山东省临忻市临沭第一中学数列多选题试题含答案

山东省临忻市临沭第一中学数列多选题试题含答案
一、数列多选题
1．已知数列{}n a 的首项1a m =且满足()()14751221n
n a a n n a a +⎡⎤=-⋅-⋅+-⋅-⎣⎦
，其中
n *∈N ，则下列说法中正确的是（ ）
A ．当1m =时，有3n n a a +=恒成立
B ．当21m =时，有47n n a a ++=恒成立
C ．当27m =时，有108111n n a a ++=恒成立
D ．当()2
k
m k N *
=∈时，有2n k
n k a
a +++=恒成立
【答案】AC 【分析】
题设中的递推关系等价为1,231,n
n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数
，根据首项可找到{}n a 的局部周期
性，从而可得正确的选项. 【详解】
因为()()14751221n n a a n n a a +⎡⎤=-⋅-⋅+-⋅-⎣
⎦，故1,231,n
n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数
， 当1m =即11a =时，24a =，32a =，41a =，故{}n a 为周期数列且3n n a a +=，故A 正确.
当21m =即121a =时，264a =，同理416a =，58a =，64a =，72a =，81a =，故
58a a ≠，故B 错误.
当2k
m =即12k
a =时，根据等比数列的通项公式可有1
1222k k
k a -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
=，
+1+21,4k k a a ==，+32k a =， +1+3k k a a ≠，故D 错误.
对于C ，当27m =时，数列{}n a 的前108项依次为：
27,82,42,124,62,31,94,47,142,71,214,107,322,161,484242,121,364,182,91,274，， 137,412,206,103,310,155,466,233,700,350,175,526,263,790,395,1186,593,1780， 890,445,1336,668,334,167,502,251,754,377,1132,566,283,850,425,1276,638,319，
958,479,1438,719,2158,1079,3238,1619,4858,2429,7288,3644,1822,911,2734， 1367,4102,2051,6154,3077,9232,4616,2308,1154,577,1732,866,433,1300,650， 325,976,488,244,122,61,184,92,46,23,70,35,106,53,160,80,40,20,10,5,16，
故1098a =，1104a =，1112a =，1121a =，1134a =，
所以109112n n a a ++=对任意1n ≥总成立.
（备注：因为本题为多选题，因此根据A 正确，BD 错误可判断出C 必定正确，可无需罗列出前108项） 故选：AC. 【点睛】
方法点睛：对于复杂的递推关系，我们应该将其化简为相对简单的递推关系，对于数列局部周期性的研究，应该从特殊情况中总结出一般规律，另外，对于多选题，可以用排除法来确定可选项.
2．已知数列{},{}n n a b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为,{}n n S b 的前n 项和为,n T 且满足*112,2()n n n n n a a n b b n N +++=⋅=∈，则下列结论正确的是（ ）
A ．101a << B
．11b <<
C ．22n n S T <
D ．22n n S T ≥
【答案】ABC 【分析】
利用数列单调性及题干条件，可求出11,a b 范围；求出数列{},{}n n a b 的前2n 项和的表达式，利用数学归纳法即可证明其大小关系，即可得答案. 【详解】
因为数列{}n a 为递增数列， 所以123a a a <<，
所以11222a a a <+=，即11a <， 又22324a a a <+=，即2122a a =-<， 所以10a >，即101a <<，故A 正确； 因为{}n b 为递增数列， 所以123b b b <<，
所以2
1122b b b <=
，即1b <
又2
2234b b b <=，即21
2
2b b =
<， 所以11b >
，即11b <<，故B 正确；
{}n a 的前2n 项和为21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++
= 22(121)
2[13(21)]22
n n n n +-++⋅⋅⋅+-=
=，
因为12n n n b b +⋅=，则1
122n n n b b +++⋅=，所以22n n b b +=，
则{}n b 的2n 项和为13212422()()n n n b b b b b b T -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+
=1101101122(222)(222)()(21)n n n
b b b b --++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+-
1)1)n n
>-=-，
当n =1时，222,S T =>，所以22T S >，故D 错误； 当2n ≥时
假设当n=k 时，21)2k k ->21)k k ->，
则当n=k +11121)21)21)2k k k k k ++-=
+-=->
2221(1)k k k >++=+
所以对于任意*n N ∈，都有21)2k k ->，即22n n T S >，故C 正确 故选：ABC 【点睛】
本题考查数列的单调性的应用，数列前n 项和的求法，解题的关键在于，根据数列的单调性，得到项之间的大小关系，再结合题干条件，即可求出范围，比较前2n 项和大小时，需灵活应用等差等比求和公式及性质，结合基本不等式进行分析，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.
3．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n f 称为斐波那契数列. 并将数列{}n f 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{}
n g ，则下列结论正确的是( ) A ．20192g = B ．()()()()22
2123222022210f f f f f f -+-=
C ．12320192688g g g g ++++=
D ．222
21232019201820202f f f f f f ++++=
【答案】AB 【分析】
由+2+1+n n n f f f =可得()2
+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-，可判断B 、D 选项；先计
算数列{}n g 前几项可发现规律,使用归纳法得出结论：数列{}
n g 是以6为最小正周期的数列，可判断A 、C 选项. 【详解】 对于A 选项：
12345678910111211,2,3,1,0,1,12310
g g g g g g g g g g g g ============，，，，，，，
所以数列{}
n g 是以6为最小正周期的数列，又20196336+3=⨯，所以20192g =，故A 选项正确；
对于C 选项：()()12320193361+1+2+3+1+0+1+1+22692g g g g ++++=⨯=，故C 选
项错误；
对于B 选项：斐波那契数列总有：+2+1+n n n f f f =，
所以()()22222232122232221f f f f f f f f =-=-，()()2
2121222021222120f f f f f f f f =-=-， 所以()()()()2
2
2123222022210f f f f f f -+-=，故B 正确； 对于D 选项：
()2
12+2+1112+n n n f f f f f f f f ==∴=，，，
()222312321f f f f f f f f =-=-， ()233423432f f f f f f f f =-=-，
，
()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-。

所以222
21232019f f f f +++
+
()()()()122312343220182019201820172019202020192018+++++f f f f f f f f f f f f f f f f f f =----
20192020f f =，故D 选项错误；
故选：AB. 【点睛】
本题考查数列的新定义，关键在于运用数列的定义研究其性质用于判断选项，常常采用求前几项的值，运用归纳法找到规律，属于难度题.
4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a p =，122n n S S p --=（2n ≥，p 为常数），则下列结论正确的有（ ） A ．{}n a 一定是等比数列
B ．当1p =时，415
8
S =
C ．当1
2
p =
时，m n m n a a a +⋅= D ．3856a a a a +=+
【答案】BC 【分析】
对于A 选项，若0p =，则数列{}n a 不是等比数列，当0p ≠时，通过题目条件可得
11
2n n a a -=，即数列{}n a 为首项为p ，公比为12
的等比数列，然后利用等比数列的通项公式、前n 项和公式便可得出B ，C ，D 是否正确. 【详解】
由1a p =，122n n S S p --=得，()222a p p p +-=，故22
p
a =，则2112a a =，
当3n ≥时，有12
22n n S S p ---=，则120n n a a --=，即11
2
n n a a -=， 故当0p ≠时，数列{}n a 为首项为p ，公比为1
2
的等比数列；当0p =时不是等比数列，故A 错误；
当1p =时，441111521812S ⎛
⎫⨯- ⎪
⎝⎭=
=-，故B 正确； 当12p =时，12n
n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则12m n
m n m n a a a ++⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭，故C 正确；
当0p ≠时，38271133+22128a a p p ⎛⎫=+=
⎪⎝⎭，而56451112
+22128a a p p ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
， 故3856a a a a +>+，则D 错误； 故选：BC.
5．已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,……，其中第一项是02，接下来的两项是
012,2,再接下来的三项是0122,2,2,依次类推…，第n 项记为n a ，数列{}n a 的前n 项和为
n S ，则（ ）
A ．6016a =
B ．18128S =
C ．21
2
2k k k a -+=
D ．
22
21k
k k S k +=-- 【答案】AC 【分析】
对于AC 两项，可将数列进行分组，计算出前k 组一共有()
12
k k +个数，第k 组第k 个数即12k -，可得到选项C
由C 得到9
552a =，60a 则为第11组第5个数，可得60a 对于BD 项，可先算得
22
k k
S +，即前k 组数之和
18S 即为前5组数之和加上第6组前3个数，由2
1
2
22k k k S k ++=--结论计算即可.
【详解】
A.由题可将数列分组
第一组：02 第二组：012,2, 第三组：012
2,2,2, 则前k 组一共有12++…()
12
k k k ++=个数 第k 组第k 个数即1
2k -，故2
1
2
2k k k a -+=，C 对
又
()10101552+=，故9
552a = 又
()
11111662
+=，
60a 则为第11组第5个数
第11组有数：0123456789102,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2 故4
60216a ==，A 对
对于D. 每一组的和为0
1
22++ (1)
212
2121
k k k --+==-- 故前k 组之和为1222++…()122122221
k k k k k k +-+-=
-=---
212
22k k k S k ++=--
故D 错. 对于B.
由D 可知，6
15252S =--
()551152
+=，()
661212+=
01261815222252764S S =+++=--+=
故B 错 故选：AC 【点睛】
数列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
6．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）
A ．数列{}n a 为等比数列
B ．数列{}n S n +为等比数列
C ．数列{}n a 中10511a =
D ．数列{}2n S 的前n 项和为
2224n n n +---
【答案】BCD 【分析】 由已知可得
11222n n n n S n S n S n S n
++++==++，结合等比数列的定义可判断B ；可得
2n n S n =-，结合n a 和n S 的关系可求出{}n a 的通项公式，即可判断A ；由{}n a 的通项公
式，可判断C ；
由分组求和法结合等比数列和等差数列的前n 项和公式即可判断D. 【详解】
因为121n n S S n +=+-，所以
11222n n n n S n S n
S n S n
++++==++．
又112S +=，所以数列{}n S n +是首项为2，公比为2的等比数列，故B 正确；
所以2n n S n +=，则2n
n S n =-．
当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，但11
121a -≠-，故A 错误；
由当2n ≥时，1
2
1n n a -=-可得91021511a =-=，故C 正确；
因为1
222n n S n +=-，所以2311222...2221222...22n n S S S n ++++=-⨯+-⨯++-
()()()231
22
412122 (2)
212 (22412)
2n n n n n n n n n ++--⎡⎤=+++-+++=
-+=---⎢⎥-⎣
⎦ 所以数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---，故D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】
关键点点睛：在数列中，根据所给递推关系，得到等差等比数列是重难点，本题由
121n n S S n +=+-可有目的性的构造为1122n n S S n n +++=+，进而得到
11222n n n n S n S n
S n S n
++++==++，说明数列{}n S n +是等比数列，这是解决本题的关键所在，
考查了推理运算能力，属于中档题,
7．若数列{}n a 的前n 项和是n S ，且22n n S a =-，数列{}n b 满足2log n n b a =，则下列选项正确的为（ ） A ．数列{}n a 是等差数列
B ．2n
n a =
C ．数列{}2n
a 的前n 项和为21
22
3
n +-
D ．数列11n n b b +⎧
⎫
⎨
⎬⋅⎩⎭
的前n 项和为n T ，则
1n T <
【答案】BD 【分析】
根据22n n S a =-，利用数列通项与前n 项和的关系得1,1
,2n n
S n a S n =⎧=⎨≥⎩，求得通项n a ，然
后再根据选项求解逐项验证. 【详解】
当1n =时，12a =，
当2n ≥时，由22n n S a =-，得1122n n S a --=-， 两式相减得：12n n a a -=，
又212a a =，
所以数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列， 所以2n
n a =，2
4n
n a =，数列{}2
n
a 的前n 项和为()14144414
3
n n n
S +--'==
-， 则22log log 2n
n n b a n ===，
所以()11111
11
n n b b n n n n +==-⋅⋅++，
所以 1111111
(11123411)
n T n n n =-+-++-=-<++， 故选：BD 【点睛】
方法点睛：求数列的前n 项和的方法 (1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()
11122
n n n a a n n S na d +-=
=+②等比数列的前n 项和公式()
11,1
1,11n
n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪
-⎩
；
(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．
(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．
(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.
(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．
8．已知数列{}n a 中，11
2
a =，且()11n n n a a a +=+，n *∈N ，则以下结论正确的是（ ）
A ．11111
n n n a a a +=-+ B ．{}n a 是单调递增数列
C ．
21101
1111
11
1a a a a +++
>+++ D ．若121212011
1n n a a a
a a a ⎡⎤
+++
=⎢
⎥+++⎣⎦
，则122n =([]x 表示不超过x 的最大整数) 【答案】ABD 【分析】
利用裂项法可判断A 选项的正误；利用数列单调性的定义可判断B 选项的正误；利用裂项求和法可判断C 选项的正误；求出121211
1
n
n a a a
a a a +++
+++的表达式，可判断D 选项的正误. 【详解】
在数列{}n a 中，11
2
a =
，且()11n n n a a a +=+，n *∈N ，则()21110a a a =+>，()32210a a a =+>，
，依此类推，可知对任意的n *∈N ，0n a >.
对于A 选项，()()()1111
11111
n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++-===-+++，A 选项正确； 对于B 选项，2
10n n n a a a +-=>，即1n n a a +>，所以，数列{}n a 为单调递增数列，B 选项
正确；
对于C 选项，由A 选项可知，1
111
1n n n a a a +=-+， 所以，
12122310111111
1011
1
11111111111
1a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++
=-+-++-=-
< ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 选项错误； 对于D 选项，
1212231111111111111
11
1
1n n
n n a a a a a a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++
=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，
()()()1
21212121111
111
1
1111
n n
n n a a a a a a
a a a a a a +-+++
=+++
++++++-+-+
1211111
1111211
1n n n n n n a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫=-++
+
=--=-+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭
， 由112a =
，且()11n n n a a a +=+得23
4
a =，32116a =，
又{}n a 是单调递增数列，则3n ≥时，1n a >，则1
01n
a <<， 从而1122120n n n a +⎡⎤
-=-=⎢⎥⎣⎦
+
，得122n =，D 选项正确. 故选：ABD. 【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧
⎫
⎨⎬⎩⎭
型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法
求和.
二、平面向量多选题
9．已知向量(2,1),(3,1)a b ==-，则（ ） A ．()a b a +⊥
B ．|2|5a b +=
C ．向量a 在向量b
上的投影是2
D ．向量a
的单位向量是⎝⎭
【答案】ABD 【分析】
多项选择题需要要对选项一一验证: 对于A:利用向量垂直的条件判断； 对于B:利用模的计算公式； 对于C:利用投影的计算公式； 对于D:直接求单位向量即可． 【详解】
(2,1),(3,1)a b ==-
对于A: (1,2),()(1)2210,a b a b a +=-+⋅=-⨯+⨯=∴()a b a +⊥，故A 正确；
对于B:
222(2,1)2(3,1)(4,3),|2|(4)35a b a b +=+-=-∴
+=-+=，故B 正确；
对于C: 向量a 在向量b 上的投影是
2||(3)a b b ⋅==--，故C 错误；
对于D: 向量a 的单位向量是255,⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭，故D 正确． 故选：ABD ．
【点睛】 多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．
10．正方形ABCD 的边长为1，记AB a =，BC b =，AC c =，则下列结论正确的是（ ）
A ．()
0a b c -⋅=
B ．()0a b c a +-⋅=
C ．()0a c b a --⋅=
D ．2a b c ++=
【答案】ABC
【分析】 作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误.
【详解】
如下图所示：
对于A 选项，四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，
a b AB BC AB AD DB -=-=-=，()0a b c DB AC ∴-⋅=⋅=，A 选项正确； 对于B 选项，0a b c AB BC AC AC AC +-=+-=-=，则()
00a b c a a +-⋅=⋅=，B 选项正确；
对于C 选项，a c AB AC CB -=-=，则0a c b CB BC --=-=，则()0a c b a --⋅=，C 选项正确；
对于D 选项，2a b c c ++=，222a b c c ∴++==，D 选项错误.
故选：ABC.
【点睛】
本题考查平面向量相关命题正误的判断，同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面向
量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.。