高三数学 第二次联考试卷

2011届高三第二次联考试卷（理科数学）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 )()()(B P A P B A P +=+
如果事件A 、B 相互独立，那么 )()()(B P A P B A P ⋅=⋅
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率为
0()1()(=-=-k p p C k P k n k
k n n ，1，2，… ，)n 球的表面积公式：24R S π=（R 为球的半径） 球的体积公式：33
4R V π=
（R 为球的半径）
第Ⅰ卷（选择题 60分）
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数i z +=1，则=+z z 1 （A ）2； （B ）i 2321+； （C ）i 2123+； （D ）i 2
1
23-．
2．直线l ： 30cos 21x y -=的倾斜角为
（A ） 150； （B ） 135； （C ）
120； （D ） 60．
3．在平面直角坐标系中，P 点坐标),(y x 满足⎪⎩
⎪⎨⎧≤+≥≥63200y x y x ，则2
2y x +的最大值为
（A ）2； （B ）3； （C ）4； （D ）9．
4．某人打靶一次，中靶的概率为9.0，则这人连续打靶6次，恰有4次中靶的概率正好等
于6
)1.09.0(+展开式中的
（A ）第2项； （B ）第3项； （C ）第4项； （D ）第5项． 5．函数)3
2sin()(π
+
=x x f ，则函数)4
()()(π
+
+=x f x f x g 的最小正周期是
（A ）π； （B ）π2； （C ）
2π； （D ）4
π． 6．在空间直角坐标系xyz O -中，一个球的球心为)0,0,0(O ，半径为2．过点)
5,0,2(-M 引直线MN ，N 是直线MN 与这个球面的唯一交点，则线段MN 的长为 （A ）33； （B ）33； （C ）31； （D ）5．
7．将函数)(32)(R x x f x
∈+=的图象按向量a )3,2(-=平移后，所得的图象对应的函数的反函数是
（A ）)0(log 22>+=x x y ； （B ）)0(log 22>+-=x x y ； （C ）)6(2)6(log 2>+-=x x y ； （D ）)6(2)6(log 2>--=x x y ．
8．已知22)(23++=x x x f ，则=∆-∆+→∆x
x f x 5
)1(lim
（A ）8； （B ）6； （C ）4； （D ）10．
9．如图，一个正方体的表面都涂上了颜色，若将它的棱都3等 分， 然后分别从等分点把正方体锯开，将每次得到的这些小 正方体充分混合后，装入一个口袋中，从这个口袋中任意取 出1个小正方体，这个小正方体恰有2个面涂有颜色的概率是
（A ）
274； （B ）92； （C ）278； （D ）9
4 10．在各项均为正数的等比数列}{n a 中，2
475314))((a a a a a =++，则下列结论中正确的
是
（A ）数列}{n a 是递增数列； （B ）数列}{n a 是递减数列；
（C ）数列}{n a 是常数列； （D ）数列}{n a 有可能是递增数列也有可能是递减数列． 11．已知0>x ，0>y ，且44=+
y
x ，则y xy +4
的最小值为
（A ）2； （B ）3； （C ）4； （D ）9．
12．1F 、2F 是椭圆
124
252
2=+y x 的左、右焦点，P 是椭圆上满足54cos 21=∠F PF 的一点，记θ=∠12F PF ，则=θ2sin
（A ）2524-； （B ）2524； （C ）91-； （D ）9
1
．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中横线上． 13． 向量a )2,1(-=、b )2,(+-=x x 满足a λ
=b )(R ∈λ，则实数=λ ．
14．条件甲：“1|12|≤+x ”；条件乙：“m x ≤+|12|”．若条件甲是条件乙成立的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是 ． 15．在平面直角坐标系内，过点)310,10(-P 作两条相互垂直的直线，这两条直线被圆
)20(222>=+r r y x 截得线段的中点分别为M 、N ，则M 、N 两点间的距离
是 ．
15．用红、黄、蓝三种颜色给右图中的5个小方格涂色，每格涂一
种颜色，每种颜色至多涂两格，且相邻两格不涂同一种颜色，则 共有 种不同的涂色方法（用数字作答）．
三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，其中2=a ．
（1）求B c C b cos cos +的值；
（2）若422
2-=-b c c ，求A b sin 的值．
18．（本小题满分12分）
某省大学生跳高比赛的预选赛，由于参赛选手太多，为缩短比赛时间，组委会作了如下规定：①比赛的横杆共设置四个高度，从m 5.1开始，以后每次增加m 1.0；②参赛者在进行某个高度的比赛时，若成功跳过，则可进行下一高度的比赛；若未能成功跳过，可补跳一次，若在补跳时成功跳过，则同样可进行下一高度的比赛，否则，该选手被淘汰；③跳过最后一个高度的参赛者进入决赛．
已知选手甲在参加横杆的第)4,3,2,1(=n n 个高度的比赛时，每次能成功跳过的概率均为51n -
，不能跳过的概率为)4,3,2,1(5
=n n
． （1）求选手甲在参加每个高度的比赛都在第一次成功跳过，并顺利进入决赛的概率； （2）在这次预选赛中，当横杆升到第三个高度之前，用ξ表示选手甲共跳杆的次数（假定甲在参赛时不放过任何一次能够跳杆的机会），求ξ的分布列，并计算ξE ．
19．(本小题满分12分)
如图所示，正四棱锥ABCD P -的底边长为2，
P 点到底面ABCD 的距离为2，E 为CD 的中点．
（1）求PD 与AE 所成的角； （2）Q 为平面PAE 内的一个动点，求当线段BQ 长度最小时，线段PQ 的长．
20．(本小题满分12分)
数列}{n a 中，51=a ，n n n n a a 2)2(31⨯-+=+，n n n n a b 2⨯-=*)(N n ∈．
（1）证明：数列}{n b 是等比数列，并求n a ； （2）设n
n
n a b c 2=
(*)n N ∈，证明：当2>n 时，n n c c >+1，并指出数列}{n c 中最小的一项是第几项．
21．(本小题满分12分)
已知椭圆C ：14
122
2=+y x 和直线l ：)0(≠+=k m kx y ，
C 与l 交于相异两点M 、N ，O 是坐标原点．
（1）当∙0=且1=k 时，求实数m 的值；
（2）设P 点坐标为)2,0(-，若||PM =||PN ，证明：线段MN 中点Q 在一条定直线上，并求这条定直线的方程．
22．（本题满分12分）
设函数)12ln(1)(+-+=x mx x f ．
（1）当1=m 时，求)(x f 的单调区间和极小值；
（2）对于区间]2
1
,21[2--e e （e 为自然对数的底数，71.2≈e ）上任意的实数x ，都有2
)(m
x f ->，求实数m 的取值范围．
五校第二次联考理科数学试卷参考答案
13．2
1； 14．),1(+∞； 15．20； 16．36．
17．解：（1）由余弦定理得ac
b c a c
ab c b a b B c C b 22cos cos 222222-++-+=+ ………3分 222222222222===-++-+=a a
a a
b
c a a c b a ． ………5分
(2)由4222-=-b c c 得4222
-=-c b c
2
14424442cos 22222=
-+=-+=-+=c c c b c ac b c a B ………7分
又π<<B 0得23sin =
B ． ………8分
故由正弦定理3sin sin sin sin ==⇒=B a A b B
b A a ． ………10分 18．解：（1）设概率为1
P ， 依题意可得 625
24)541)(531)(521)(511(1=----=P ． ………5分
（2）依题意知，ξ 可取2，3，4 ， ………6分 251351515354)2(=⨯+⨯=
=ξP ， 125
52535451525254535254)3(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==ξP
125
85252545153525451)4(=
⨯⨯⨯+⨯⨯⨯==ξP ． ………9分
故125
318)4(4)3(3)2(2=
=+=+==ξξξξP P P E ． ………12分
19．解：（1）设正方形ABCD 的中心为O ， BC 中点为F ，分别以射线OF 、OE 、OP 为Ox 、 Oy 、Oz 轴的正半轴建立空间直角坐标系xyz O -．………2分
依题意得)0,2,1(=AE ，)2,1,1(-=PD 则10
5,cos =
>=<PD AE ………5分 故知PD 与AE 所成的角为10
5arccos
．………6分
（2）当⊥BQ 平面PAE 时，线段BQ 的长度最小
求得平面PAE 的一个法向量)1,2,22(--=n ，)0,0,2(=AB ………8分 则点B 到平面PAE 的距离11
224|
|==n d ………10分
即这时线段BQ 的长度为
11
224，在BQP Rt ∆中，1133222=
-=BQ BP PQ ． ………12分
20．（1）证明： n
n n n
n n n n n n n n a n n a n a n a b b 22)1(2)2(322)1(1111⨯-⨯+-⨯-+=
⨯-⨯+-=++++
32
23322)22(2)2(3=⨯-⨯-=⨯-⨯+-⨯-+n
n n
n n n n n n n a n a n a n n a ． ………3分 又3211=-=a b ，故}{n b 是以3为首项，3为公比的等比数列，从而得n n
b 3=，
即n n n n n n n a n a 2332⨯+=⇒=⨯-
． ………6分
（2）当2>n 时，n
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n b a a b c c 2)22(323332232)1(332221
1111111⨯++⨯+=⨯⨯+⨯⨯++⨯=⨯=++++++++
12
)22(32)2(11>⨯++⨯-+=+n
n n
n n ． ① ………10分 又0>n c ，故由①式知2>n 时，n n c c >+1
．
由上面的结论知当2>n 时，3c 最小，而计算知，321c c c =>．
由此知在数列}{n c 中，2c 、3c 两项最小． ………12分
21．解（1）由已知直线l 的方程为m x y +=
由01236412
3222
2=-++⎩⎨
⎧⇒=++=m mx x y x m
x y ① ………2分 依题意，1602<⇒>∆m ． ②
设),(11m x x M +，),(22m x x N +由0)(2022121=+++⇒=⋅m x x m x x ON OM 将根与系数的关系代入上式化简得62=m
而62=m 满足②式，故得6±=m ． ………5分 （2）由01236)13(12
32222
2=-+++⎩⎨
⎧⇒=++=m kmx x k y x m
kx y ③ 依题意，0412022>-+⇒>∆m k ④………7分
由③式可求得Q 点坐标为)1
3,133(2
2++-
k m
k km 从而11311332131||||22
2=+⇒-=⨯+-++⇒-=⨯⇔=k m k k km k m
k k PN PM MN PQ ………10分 故当m 、k 满足④时，Q 点的纵坐标为21-，故Q 点在定直线1=y 上． ………12分 （注：本题直接使用结论3
1-=⨯MN OQ k k 而未加证明的，酌情扣分） 22．解（1）当1=m 时，=
⇒+-+=)()12ln(1)(/x f x x x f 1
212+-x x ………2分 由于)(x f 的定义域为),21(+∞-，则由210)(/>⇒>x x f ；由2
10)(/=⇒=x x f ，由0)(/<x f 2121<<-⇒x ．故函数)(x f 的减区间为)21,21(-，增区间为),21(+∞，极小值为2ln 2
3
)21(-=f ．
………5分
（2）1222122)(/+-+=+-
=x m mx x m x f ………7分
当0≤m 时，由]21,21[2--∈e e x 知0)(/<x f ，故)(x f 在区间]
2
1,21[2--e e 上为减函数，其最小
值2)1(2)21(2
2
--=-e m e f 2m ->24e m >⇒，这与0≤m 不符，故此时m 无解；………8分
当0>m 时，由21101222)(/-=⇒=+-+=m x x m mx x f ，由e
m e m 221211≥⇒-≤-， 由e m e e m e 22212112122<<⇒-<-<-，2
2
2021211e m e m ≤<⇒-≥-；
故当2
20e m ≤<时，)(x f 在区间]
21,21[2
--e e 上为减函数，其最小值4)1(2)21(22--=-e m e f 2m ->24e m >⇒，这与22
0e
m ≤<不符，故此时m 仍无解； ………9分
当e m e
222
<<时，)(x f 在区间]211,21[--m e 上为减函数，在区间]21,211[2
--e m 上为增函数，其最小值为m m m f 2ln 22)211(--=-222e m m >⇒->，结合e m e 222<<知，当e m e
222<<时不等式成立； ………10分
当e m 2≥
时，)(x f 在区间]
2
1,21[2--e e 上为增函数，其最小值21)1(2)21(m e m e f ->--=- e
m 2>
⇒ ． ………11分
综上可知m 的取值范围是),2()2,2(2+∞e e
e ． ………12分
注：有与以上综合题不同解法的，请酌情判分．。