高中苏教选修(1-2)第2章推理与证明综合测试(1)

高中苏教选修（1-2）第2章推理与证明综合测试
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列说法中正确的个数是（ ） ①归纳推理是从一般到特殊的推理； ②归纳推理是从特殊到一般的推理； ③类比推理是从特殊到特殊的推理； ④类比推理是从特殊到一般的推理； ⑤归纳推理与类比推理都属于合情推理． Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
答案：C
2．设凸(3)k k ≥边形的内角和为()f k ，则凸1k +边形的内角和(1)()()f k f k +=+ （ ） Ａ．π2 Ｂ．π Ｃ．
3π2
Ｄ．2π
答案：B
3．类比平面正三角形“三边相等，三内角相等”的性质，在正四面体的下列性质中，你认为最恰当的是（ ）
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等． Ａ．① Ｂ．①② Ｃ．② Ｄ．③
答案：C
4．若方程2
2
4250x y x y k +-++=表示圆，则k 的取值范围是（ ） Ａ．1k >
Ｂ．1k < Ｃ．1k ≥ Ｄ．1k ≤
答案：B
5．设A ，B ，C ，D 是空间中不同的点，在下列命题中，不正确的是（ ） Ａ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面
Ｂ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线
Ｃ．若A B A C =，D B D C =，则A D B C = Ｄ．若A B A C =，D B D C =，则A D B C ⊥ 答案：C 6．图1为一串黑白相间排列的珠子，按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是（ ）
Ａ．白色
Ｂ．黑色
Ｃ．白色可能性大 Ｄ．黑色可能性大
答案：A
7．下列关于演绎推理的说法中正确的是（ ） Ａ．演绎推理是由一般到一般的推理过程 Ｂ．演绎推理是由特殊到一般的推理过程
Ｃ．演绎推理得出的结论具有或然性，不一定正确 Ｄ．演绎推理具有由抽象到具体的思维特点
答案：D
8．已知a b ∈R ，，且a b ≠，2a b +=，则（ ） Ａ．2
12
a
ab <<
Ｂ．22
12
a b ab +<<
Ｃ．22
12
a b ab +<< Ｄ．
22
12
a b ab +<<
答案： B
9．在R 上定义运算⊙：x ⊙y 2x y
=
-，若关于x 的不等式()(1)0x a x a -+-> 的解集是
集合{}|22x x x -∈R ≤≤，的子集，则实数a 的取值范围是（ ） Ａ．22a -≤≤ Ｂ．11a -≤≤ Ｃ．21a -≤≤
Ｄ．12a ≤≤
答案：C
10．把数列{}21n +依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，…，循环分为：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），…，则第104个括号内各数之和为（ ） Ａ．12036 Ｂ．2048 Ｃ．2060 Ｄ．2072
答案：D
11．（1）已知3
3
2p q +=，求证：2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥；（2）
已知a b ∈R ，，1a b +<，求证：方程2
0x ax b ++=的两根的绝对值都小于1，用反证
法证明时可假设方程至少有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥，以下结论正确的是（ ）
Ａ．（1）与（2）的假设都错误 Ｂ．（1）与（2）的假设都正确 Ｃ．（1）的假设正确；（2）的假设错误 Ｄ．（1）的假设错误；（2）的假设正确 答案：D
12．若0a b c ，，≥且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是（ ）
Ａ． Ｂ．3 Ｃ．2
答案：A
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 13．根据下列图形及相应的点数，写出点数构成的一个通项公式．
答案：2
1n a n n =-+
14．用反证法证明命题“a b ∈N ，，a b 可被5整除，那么a 、b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是 ． 答案：a b ，都不能被5整除
15．如图2，四棱锥S A B C D -中，为了推出A B B C ⊥，还需从下述条件中选出一些条件： ① SB ⊥面ABCD ；②SC ⊥CD ；③CD ∥AB ；④CD ∥面SAB ；⑤BC ⊥CD ；⑥CD ⊥面SBC ；
⑦AB ⊥面SBC ；⑧SB ⊥CD ．比如选⑦，有⑦⇒AB ⊥BC ，又如选③、⑤有
⎫
⇒⎬⎭
①⑤AB ⊥BC ．现要求推理至少用到两条定理，推理形式表述为 ．
答案：AB BC ⎫⇒⇒⊥⎬⎭③⑦⑥或AB BC ⎫⎫
⇒⎬⎪
⇒⊥⎬⎭⎪
⇒⎭
①⑥②④③（答案不惟一）
16．若三角形内切圆半径为r ，三边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积为1()2
S r a b c =
++；
根据类比的思想，若四面体的内切球半径为R ，四个面的面积分别为1234S S S S ，，，，则四面体的体积为 ．
答案：
12341()3
R S S S S +++
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题14分)定义一种运算“*”，对于任何非零自然数n 满足以下运算性质： ①111*=；
②(1)13(1)n n +*=*．
试求1n *关于n 的代数式．
解：因为1n *是关于非零自然数n 的代数式， 所以可设1n a n =*，
则有1111a =*=，1(1)1n a n +=+*， 又(1)13(1)n n +*=*，
所以13n n a a +=即
13n n
a a +=，
因此这是一个以1为首项，以3为公比的等比数列，可以求得1
3n n a -=．
因为，113n n -*=．
18．(本小题14分)已知a 、b 、c 是实数，函数2()f x ax bx c =++，当11x -≤≤时，()1f x ≤，用演绎推理证明1c ≤．并且写出演绎推理的三段论．
证明：由已知当11x -≤≤时，有()1f x ≤， 因为0[11]∈-，，所以(0)1f ≤， 而(0)f c =，即1c ≤．
证明采用了演绎推理法，三段论为：
ⅰ大前提：当11x -≤≤时，有()1f x ≤； ⅱ小前提：当11x -≤≤； ⅲ结论：(0)1f ≤．
19．(本小题15分)已知2
()f x x px q =++，若(1)(3)2(2)2f f f +-=，求证：(1)f ，
(2)f ，(3)f 中至少有一个大于
12
．
证明：假设(1)f ，(2)f ，(3)f 都不大于12
，
由于(1)(2)(3)f f f ，，不全相等， 则(1)2(2)(3)2f f f ++<，
而(1)(3)2(2)(1)2(2)(3)2f f f f f f +-++<≤， 即(1)(3)2(2)2f f f +-<，
这与题设(1)(3)2(2)2f f f +-=相矛盾． 所以假设(1)f ，(2)f ，(3)f 都不大于
12
是错误的．
因此(1)f ，(2)f ，(3)f 中至少有一个大于12
．
20．(本小题15分)已知221a b +=，221x y +=，求证：1ax by +≤ (分别用综合法和分析法来证)．
证法一：用综合法．
222ax a x + ≤，22
2by b y +≤， 2
2
2
2
2()()()ax by a b x y ∴++++≤．
又221a b += ，221x y +=，
2()2ax by ∴+≤，1ax by ∴+≤．
证法二：用分析法．
要证1ax by +≤成立，只需证1()0ax by --≥，只需证2220ax by --≥． 又221a b += ，22
1x y +=，
只需证2
2
2
2
220a b x y ax by +++--≥， 即要证2
2
()()0a x b y -+-≥，显然成立．
1ax by ∴+≤成立．
21．(本小题16分)证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．
π2cos
4=
π2cos
8=
π2cos
16
=，…．
证明：π2cos
24
2=⨯
=
π2cos
8
===
π2cos
16
===
……
1
π2cos
2
n n +=
个根号。