：利用P EFD P ADE F ADE V V V ---=-.
11
1222ADE S AD AE ∆=⨯⨯==
.
111132322=⨯-⨯12
=
. 【点睛】此题考察面面平行的证明和等体积法的应用，难点在于利用P EFD E PFD V V --=进展求解体积，属于
中档题
xOy 中，点A ，B 的坐标分别为()2,0-，()2,0．直线AP ，BP 相交于点P ，且它们的斜率之积是
1
4
-
．记点P 的轨迹为Γ． 〔Ⅰ〕求Γ的方程． 〔Ⅱ〕直线
AP ，BP 分别交直线:4l x =于点M ，N
，轨迹Γ在点P 处的切线与线段MN 交于点
Q ，求
MQ NQ
的值．
【答案】〔1〕2
21(2)4
x y x +=≠〔2〕1
【解析】
试题分析：〔I 〕设出P 坐标为
(),x y ，求出直线AP 的斜率和直线BP 的斜率，利用斜率成绩为14
-
，整理即可得出曲线的方程；〔II 〕设出P 坐标，得出
AP ，BP 的方程，进一步求出,M N 点的纵坐标，写
出椭圆在P 的切线方程，由判别式等于0得到过P 的斜率〔用P 的坐标表示〕，代入切线方程，求得点Q 的
纵坐标，设MQ QN λ=，转化为坐标关键，即可求出λ，得出
MQ NQ
的值．
试题解析：解法一：〔Ⅰ〕设点P 坐标为(),x y ，那么直线AP 的斜率2
AP
y
k
x =
+〔2x ≠-〕；直线BP 的斜率2BP
y
k x =
-〔2x ≠〕． 由有1224
y y x x ⨯=-+-〔2x ≠±〕，
化简得点P 的轨迹Γ的方程为2
214
x y +=〔2x ≠±〕．
〔Ⅱ〕设()00,P x y 〔02x ≠±〕，那么22
0014
x y +=．
直线
AP 的方程为
()0022y y x x =
++，令4x =，得点M 纵坐标为0062M y
y x =+； 直线BP 的方程为()0
022
y y x x =
--，令4x =，得点N 纵坐标为0
022
N y y x =
-； 设在点P 处的切线方程为
()00y y k x x -=-，
由()0022,{
44,
y k x x y x y =-++=得
(
)
()()2
220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=．
由0∆
=，得()
()
()2
2
2
2000064161410k
y kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦
，
整理得
222
20000214y kx y k x k -+=+．
将(
)2
222
00
00
1,414x y x y =-=-代入上式并整理得2
00202x y k ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，解得004x k y =-，
所以切线方程为
()0
000
4x y y x x y -=-
-．
令4x
=得，点Q 纵坐标为()()22
000000
000000
441441444Q x x x y x x x y y y y y y ---+-=-
===
．
设MQ
QN λ=，所以()
Q M N Q
y y y y λ-=-，所以
00
000000162122
x y y x y x x y λ⎛⎫---=- ⎪+-⎝⎭ 所以()()()()()
()
22000000000012621222x x y y x x y x y x λ-+----=+-．
将220
14x y =-
代入上式，002+
(2+)22
x x
λ-=-，解得1λ=，即
1MQ NQ =． 解法二：〔Ⅰ〕同解法一．
〔Ⅱ〕设()00,P x y 〔02x ≠±〕，那么2
2
0014
x y +=．
直线
AP 的方程为()0022y y x x =
++，令4x =，得点M 纵坐标为0062M y
y x =+； 直线BP 的方程为()0
022
y y x x =
--，令4x =，得点N 纵坐标为0
022
N y y x =
-； 设在点P 处的切线方程为
()00y y k x x -=-，
由()0022,{
44,
y k x x y x y =-++=得
(
)
()()2
220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=．
由0∆
=，得()()
()222
2000064161410k
y kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦
， 整理得
222
20000214y kx y k x k -+=+．
将(
)2
222
00
00
1,414x y x y =-=-代入上式并整理得2
00202x y k ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，解得004x k y =-，
所以切线方程为
()0
000
4x y y x x y -=-
-． 令4x
=得，点Q 纵坐标为()()22
000000
000000
441441444Q x x x y x x x y y y y y y ---+-=-
===
．
所以
()()0000000
22
00000
8181621222244M N Q x y x y y y x y y y x x x y y ---+=
+====+---，
所以Q 为线段MN 的中点，即
1MQ NQ
=．
考点：椭圆的HY 方程及其几何性质；直线与椭圆的位置关系的应用．
【方法点晴】此题主要考察了椭圆的HY 方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等根底知识，着重考察了推理论证才能、运算求解才能，考察数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想的应用，试题有一定的难度，属于难题，此题的解答中，设出P 坐标，得出AP ，BP 的方程，设MQ QN λ=，转化为坐
标关键是解答的关键．
()x f x e a =-，()(1)g x a x =-，〔常数a R ∈且0a ≠〕.
〔Ⅰ〕当()g x 与()f x 的图象相切时，求a 的值； 〔Ⅱ〕设()()()h x f x g x =
⋅，假设()h x 存在极值，求a 的取值范围.
【答案】(I)a
e =(Ⅱ)1,0(0,)a e ⎛⎫
∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】 〔Ⅰ〕设切点为
()00,x A x e a
-，再利用导数的几何意义求出
a 的值；〔Ⅱ〕由题得
()()(1)x h x a x e a =--，再对a 分类讨论，利用导数分析函数极值情况得到a 的取值范围.
【详解】解：〔Ⅰ〕设切点为(
)00,x A x e a
-，()x
f x e
'=，
所以过
A 点的切线方程为()000x x y e a e x x -+=-，即0
0x x x
y e x x e e a =-+-，
所以00
00x x x e a e x e a a
⎧=⎪⎨--=-⎪⎩，解得a e =. 〔Ⅱ〕依题意，()()(1)x
h x a x e
a =--，()()x h x a xe a '=-，
当a ＞0时，令()x x xe a ϕ=-，那么()(1)x x x e ϕ'=+，
令()0x ϕ
'
>，1x >-，令()0x ϕ'<，1x <-，
所以，当(-1)x ∈-∞，
时，()x ϕ单调递减；当(1,)x ∈-+∞时，()x ϕ单调递增.
假设()h x 存在极值，那么min 1
()(1)0x a e
ϕϕ=-=--<，即(0,)a ∈+∞， 又(0,)a ∈+∞时，()()10a
a a e
ϕ=->，
所以，(0,)a ∈+∞时，
()x ϕ在(1,)-+∞存在零点1x ，且在1x 左侧()0x ϕ<，在1x 右侧()0x ϕ>，
即()h
x '
存在变号零点.
当a ＜0时，当(-1)x ∈-∞，
时，()x ϕ单调递增；当(1,)x ∈-+∞时，()x ϕ单调递减. 假设()h x 存在极值，那么max 1()(1)0x a e ϕϕ=-=-
->，即1,0a e ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
， 又1,0a e ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
时，()()10a a a e ϕ=->， 所以，1,0a e ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
时， ()x ϕ在(1,)-+∞存在零点2x ，且在2x 左侧()0x ϕ>，在2x 右侧()0x ϕ<，
即()h
x '
存在变号零点.
所以，假设()h x 存在极值，1,0(0,)a e ⎛⎫
∈-
⋃+∞ ⎪⎝⎭
. 【点睛】此题主要考察导数的几何意义，考察利用导数研究函数的极值，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.
请考生在第22～23题中任选一题答题，假设多做，那么按所做的第一题计分 选修4-4：坐标系与参数方程 22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为1212x t y ⎧
=⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩
〔t 为参数〕，在以坐标原点为极点，x 轴
的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为sin a ρ
θ=〔a R ∈且0a ≠〕.
〔I 〕求直线l 的极坐标方程及曲线C 的直角坐标方程；
〔Ⅱ〕()1,A ρθ是直线l 上的一点，2,6B πρθ
⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
是曲线C 上的一点，1R ρ∈，2R ρ∈，假设||
||
OB OA 的最大值为2，求a 的值. 【答案】(I)1sin 32πρθ
⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭；220x y ay +-=.(Ⅱ)2a =± 【解析】 【分析】
〔I 〕利用参数方程、极坐标方程和普通方程互化的公式求直线l 的极坐标方程及曲线C 的直角坐标方程；
〔Ⅱ〕先利用极坐标方程求出
11sin 32
πρθ⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭，
2sin 6a πρθ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，再求出
21||||OB OA ρρ==sin 23a πθ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭，即得
sin 2||=23a a πθ⎛
⎫+≤ ⎪⎝
⎭，解之即得a 的值.
【详解】解：〔I 〕消去参数t ，得直线l
10y -+=，
由cos x
ρθ=，sin y ρθ=，
得直线l
的极坐标方程为sin )10ρθ
θ-+=，即1sin 32πρθ
⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭. 曲线C 的极坐标方程为sin a ρθ=〔a R ∈且0a ≠〕，即sin a ρθ=，
由2
22x y ρ
=+，sin y ρθ=，得曲线C 的直角坐标方程为220x y ay +-=.
〔Ⅱ〕∵()1,A ρθ在直线l 上，2,6B πρθ
⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
在曲线C 上， ∴11sin 32πρθ
⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2sin 6a πρθ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭， ∴21||2sin sin ||63OB a OA ρππθθρ⎛⎫⎛⎫==+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ ∴||2a =，2a =±.
【点睛】此题主要考察参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考察三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.
选修4-5:不等式选讲
23.选修4-5：不等式选讲
函数()|1|f x x =-.
〔I 〕求函数
()(1)y f x f x =-+的最大值； 〔Ⅱ〕假设()2(|2|3)(2)1f a f a -+>-+，务实数a 的取值范围.
【答案】(I)最大值为1.(Ⅱ)(0,4)
【解析】
【分析】
〔I 〕利用绝对值三角不等式求函数()(1)y f x f x =-+的最大值；〔Ⅱ〕利用函数f(x)的单调性化简得2|2|3(2)1a a -+>-+，再解不等式得解.
【详解】解：〔Ⅰ〕函数
()(1)y f x f x =-+可化为|1|||y x x =--， 由|1||||(1)|1x x x x --≤--=，
10x x -<≤即0x ≤时“=〞成立，
所以原函数获得最大值为1.
〔Ⅱ〕函数()|1|f x x =-在[1,)+∞上单调递增，
∵|2|31a -+>，2(2)
11a -+≥，()2(|2|3)(2)1f a f a -+>-+， ∴2|2|3(2)1a a -+>-+，
即(|2|1)(|2|2)0a a -+--<，
所以|2|2a -<，
∴04a <<.
即实数a的取值范围是(0,4).
【点睛】此题主要考察绝对值三角不等式，考察函数单调性的应用和绝对值不等式的解法，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.。