社会统计学第十章 双样本假设检验及区间估计

P 相同的总体，它 们的点估计值为


p
X1X2 n1n2
n1
p1n2 p2 n1n2
此时上式中检验 统计量 Z 可简化为


Z (p1p2)0 p1p2
pq pq
n1
n2
pq
n1n2 n1n2
② 若零假设中两总体成数 p1 p2 ，那么它们的点估计值有
中新生有171名，四年级学生有117名。试问，在0.01水平 上，两类学生有无显著外性向差异？ 内向
四年级 58% （117）
42%
一年级 73% （171）
27%
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[解] 据题意
新生组的抽样结果为：

p1
＝0.73，

q2
＝0.27，n1＝171
四年级学生组的抽样结果为:

p2

F

S
2 2


（
S
2 2

S12
）
S
2 1
H1 ：12 22

双 侧
F

S
2 1


（
S12
S
2 2
）
S
2 2
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(3)否定域(参见下图)
单侧 Fα （n1―1，n2―1），双侧Fα /2（n1―1，n2―1）
方差比检验，比起前面所介绍的检验有一个不同点，那就是无
不满意组
500
9.2
2.8
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[解] 据题意，
“不满意”组的抽样结果为：X 1 “满意”组的抽样结果为：X 2 H0：μ1―μ2＝D0＝0
H1： μ1―μ2 ≠0
计算检验统计量
＝9.2年， S1＝2.8年， n1＝500； ＝8.5 年，S2＝2.3 年， n2＝600。
ZX1X2D0 9.28.5 4.47


S
( X1X 2 )
n1 n2 n1n2
度，所以全部自由度的数目就成为(n1+ n2―2)。 于是有
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这样，对小样本正态总体， 1 2 和 2 2 未知，但σ 1＝ σ 2 ，
其均值差的检验步骤如下:
（1）零假设： H0:12D0
（2）备择假设：
论是单侧检验还是双侧检验，F 的临界值都只在右侧。其原因是我
们总是把
Sˆ
2 2
和
Sˆ
2 1
中的较大者放在分子上，以便使用者掌握。因此有


F

S
2 1

≥1
或者
F

S

2 2
≥1
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S
2 2
S
2 1
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[例] 为了研究男性青年和女性青年两身高总
体的方差是否相等，分别作了独立随机抽样。对
11 n1n2
( X1X2 )
n1 n2
n1n2
现又因为σ未知，所以要用它的
无偏估计量

S
替代它。由于两个样
本的方差基于不同的样本容量，因而
可以用加权的方法求出σ的无偏估计

S
n1S12 n2S22
n1 n2 2
量，得
注意，上式的分母上减2，是因为
根据 X 1 和 X 2 计算S1和S2时，分别损 失了一个自由度，一共损失了两个自由
pq
n1n2 n1n2
0.660 9.33 1171 117 171117
确定否定域
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因为α＝0.01，因而有 Zα/2＝Z0.005＝2.58＜2.66
因而否定零假设，即可以认为在0.01显著性水平上，两类
学生在性格上是有差异的。
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第二节 两总体小样本假设检验
与对单总体小样本假设检验一样，我们对两
1
第一节 两总体大样本假设检验
为了把单样本检验推广到能够比较两个样本的均值的检验，必须 再一次运用中心极限定理。下面是一条由中心极限定理推广而来的重
要定理：如果从 N(1,12) 和 N(2,22) 两个总体中分别抽取容量为
n1和n2 的独立随机样本，那么两个样本的均值差 (X1 X2) 的抽样分
第十章 双样本假设检验及区间估计
我们在掌握了单样本检验与估计的有关方法与原理 之后，把视野投向双样本检验与估计是很自然的。双样 本统计，除了有大样本、小样本之分外，根据抽样之不 同，还可分为独立样本与配对样本。
独立样本, 指 双样本是在两个 总体中相互独立 地抽取的 。
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配对样本，指只有一 个总体，双样本是由于样 本中的个体两两匹配成对 而产生的。配对样本相互 之间不独立。
( X1 X 2 )
S12 /(n1 1)估计

2 1
/
n1
，用
S22 /(n2 1)估计
22 / n2，于是有


S12 S2式重新求解前例题。
[解] 用上式，检验统计量的计算为
t X1 X2
22.221.3 1.256
＝0.58，

q2
＝0.42，n2＝117
H0：p1―p2＝D0＝0
H1：p1―p2＝D0≠0
计算检验统计量 p X n 1 1 n X 2217 0 1 .7 17 3 1 111 1 0 .7 7 5 80 .669

Z p1p2
0.7 30.58 2.66
男性青年样本有n1＝10，
S
2 1
＝30.8(厘米2)；对
女性青年样本有
n2＝8，
S
2 2
＝27.8(厘米2)，
试问在0.05水平上，男性青年身高的方差和女性
青年身高的方差有无显著性差异?
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[解] 据题意，
对男性青年样本有n1
＝10，
S
2 1
＝30.8(厘米2)
对女性青年样本有n2 ＝8，
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2．大样本成数差检验
（1）零假设： （2）备择假设：H0:p1p2D0
单侧
双侧
H1:p1p2D0
或 H1:p1p2D0
H1:p1p2D0
（3）否定域：单侧 Z
双侧 Z / 2
（4）检验统计量


Z(p1p2)D0 (p1p2)D0

[例] 某市对儿童体重情况进行调查，抽查8岁的女孩 20人，平均体重22.2千克，标准差2.46千克；抽查8岁的 男孩18人，平均体重21.3千克，标准差1.82千克。若男女 儿童体重的总体方差相等，问在显著性水平5%上，该年 龄男女儿童之体重有无显著差异?
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[解] 据题意，
女孩组的抽样结果为： X 1 ＝22.2(千克)， S1＝2.46(千克)，n1＝20(人)
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根据本书第八章第四节F分布中的(8.25)式有
n1S12
12
n2S22
22
/(n1 1) /(n2 1)
~
F(n1
1，n2
1)

由于 S2
n
S2 ，
n1
所以简化后，检验方差比所

S12/12

~F(n1 1，n2
1)
用统计量为
S22/22
当零假设H0： σ1＝σ2时， 上式中的统计量又简化为
男孩组的抽样结果为： X 2 ＝21.3(千克)，S2＝1.82(千克)， n2＝18(人) H0：μ1―μ2＝D0＝0
H1：μ1―μ2≠0 计算检验统计量
t (X1 X2)D0 n1S12 n2S22 n1 n2
n1 n2 2 n1n2
确定否定域

2.22.1 3
1.24
2 02.4261 81.822 2 018
龄而有所差别，将已婚妇女按对婚后生活的态度分为 “满
意”和“不满意”两组。从满意组中随机抽取600名妇女，
其平均婚龄为8.5年，标准差为2.3年；从不满意组抽出
500名妇女，其平均婚龄为9.2年，标准差2.8年。试问在
0.05显著性水平上两组是否存在显著性差异？
样本
人数
均值
标准差
满意组
600
8.5
2.3
布就是
N(1
2,n112
22)
n2
。与单样本的情况相同，在大样本的
情况下(两个样本的容量都超过50)，这个定理可以推广应用于任何具
有均值μ1和μ2以及方差

2和
1

2 2
的两个总体。当n1和n2逐渐变大
时，(X1 X2) 的抽样分布像前面那样将接近正态分布。
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1．大样本均值差检验

F
S12

~F(n1
1，n2
1)
S22
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这样一来，小样本正态总体方差比检验的步骤有
(1) 零 假 设H0 ：12 22 备择假设H1 ： 单侧
双侧
(2) 单 侧
H1
：
12

2 2
H1
：
12

2 2
检验统计量

F

S
2 1


（
S12
S
2 2
）
S
2 2
S
2 2
＝27.8(厘米2)
H0 ： 12 22


p1 p1
p2 p2
此时上式中 检验统计量Z为
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Z ( p1 p2 ) D0


p1 q1 p2 q2
n1
n2
（5）判定
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[例]有一个大学生的随机样本，按照性格“外向”和
“内向”，把他们分成两类。结果发现，新生中有73％ 属
于“外向”类，四年级学生中有58％属于“外向”类。 样本
总体小样本假设检只讨论总体满足正态分布的情
况。
1. 小样本均值差假设检验
(1)
当

2 1
和
2 2
已知时，小样本均值差
检验，与上一节所述大样本总体均值差检验完全
相同，这里不再赘述。
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(2)

2 1
和

2 2
未知，但假定它们相等时，
关键是要解决

的算式。
( X1 X 2 )
（1）零假设： H0:12D0
（2）备择假设：
单侧
H1:12D0
或 H1:12D0
双侧
H1:12D0
（3）否定域：单侧 Z
双侧 Z / 2
（4）检验统计量 （5）比较判定
Z

X1

X2
D 0
12


2 2
n1 n2
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[例]为了比较已婚妇女对婚后生活的态度是否因婚
单侧
双侧
H1:12D0
或 H1:12D0
H1:12D0
（3）否定域：单侧 t(n1n22) 双侧 t/2(n1n22)
（4）检验统计量
t

X1
X2

D 0

（5）比较判定
(X1X2)
(X1 X2) D0 n1S12 n2S22 n1 n2
n1 n2 2 n1n2
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[例]为研究某地民族间家庭规模是否有所不同，各做 如下独立随机抽样：
民族A：12户，平均人口6.8人，标准差1.5人 民族B：12户，平均人口5.3人，标准差0.9人 问：能否认为A民族的家庭平均人口高于B民族的家 庭平均人口（ α=0.05）？（假定家庭平均人口服从正态 分布，且方差相等）t=2.97
2 01 82
2 018
因α＝0.05，因而有t 0.025 (36)＝2.028＞1.24
故不能否定H0，即可认为男女儿童平均体重无显著性差异。
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(3)

2 1
和
2 2未知，但不能假定它们相等
如果不能假定σ1＝σ2 ，那么就不能引进共同的σ简化
，
也不 能计算σ的无偏估计量 。现在简单S的做法是用
(p1p2)
p1q1 p2q2 n1 n2
其中:

p1
X1 n1

p2

X2 n2
为总体1的 样本成数
为总体2的 样本成数。
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当p1和p2未知，须用样本成数

p1
和

p2
进行估算时，分以下两
种情况讨论：
① 若零假设中两总体成数的关系为 p1 p2 ，这时两总体可看作成数
2 1
22
2.82 2.32
n1 n2
500600
确定否定域，
因为α＝0.05，因而有 Zα/2＝1.96＜4.47 因此否定零假设，即可以认为在0.05显著性水平上，婚龄对妇女婚
后生活的态度是有影响的。同时我们看到，由于样本计算值Z＝4.47 远大
于单侧 Z0.05 的临界值1. 65，因此本题接受μ1―μ2 ＞0 的备择假设，即可 以认为妇女婚龄长容易对婚后生活产生“不满意”。
S12 S22
2.462 1.822
n1 1 n2 1
201 181
可以看出，求解用(10.8)式和(10.10)式，得出的结果差别不大。
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2．小样本方差比检验
在实际研究中，除了要比较两总体的均值外，有时还需要比较两 总体的方差。例如对农村家庭和城镇家庭进行比较，除了平均收入的 比较外，还要用方差比较收入的不平均情况。此外，刚刚在小样本均 值差的检验中曾谈到，当方差未知时，往往还假设两总体方差相等。 因此，在总体方差未知的情况下，先进行方差比检验，对于均值差检 检验也是具有一定意义的。
设两总体分别满足正态分布 N(2,22) 和 N(2,22) 。现从这两
个总体中分别独立地各抽取一个随机样本，并具有容量n1，n2和方差
S
2 1
，S
2 2
。根据第八章(8.22)式，对两总体样本方差的抽样分布分别有
n1S12
12
~ 2(n1 1)
n2S22
22
~ 2(n2
1)
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