5第五章 数字PID控制算法

第五章 数字PID 控制算法
内容：5.1连续PID 调节器5.2数字PID 算法5.3PID 算法的改进5.4PID 调节器参数选择5.5 纯滞后补偿算法
要求：重点掌握连续PID 调节器的特点、PID 调节器离散化方法，数字PID 算法的实现与改进、纯滞后补偿算法的意义与实现方法。

在控制系统中,按偏差的比例（P ）、积分（I ）、微分（D ）进行控制的PID 调节器,是连续系统应用最为广泛的控制器。

它具有原理简单,易于实现,鲁棒性强和适应面广等优点。

在计算技术用于生产过程之前,过程控制中采用气动、液动和电动的PID 调节器几乎一直占垄断地位。

计算机的出现和它在过程控制中的应用使这种状况有所改变,近二十年来相继出现了一批复杂的只有计算机才能实现的控制算法。

然而在目前即使在过程计算机控制中,PID 控制仍然是应用最为广泛的控制算法。

不过,用计算机实现的PID 控制,就不仅仅是简单地把控制规律数字化,而是进一步把计算机的逻辑判断功能、多路控制功能等结合起来,使PID 控制更加灵活多样,以满足生产过程提出的各式各样要求。

为什么PID 控制在工业过程中应用非常广泛？
数学模型指标设计方法
控制规律PID 控制器
数学模型
物理原理系统辨识指标要求
调整
,,p i d
K T T
一般的设计方法：没有准确的数学模型,则不可能有有效的控制器。

PID 控制器
指标要求调整,,p i d
K T T
PID 控制器中的每一项,每一个参数的物理意义都很明确,不需要准确的数学模型,通过调整参数可以使系统得到满意的控制效果。

附：数学模型 数学建模即是根据研究对象的基本物理规律，写出描述其运动规律的数学方程—数学模型，从而在物理系统和其抽象的数学描述之间建立起对
应关系的过程。

实际上，对于同一个系统从不同角度观察时会产生各不相同的概念，在数学上会有互不相同的描述方法。

虽然最理想的方法是建立符合所有目的的数学模型；但实际中很少有人想去研究这类问题，因为此类模型可能过于复杂而难以求解，特别是对于通常关心的特定领域和特定时间的问题而言，共他现象是弱相关的，可以忽略不计。

比如，当研究电力系统的暂态稳定问题时，由于发电机的惯性很大，所以完全可以近似认为转速基本不变，其机械都分的影响可以忽略不计。

所以在建模过程中重要的是，记住数学模型代表的数学系统不过是实际系统在概念轴上的投影，建模的本质在于将所研究的系统投影到适当的概念轴上。

换句话说，所建立的数学模型，实际上只是根据研究目的确定的模型，是对系统某一方面本质属性的抽象描述。

附：工业过程与现代控制理论
工业过程的特点： 多变量、非线性、强耦合 、不确定性、约束。

现代控制理论与方法：精确的数学模型、最优的性能指标 、系统而精确的设计方法。

工业过程对控制的要求： 高质量的控制性能 、对模型要求不高、实现方便 、强鲁棒性。

PID 控制是最早发展起来的控制策略之一，但应用常规PID 控制器对于具有非线性、时变不确定性的系统，无法达到理想的控制效果。

随着现代控制理论，诸如智能控制等技术的研究发展，出现了许多新型PID 控制器，如自适应PID 控制、智能PID 控制、模糊PID 控制、神经网络PID 控制、预测PID 控制和PID 控制器自整定技术等。

5.1 连续PID 调节器
Fig5.1 连续PID 调节器
连续PID 调节器的时域描述如下：
()()()()01t
d i d
e t u t K e t e t dt T T dt =++ ∫ 写成传递函数的形式：
()
()U s E s K T s T s i d =++
11
• 比例环节K
()()()
()
u t Ke t U s E s K p p ==
t
))
Fig5.2 比例环节K
比例环节K 对误差信号的任何频率成分的放大幅度相同,无相移。

K 增大可减小系统稳态误差,提高控制精度。

但K 增大也会使系统的相对稳定性降低,甚至会造成系统不稳定。

比例环节不能稳态误差。

• 积分环节K T s i
()()()()0t
i i i i U s K K u t e t dt
T E s T s =
=
∫ 由Fig5.3可见,积分环节的作用在控制过程的后段。

其对()e t 中的高频分量
衰减较大,而对低频分量则衰减较小。

稳态误差为慢变信号,其频率成分中低频成分较多。

故而积分环节能够根据系统稳态误差输出调整量,提高系统的无差度,从而使系统的稳态性能得到提高。

积分作用的大小由积分时间常数i T 决定。

t
Fig5.3
积分环节
微分环节KT s d
()()()
()
s KT s E s U dt t de KT t u d d d
d ==
Fig5.4 微分环节
可见,微分作用量起到了加速动态过程的作用,具有超前、预测性能,在动态过程的前段起作用。

微分环节对低频分量衰减较大,
而对高频分量则衰减较小。

信号频率越高,经过微分环节以后的幅度越大。

这意味着高频干扰的引入,实际系统中,要对微分环节加一滤波器：
Fig5.5 微分环节的改进
PID 控制作用量是以上三个环节控制作用量的叠加。

连续PID 调节器的实现
计算机控制系统讲义 第五章 数字PID 控制算法
R 2C 2
Fig5.6 连续PID 调节器的实现 ()()21111122221
1U s R R C R C s E s R R C R C s =−+++
一般461210~10C −−≈，因此：
()()2111221
1U s R R C s E s R R C s =−++
5.2 数字PID 算法
为了便于计算机实现，把微分方程形式的PID 算法按采样周期离散为差分方
程。

用累加代替积分，一阶差分代替微分。

()()
()()()
e t dt Te j d t dt e k e k T
t
j k
1∫∑→→−−=
• 位置算式
将上两式代入标准PID 算式，有：
()()()()()[]u k K e k T T e j T T e k e k i d j k
=++−−
=∑10
• 增量算式
由位置算式可得：
()()()()()[]u k K e k T T e j T T e k e k i d j k −=−++−−−
=−∑111201
故：
()()()
()()()()()()11212d i u k u k u k T T
K e k e k e k e k e k e k T T ∆=−− −−++−−+−
增量算式应有一个执行机构作累加器。

• 递推算式
()()()()()()()()()()[]u k u k u k u k K e k e k T
T e k T T e k e k e k i d =−+=−+−−++−−+−
111212∆ • 脉冲传递函数
由位置算式或递推算式两边Z 变换，可得：
()()()
()()()D z U z E z K z T T T T z z
K T T z T T z i d i d =
=−++−
−=+−+−
−−−−−11111111121
1
1 • 算法实现
上递推算式可以写成如下形式：
()()()()()
()()u k u k d e k d e k d e k d K T T T d K T T d K T T
i d d d =−++−+−=++=+=112112012012
控制算法程序流程如Fig5.7。

Fig5.7 PID 控制算法程序流程
5.3 PID 算法的改进
5.3.1积分项的改进·积分饱和作用的抑制
在实际过程中,控制量及其变化率因受到执行元件的机械和物理的约束而限制在一定的范围内：
u u u u u MAX min max
≤≤≤
在一般的PID 控制中,当有较大的扰动或大幅度改变给定值时,由于此时有较
大的偏差,以及系统有惯性及滞后,在积分项的作用下往往会产生较大的超调和长时间的波动,以致控制作用量越限,执行元件进入饱和区,即所谓积分饱和作用。

利用计算机的逻辑判断功能,可以对这一现象进行改进。

积分分离法
主要针对具有较大惯性及滞后的系统。

()()e k PD
e k PID
>→≤→ββ
Fig5.8 积分分离法
• 有效偏差法
当PID 控制算法算出的控制量超出限制范围时,控制量的实际值只能取边界值,即：
()()()()u k u u k u u k u u k u <→=>→=min min
max max
有效偏差法是将对应这一控制量偏差值计入积分累计而不是将实际的偏差计
入积分累计。

若：
()()u k u =*上下限 则其对应的偏差值为：
()()[]()()e k K u u k T T e k T T
e k T T T T
d d i d =
−−++
−−−++1112121* 用这一偏差值作为下一采样周期进行计算时的()e k −1。

• 遇限削弱积分法 基本思想：一旦控制量进入饱和区,将只执行削弱积分项的运算而停止增大积分项的运算。

Fig5.9 遇限削弱积分法
实际上就是,若上一时刻的控制量()u k −1越限,则在k 时刻判断()e k 是否能减小积分环节的作用量,是则将该时刻的误差累计入积分项,否则该时刻的误差累不计入积分项。

5.3.2微分项的改进·干扰的抑制
微分项是数字控制器中响应最敏感的一项,应尽量减少数据误差和噪声,以消除不必要的扰动,同时对标准PID 算法中的微分项做一些改进。

加一阶滤波器的改进办法
()()()10~3111=
++
+=ααs T s T s T K s E s U d d i
为了便于编写程序,将上式写成下述框图的形式：
Fig5.10 加一阶滤波器改进微分项的办法
首先分别求出比例、积分、微分这三个框的增量形式的差分方程式,然后再求总的控制信号增量。

()
()()()()()()11p p p p U s K E s u k u k u k K e k e k =∆=−−=−−
()()()()()()
1
1i i i i i i
U s K E s T s
KT
u k u k u k e k T =∆=−−=
()()()()()1d d d d d d d U s T s
K
T E s s
T
u t u t KT e
t α
α
=++= ()()()()()()()()()()()11111111d d d d d d d d d
d d d T u k u k KT
e k e k u k T T
u k u k u k T K
T u k e k e k T T T T
ααα−− −− +
=
∆==−−=−−+−− ++
()()()()
()()()
1p i d u k u k u k u k u k u k u k ∆=∆+∆+∆−+∆
这就是微分项加一阶滤波器的PID 控制算法的实现方法。

四点中心差分法
前述,在对连续PID 控制算法离散化时,用差分代替微分：
()()()
de t dt e k e k T
=
−−1 这一算法本身对于干扰和数据错误非常敏感,在实际应用中用四点中心差分法来对微分进行近似：
Fig5.11 四点中心差分
用k 时刻及其前三个时刻的偏差的平均值作为基准：
()()()()()[]e k e k e k e k e k =+−+−+−1
4
123
然后再通过加权求和的形式构成四点中心差分：
()()()()()()()()()∆e k T e k e k T e k e k T e k e k T e k e k T =−+−−+−−+−−
14151525315.... 即：
()()()()()[]∆e k T T
e k e k e k e k =+−−−−−1
631323 用上式代替一阶差分,即得到改进的PID 控制算法的微分项：
()()()()()[]T e k T T T
e k e k e k e k d d
∆=+−−−−−631323 实际上,四点中心差分是把每一时刻的微分作用量减弱了,而微分作用量的作用时间加长了。

5.4 PID 调节器参数选择
如果能够建立被控对象的准确数学模型,可以用理论方法来确定PID 调节器的参数,但这在一般的工业过程中较难做到。

故通常采用实验的方法来确定PID 调节器的参数,这也正是PID 调节器的优越性之所在。

5.4.1试凑法
试凑法是通过闭环运行测试系统的响应,然后根据各调节参数对系统响应的
作用,反复调整参数,以达到满意的控制效果,从而确定PID 调节器的参数。

5.4.2扩充临界比例法
这一方法适用于有自平衡性的被控对象。

首先,将调节器选为纯比例调节器,形成闭环,改变比例系数,使系统对阶越输入的响应达到临界振荡状态,此时的比例系数记为K ｒ,临界振荡周期记为T ｒ。

然后,根据齐洛勒-尼柯尔斯经验公式确定PID 调节器的参数。

此即为用于连续调节器的临界比例法。

制度的概念,就是以连续调节器为基准,对数字调节器控制效果的评价：
()()
控制度数字控制模拟控制=∞
∞∫∫
e dt e dt
2020
根据要求的控制度,数字调节器参数选择经验公式如下：
5.4.3阶跃曲线法
首先，检测系统对幅值为u ０的阶跃输入的响应曲线，以确定基准参量K ｒ，T ｕ。

Fig5.12 阶跃曲线法确定基准参量
K y u T T r u g
=∞0
然后可根据下述经验公式选择参数：
5.4.5采样周期的选择
• 采样定理
ωωπ
ωπωs s T T ≥=≤
22max
max
• 系统性能: 从系统随动和抗干扰要求来看,采样周期小些好。

• 执行机构: 执行机构都有一定的时间常数,要保证在采样周期内采样周期能完成要求的控制动作。

• 算法实时性和系统成本: 从计算机算法实时性和系统成本来看,一般要求采样周期大些。

可根据具体情况对上述因素进行折衷选择,但必须满足采样定理和算法实时性的要求。

5.5 纯滞后补偿算法
5.5.1具有纯滞后环节系统的特点
在工业控制中,不少控制对象具有纯滞后性质,这会导致控制作用不及时引起的系统超调和振荡，而且很难用常规的设计方法设计校正器。

这种系统常用一阶惯性环节加纯滞后环节来描述。

()G s K e T s
s
=
+−111τ
Fig5.13 控制系统框图
具有纯滞后环节系统有以下特点： 从时域看具有纯滞后环节系统的输入输出特性,设系统的输入为单位阶跃信号：
()()
()()()()u t t U s s
Y s G s U s K T s s
e s ==
==+−111111τ
拉普拉斯变换的位移定理
()()
()()00F
t s F
f t F s f t t F s e
− →− → 先考虑不带纯后环节时系统的响应
()()()111111
11000t T K Y s T s s
K e t y t t −==
+ −≥ =
<
然后,可得带纯后环节时系统的响应
()()()()
()()
1
11110s
t T Y s Y s e y t y t K e t t τττ
τ
τ−−−==
− −≥ =
<
Fig5.14带纯后环节系统的单位阶跃响应
频率特性
()()()()()G j K e T j G j G j G j T j ωωωωωωωττω
=
+=∠∠=−+−1111arctan
2π
−
π
−
Fig5.15系统开环频率特性
可见,纯滞后环节的相位滞后随ω线性增长,很容易使系统不定。

5.5.2史密斯（Smith ）预测器
史密斯对这一很普遍的现象进行了研究以后,提出了一种带纯滞后补偿的模型,Smith 预估模型来解决这一问题。

增加这一纯滞后补偿环节与被控对象一起构成广义的被控对象：
()()
()G s Y s U s K Ts ==
+111 对于PID 调节器而言，器所控制的对象无纯延迟环节，不存在因纯延迟而导致的不稳定和振荡。

而系统的实际输出是广义对象在时间延迟了τ。

Fig5.16 史密斯（Smith ）预测器
上述纯滞后补偿环节，即史密斯（Smith ）预测器：
()()()
()G s Y s U s K e T s s s s
==
−+−1111τ 用模拟器件是很难实现的，因为需要记忆功能。

将上式写成微分方程的形式：
()()()()[] y
t T y t K T u t u t s s +=−−1
111
τ
5.5.3纯滞后补偿环节的计算机实现
分解成两个环节：
Fig5.15 纯滞后补偿环节的实现 ()()()
()()(
)11s T v t v t u t y t K v t v t τ+=−− �
()()()()()V s U s T s
T
v
t v t u t =
++=1
111
考虑将u(k) 经保持器后的信号u(t)送入纯滞后补偿器,求上述方程的解析解：
Fig5.17 u(k)的保持值
(k+1)T 时刻,v(t)有一个初值v(k-1),同时,输入一个矩形脉冲：
()()()()1110u k t k T t kT
u t t kT
−−<≤ =
> 前述方程的解析解()[]k T t kT −<≤1：
()()()()()v t u k e v k e t k T T t k T
T =−−
+−−−−−−−111111
1 当t=kT 时,有：
()()()()v k e u k e v k T T T =−−+−−−11111
而后一项带纯延迟环节：
()()()[]y t K v t v t s =−−1τ
若l T =τ,写成离散化方程为：
()()()[]y k K v k v k l s =−−1
这一算法对计算机来说是很容易实现的,只要开辟l 个单元存储v(k)的数据
就可以了。

作业：
24. 简述PID 调节器的比例K 、积分i K T s 、微分d KT s 环节对对系统动态过程的作用。

25. 将连续PID 算法离散化并推导数字PID 控制算法的递推算法，设计控制算法程序流程。

26. 什么叫积分饱和作用？它是怎样引起的？可以采用什么办法消除积分饱和。

27. 说明四点中心差分法抑制干扰和数据误差对系统的影响的原理。

28. 说明史密斯纯滞后补偿算法的原理，设计史密斯预测控制器的数字实现和方程和算法实现程序流程。

29. 用双线性变换法将连续PID 算法离散化,并与25题的结论作比较。

参考资料：
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2.谢剑英，微型计算机控制技术.北京:国防工业出版社，2001年9月
3.何克忠计算机控制系统.北京:清华大学出版社1998
4.孙增忻，计算机控制理论及应用.北京:清华大学出版社，1989
5.徐丽娜，数字控制. 哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社，1990
6.王锦标等,过程计算机控制.北京:清华大学出版社,1992
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